1、4.2.1等差数列的概念(第二课时)复习复习1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。符号表示：an-an-1=d(n2,nN*)3.推到等差数列通项公式的方法：迭代法、累加法4.由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。即2.首项a1公差d，的等差数列an的通项公式为dnaan)1(12baA求下列等差数列的通项公式（1）9,18,27,36,45,54,63,72（2）38,40,42,44,46,48.（3）25,24,23,22,
2、21.(1)an=9n (2)an=2n+36 (3)an=n+26 思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？探究探究新知新知 由于an=a1+(n1)d=dn+(a1-d)，所以d0时，等差数列的an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(xR)，当x=n时的函数值，即an=f(n)。如图公差d0的等差数列an的图像是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上反之任给一次函数f(x)=kx+b(k、b为常数)则f(1)=k+b，f(2)=2k+b，.，f(n)=nk+b,.构成一个等差数列nk+b，首项为(k+b),公差为k1234
3、5 67 89 10(1,a1)(2,a2)(3,a3)(4,a4)(5,a5)(6,a6)(7,a7)a1a2a3a4a5a6a7P15P15课本练习课本练习3 3 已知已知an是一个等差数列，请在下表中是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数的空格处填入适当的数 a1a3a5a7d7826.521231415151124a5=a3+2d=a3+(53)d=2+2(6.5)=-11a7=a3+4d=a3+(73)d=2+4(6.5)=-24a1=a3+(-2)d=a3+(13)d=2+(-2)(6.5)=15归纳：归纳：an=a1+(n1)d =am+(nm)d练习练习1.等差数列的定
4、义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。符号表示：an-an-1=d(n2,nN*)2.首项a1公差d，的等差数列an的通项公式为 an=a1+(n1)d=an=am+(nm)d 新知新知mnaadmn整理可得已知等差数列的任意两项可求公差已知等差数列的任意两项可求公差P15P15课本练习课本练习4 4 在在7 7和和2121中插入中插入3 3个数，使这个数，使这5 5个数成等差数列个数成等差数列 解：设等差数列an的首项为a1与公差为d由题意可知a1=7，a5=21 则a2=7+3.5=10.5
5、 a3=7+23.5=14 a4=7+33.5=17.5故在7和21中插入的3个数分别为10.5，14，17.55.32747211515aada5=a1+4d=21 解得d=3.5练习练习例4.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=8,在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn的通项公式.(2)b29是不是数列an的项？若是,它是an的第几项？若不是，说明理由.分析：a1，a2，a3，a4，a5，.a1，？，？，？，a2，？，？，？，a3，.b1，b2 ，b3 ，b4 ，b5，b6 ,b7 ,b8 ,b9,.例题例题例2.已知等差数
6、列an的首项a1=2,公差d=8,在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn的通项公式.(2)b29是不是数列an的项？若是,它是an的第几项？若不是，说明理由.解：(1)设数列bn的公差为d.由题意可知，b1=a1,b5=a2,于是b5-b1=a2-a1=8.b5-b1=4d,所以4d=8,所以d=2.bn2+(n-1)2=2n数列bn的通项公式是bn2n.例题例题例2.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=8,在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn的通项公式.(2)b2
7、9是不是数列an的项？若是,它是an的第几项？若不是，说明理由.分析：(2)先求b29=？再求an 令an?，解出n解：(2)由(1)可得b29=229=58因为a1=2，d=8 所以an=8n-6令8n-6=58 解得n=8所以b29是数列an项，是第8项例题例题例4.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=8,在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn的通项公式.(2)b29是不是数列an的项？若是,它是an的第几项？若不是，说明理由.a1，？，？，？，a2，？，？，？，a3，.b1，b2 ，b3 ，b4 ，b5，b6 ,b7 ,b
8、8 ,b9,.a1，a2，a3，a4，a5，.，an ,.b1，b5，b9,.，.b13,b17,b4n-3,解：(2)数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13.项，这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列cn则cn=4n-3.令4n-3=29,解得n=8.所以，b29是数列an的第8项.例题例题已知等差数列an的通项公式为an=4n3则(1)a1+a9=a2+a8=a3+a7=2a5=.(2)a3+a15=a5+a13=a8+a10=2a9=.34343417346666663366猜想：等差数列an，p,q,s,t,kN*,且p+q=s+t=2k,则ap+aq=as+at=2a
9、k探究探究分析：只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利用已知条件即可得证。证明：设数列an的公差为d,则ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d.所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d,as+at=2a1+(s+t-2)d.因为p+q=s+t,所以ap+aq=as+at.例5：已知数列an是等差数列，p,q,s,t,N*,且p+q=s+t,则ap+aq=as+at例题例题18 练习：已知数列an是等差数列，(1)若a2a3a10a1136，则a5a8_.(2)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20=；(3
10、)a3+a11=10，则a6+a7+a8=；1015练习练习18 练习：已知数列an是等差数列，(4)若a4a7a1030，则a32a5_.(5)若a15=8，a60=20，则a75_.解：(4)法一：根据等差数列性质，可得a4a102a7a4a7a10303a7 即a7=10a32a5a3(a3+a7)=a7=10法二：根据题意，有(a13d)(a16d)(a19d)30，3a118d3(a16d)30 即a16d=10a32a5a13d2(a14d)=a16d=(a16d)=10练习练习18 练习：已知数列an是等差数列，(4)若a4a7a1030，则a32a5_.(5)若a15=8，a60=20，则a75_.练习练习小结小结1.当d0时，等差数列的an=a1+(n1)d=dn+(a1-d)是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(xR)，当x=n时的函数值，即an=f(n)。2.首项a1公差d，的等差数列an的通项公式为 an=a1+(n1)d=an=am+(nm)d mnaadmn整理可得作业作业P17P17课本练习课本练习 1 1、3 3、5 5
