1、4.4.2对数函数的图象和性质刷新题夯基础题组一对数(型)函数的图象1.(2020山西康杰中学高一上期中)为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2x8的图象() A.向上平移3个单位长度B.向下平移3个单位长度C.向左平移3个单位长度D.向右平移3个单位长度2.在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=log2(-x)的图象可能是()3.(2020河南省实验中学高一上期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是()题组二对数函数的性质及其应用4.(2020天津红桥高一上期末)函数f(x)=loga(x-1)+2(a0,a1)的图象恒过定点()A.(2,2)B.(2
2、,3)C.(1,0)D.(2,1)5.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f(x)=1-lnx的定义域是()A.(0,e)B.(0,eC.e,+)D.(e,+)6.已知a=log23-1,12b=5,c=log32,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.bacC.acbD.abc7.(2020北京平谷高一上期末)已知a,bR,那么“3alog13b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.(2020四川成都外国语学校高一上期中)函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递增区间是.9.(2020湖南醴陵一中高一上期中)若log0.
3、5(m-1)log0.5(3-m),则m的取值范围是.10.函数f(x)=loga(x+x2+2a2)是奇函数,则a=.11.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0f(1-2x)-f(x)1.12.设函数f(x)=loga1-ax,其中0a1,求x的取值范围.13.已知函数f(x)=log21-x1+x.(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)证明:函数f(x)在定义域上单调递减.题组三对数函数的最大(小)值与值域问题14.(2020广东东莞高一上期末)下列函数中,与函数f(x)=x+1(xR)的值域不相同的是()A.y=x(xR)B.y=x3(xR) C.y
4、=ln x(x0)D.y=ex(xR)15.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为()A.0,+) B.1,+) C.R D.2,+)16.(2020北京通州高一上期末)已知函数f(x)=logax(a0,且a1)在1,4上的最大值与最小值的和是2,则a的值为.17.(2020天津河东高一上期末)已知x满足33x9.(1)求x的取值范围;(2)求函数y=(log2x-1)(log2x+3)的值域.18.已知函数f(x)=log2x.(1)若f(a)f(2),求a的取值范围;(2)求y=log2(2x-1)在2,14上的最值.题组四反函数19.(
5、2020北京西城高一上阶段测试)函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是()A.ab=1 B.a+b=1 C.a=b D.a-b=120.函数y=ax(a0,且a1)的反函数的图象过点(a,a),则a的值为()A.2 B.12 C.2或12 D.321.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f12的值为.刷新题培素养题组一对数函数的图象1.(2020北京石景山高一上期末,)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是() 2.(2020河北承德高一上期末,)已知函数f(x)=ax-1+logbx-1(a0且a1,b0且b1),则f
6、(x)的图象过定点()A.(0,1)B.(1,1) C.(1,0)D.(0,0)3.(2020河北唐山一中高一上期中,)函数y=xln|x|x|的图象是()题组二对数函数单调性的应用4.(2020河南信阳高级中学高一上期中,)已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a0,a1),若f(0)b0,0c1,则()A.logcacb C.acbc D.logc(a+b)07.(2020山东青岛二中高一上期末,)已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过点(1,1),对任意x1-1,则不等式flog2(2x-1)a0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是.9.()已知函数f(x)=loga
7、x+m,0x0,a1)在定义域内单调递减,若|f(2m)|f(a),求实数m的取值范围.10.(2020安徽淮北第一中学高一月考,)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).(1)当a=12时,求函数f(x)的定义域;(2)当a1时,求关于x的不等式f(x)m对任意实数x1,3恒成立,求实数m的取值范围.题组三对数函数的最大(小)值与值域问题11.(2020山东泰安高一上期末,)若函数f(x)=2x+2,x1,log2(x-1),x1在(-,a上的最大值为4,则a的取值范围为()A.0,17B.(-,17 C.1,17D.1,+)12.()若函数f(x)=log2kx2+(2k-
8、1)x+14的值域为R,则实数k的取值范围为.13.(2020河南周口高一上期末调研,)若函数f(x)=(2-a)x+2a,x0,则实数a的取值范围是()A.-,12 B.-1,12 C.(-2,2) D.(-1,2)17.(多选)(2020山东泰安高一上期末,) 若定义域为0,1的函数f(x)同时满足以下三个条件:(i)对任意的x0,1,总有f(x)0;(ii)f(1)=1;(iii)若x10,x20,x1+x21,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2),就称f(x)为“A函数”.下列定义在0,1上的函数中,是“A函数”的有()A.f(x)=log12(x+1) B.f(x)=log2(
9、x+1) C.f(x)=x D.f(x)=2x-118.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数.(1)求实数k的值;(2)判断并证明函数f(x)的单调性;(3)若存在,(1,+),使得函数f(x)在区间,上的值域为lnm-m2,lnm-m2,求实数m的取值范围.答案全解全析刷新题夯基础1.Ag(x)=log2x8=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x) =log2x8的图象向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2x的图象,故选A.2.B因为y=2x的图象为过点(0,1)的递增的指数函数图象,故排除选项C,D;y=log2
10、(-x)的图象为过点(-1,0)的递减的对数型函数图象,故排除选项A,故选B.解题模板函数图象的辨识可从以下方面入手:根据函数的定义域,判断图象的左右位置,根据函数的值域,判断图象的上下位置;根据函数的单调性,判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;根据函数的特征点,排除不符合要求的图象.3.B解法一:由题可知,当x0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位得到;当x0时, f(x)=lg(x-1),是(1,+)上的增函数,故选B.4.A由对数函数的性质可知,当x=2时, f(2)=2,故函数f(x)=loga(x-1)+2(a0,a1)
11、的图象恒过定点(2,2).故选A.5.B要使函数f(x)=1-lnx有意义,需满足1-lnx0,x0,解得0xe.因此函数的定义域为(0,e,故选B.6.B由12b=5,得b=log125=-log25,又a=log23-1=-log23,所以-log25-log230log32,即bac,故选B.7.B由3a3bab,因为a,b的正负不明确,所以“3alog13b”;由log13alog13b0ab3a3b,所以“3alog13b”的必要不充分条件.故选B.8.答案(-,-1)解析由x2-2x-30,得x3,因此函数f(x)的定义域为(-,-1)(3,+),记为D.设u=x2-2x-3,则y
12、=log12u,易知y=log12u是定义域内的减函数,又u=(x-1)2-4在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增,f(x)的单调递增区间为(-,1D=(-,-1).9.答案(1,2)解析y=log0.5x是定义域内的减函数,log0.5(m-1)log0.5(3-m)m-10,3-m0,m-11,m3,m2,1m0,a=22.经验证,当a=22时, f(x)为奇函数.11.解析不等式0f(1-2x)-f(x)1,即0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg2-2xx+10,x+10得-1x1.由0lg2-2xx+11,得12-2xx+10,所以x+12-2x10x+10,解得-23x13
13、.由-1x1,-23x13得-23x13,故不等式的解集为-23,13.12.解析(1)证明:任取x1,x2(a,+),不妨令0ax1x2,g(x)=1-ax,则g(x1)-g(x2)=1-ax1-1-ax2=a(x1-x2)x1x20,g(x1)g(x2).又0af(x2),f(x)是(a,+)上的减函数.(2)loga1-ax1,且0a1,01-axa,1-aax1.0a0,从而ax0,解得-1x1,即函数的定义域为(-1,1).(2)函数f(x)为奇函数.证明:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x(-1,1),都有f(-x)=log21+x1-x=-log21-x1+x=-f(x)
14、,则函数f(x)为奇函数.(3)证明:由(1)可知, f(x)的定义域为(-1,1),任取x1,x2(-1,1),不妨设-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=log21-x11+x1-log21-x21+x2=log21-x11+x11+x21-x2=log21+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2,又x10,则有1+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x21,故f(x1)-f(x2)=log21+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2log21=0,故函数f(x)在定义域上单调递减.14.D易知f(x)的值域为R.A,B,C选项中各函数的值域均为R,不符合题
15、意;选项D中函数的值域为(0,+),与f(x)的值域不同,故选D.15.Bx2-2x+3=(x-1)2+22,f(x)=log2(x2-2x+3)log22=1,因此,函数f(x)的值域是1,+),故选B.16.答案2解析当a1时, f(x)=logax在(0,+)上为增函数,所以f(x)=logax在1,4上的最大值为loga4,最小值为loga1;当0af(2),a2,即a的取值范围是(2,+).(2)2x14,32x-127,log23log2(2x-1)log227.函数f(x)=log2(2x-1)在2,14上的最小值为log23,最大值为log227.19.A由函数y=1ax与y=
16、logbx互为反函数得1a=b,化简得ab=1,故选A.20.B解法一:函数y=ax(a0,且a1)的反函数为y=logax(a0,且a1),故y=logax的图象过点(a,a),则a=logaa=12.解法二:函数y=ax(a0,且a1)的反函数的图象过点(a,a),函数y=ax(a0,且a1)的图象过点(a,a),aa=a=a12,即a=12.21.答案-log32解析易得y=f(x)=log3x,f12=log312=-log32.刷新题培素养1.D选项A中两条曲线都不是函数y=xa(x0)的图象;选项B中,y=xa(x0)中a1,y=logax(x0)中0a1,不符合;选项C中,y=x
17、a(x0)中0a0)中a1,不符合;选项D中,y=xa(x0)中0a0)中0a0时,y=xln|x|x|=ln x,排除C,D;当x0时,y=xln|x|x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.4.D由f(0)0得loga30,因此0a0得x2+2x-30,解得-3x1.因此函数f(x)的定义域为(-3,1).设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,当x(-3,-1时,u=-x2-2x+3单调递增,当x-1,1)时,u=-x2-2x+3单调递减,而0a1,即y=logau单调递减,f(x)的单调递减区间为(-3,-1,故选D.5.B设y=log3
18、u,u=1-ax.由f(x)在(-,2上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,-a0.由1-ax0得ax0,x1a,即f(x)的定义域为-,1a,(-,2-,1a20,得0a12,因此a的取值范围是0,12,故选B.警示求含对数函数的复合函数的单调性时,既要考虑到内、外两层函数的单调性,还要考虑到函数的定义域,即单调区间是函数定义域的子集,要防止因忽略定义域导致解题错误.6.AC选项A中,因为0cb0得logcalogcb,故A正确;选项B中,因为0cb0,得cab0,0c1,所以acbc,故C正确;选项D中,取c=12,a+b=2,则logc(a+b)=log122=-
19、10,故D错误.故选AC.7.D由对任意x1-1,可得f(x1)+x1-f(x2)+x2x1-x20,令R(x)=f(x)+x,则函数R(x)=f(x)+x在R上是增函数.不等式f log2(2x-1)2-log2(2x-1),即f log2(2x-1)+log2(2x-1)2=f(1)+1,即log2(2x-1)1,所以02x-12,即0x-1,平时要积累构造函数的经验.8.答案(3,+)解析f(x)的图象如图所示,因为f(a)=f(b),所以结合图象可得0a1b,于是lg a=-lg b,则b=1a,所以a+2b=a+2a,设g(a)=a+2a(0ag(1)=3,即a+2a3,所以a+2b
20、的取值范围是(3,+).9.解析由函数f(x)在定义域内单调递减,可知0a1,loga1+m1,即0a1,m1.由m1得2m2,故f(2m)=-2m+2,由0af(a)|-2m+2|m+1,又m1,2m-2m+1,解得m3,故m的取值范围是(3,+).10.解析(1)当a=12时, f(x)=log1212x-1,故12x-10,解得x1),其定义域为(0,+),易知f(x)为(0,+)上的增函数,由f(x)0,xm对任意实数x1,3恒成立,m0,BA,因此(2k-1)2-4k140,解得k14或k1,此时k的取值范围是0,141,+).综上所述,实数k的取值范围为0,141,+).13.答案
21、-1,2)解析当x1时,ln x0,从而1+ln x1.设x0,(2-a)1+2a1,解得-1a0对任意实数x恒成立,当m=0时显然不满足,m0,=22-4m21.实数m的取值范围为(1,+).(2)当x-1,1时, f(x)13,3.令f(x)=tt13,3,则y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,h(a)=28-6a9,a3.(3)存在.y=2x+log3 f(x2)=2x+log313x2=2x-x2=-(x-1)2+11,4n1,n14,函数在m,n上单调递增,2m-m2=4m,2n-n2=4n.又m0(x-2)(2+x)0,解得-2x0,即f(a)-f(a-1)=f(1-a)
22、,所以-2a2,-2a-12,a1-a,所以a-1,12.故选B.17.CD选项A中, f(1)=log12(1+1)=-1,故f(x)=log12(x+1)不是“A函数”.选项B中,若x10,x20,x1+x21,则f(x1)+f(x2)=log2(x1+1)+log2(x2+1)=log2(x1x2+x1+x2+1)log2(x1+x2+1)=f(x1+x2),不满足(iii),故f(x)=log2(x+1)不是“A函数”.选项C中,f(x)显然满足(i)(ii),又f(x1+x2)=x1+x2=f(x1)+f(x2),所以f(x)=x是“A函数”.选项D中, f(x)显然满足(i)(ii
23、),因为f(x1+x2)=2x1+x2-1, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2-2,所以f(x1+x2)-f(x1)+f(x2)=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1),又x1,x20,1,所以2x1-10,2x2-10,从而f(x1+x2)f(x1)+f(x2),因此, f(x)=2x-1是“A函数”.故选CD.18.解析(1)因为函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0, 即lnkx-1x+1+ln-kx-1-x+1=ln(kx-1)(-kx-1)(x+1)(-x+1)=ln1-k2x21-x2=0对定义域内任意x恒成立,所以k2
24、=1,即k=1,显然k-1,所以k=1.经验证,k=1符合题意.(2)f(x)在(-,-1),(1,+)上均为增函数.证明:由(1)知f(x)=lnx-1x+1,其定义域为(-,-1)(1,+),任取x1,x2(1,+),不妨设x1x2,则f(x1)-f(x2)=lnx1-1x1+1-lnx2-1x2+1=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1), 因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)0,(x1-1)(x2+1)0,所以0(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)1,所以f(x1)-f(x2)=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)0,即f(x1)0,且ln-1+1=lnm-m2,ln-1+1=lnm-m2,所以-1+1=m-m2,-1+1=m-m2,即,是方程x-1x+1=mx-m2的两个不等实根,问题等价于方程mx2-1-m2x+1-m2=0在(1,+)上有两个不等实根,令h(x)=mx2-1-m2x+1-m2,x(1,+),易知h(x)为二次函数,其图象的对称轴为直线x=12m-14,则m0,12m-141,=-1-m22-4m1-m20,h(1)=m0,即m0,0m2或m29,解得0m29.
