1、条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式145(1()2)问题 某个班级有名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示在班级里随机选择一人做代表。选到男生的概率是多少？如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？5(2)n B|()168()3015()nAB AABPn根据古典概型知识可知，()45,n 根据表中的数据可以得出，B 表示事件“选到男生”，A用 表示事件“选到团员”，45则样本空间包含个等可能的样本点随机选择一人做代表，3(0),n A(|)AP B记为(2)AB在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”“的概率，255(1459()(
2、)()nPnBB 选到男生的概率16()n AB 包含的样本点数,BAB而在新的样本空间中事件就是积事件AB此时相当于以 为样本空间来考虑事件发生的概率，一、条件概率2(2)(1问题假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭随机选择一个家庭，那么该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？1(1()4()()BBnPn该家庭中两个小孩都是女孩的概率()1(|)()3n ABP B An AB表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，A用 表示事件“选择的家庭中有女孩”且所有样本点是等可能的。,bb bg gb gg 则样本空间
3、bg观察两个小孩的性别，用 表示男孩，表示女孩，.Bgg,Abg gb gg则A此时 成为样本空间，(|)AP B记为(2)AB在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件 发生的条件下，事件 发生“”的概率，BAB事件就是积事件()(|)()n ABP B An A即()()P ABP ABABA此时，事件发生的概率是包含的样本点数与 包含的样本点数的比值，AA事实上，如图所示，若已知事件发生，则成为样本空间。这个结论对于一般的古典概型仍然成立()(|)()ABn ABP B An A在上面两个问题中，在事件 发生的条件下，事件发生的概率都是()()()()n ABnn
4、An()()(|)Pn ABBnAA(|)()(|)()(|)(12.)B ABB ABB APPPPPPABB在问题 和问题 中，都有一般地，与不一定相等，如果与相等，那么事件 与应满足什么条件？BA为在事件 发生的条件下，事件发生的，简称条件概率条件概率0,(),AABP一般地，设为两个随机事件，且()(|)()P ABP B AP A我们称探究()00()1()0P AP AP A0()(|)()PABPPAB AB因此，当时，当且仅当事件 与相互独立时，有概率的乘法公式我们称上式为)()APPBP AB 则(|),0()()PPPB ABA反之，若且()P B()()(),()0ABA
5、BPPPPABA事实上，若事件 与 相互独立，即且(|)()ABAPPABBB直观上看，当事件 与 相互独立时，事件 发生与否不影响事件 发生的概率，这等价于成立。AB即事件 与 相互独立。()()()PPBA PAB()()()P A P BP A()()|()PB AABPP A则),0()()()|APPABPABA P B A对任意两个事件 与若则()(|)()(|)P A P B AP B P A B()()(|)P BAP B P A B()()P ABP BA2)5321(11(212)在道试题中有 道代数题和道几何题，每次从中随机抽出 道题，抽出的题不再放回。求：第 次抽到代数
6、题且第次抽到几何题的概率；在第 次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率例1.()63()2010()n AABPnB 所以3()110(|)3()25P ABP B AP A255 420()nA 即5220从道试题中每次不放回地随机抽取道，试验的样本空间包含个等可能的样本点，(1)12AB第 次抽到代数题且第 次抽到几何”“题2B “第 次抽到几何题”1:1A解法设“第 次抽到代数题”，11323 26()ABAAn 因为5()3P A(2)12AB“在第 次抽到代数题的条件下，第 次抽到几何题”的概率就是事件 发生的条件下，事件 发生的概率，3135210()()(|)ABABPAPP
7、(|),AAP BAAAB另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“发生”的条件后，样本空间缩小为求就是以 为样本空间计算的概率。35()AP又1(|)2P B A142已知第 次抽到代数题，这时还余下道试题，其中代数题和几何题各道2:(|)AP B A解法在缩小的样本空间 上求()()(|),APPPABB A一种是基于样本空间先计算和再利用条件概率公式求求条件概率有两种方法：)()3|)1(|P BBB ABAP 设和互为事件则立，对)()(|(|)(|2P BC AP B ABCP C A如果和是两个事斥则互件，1(|)(1)PA),(0P A 设则条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率
8、同样具有概率的性质1()()P AP A()()(|)AP APP A证明：(|)(|)AAPBCP()()(|)P A BBC ACPP AABAC、互斥()()()P ABP ACp ABC证明：、互斥1()()()P BAP BAP A()()(|)(|)()()P BAP BAP B AP B AP AP A证明：()()P AP A3131已知 张奖券中只有 张有奖，甲、乙、丙 名同学依次不放回地各随机抽取张他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？例2.2113231()3P A CAB,BAB则,A B C解：用分别表示甲、乙、丙中奖的事件()(|)PPAB A()()PPBAB中奖的概
9、率都与抽奖的次序无关事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，所以中奖的概率与抽奖的次序无关()()()PPABPC因为211323()(|)PP BAA()()PPCAB1)61(12(212)银行储蓄卡的密码由 位数字组成。某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后 位数字求：任意按最后 位数字，不超过次就按对的概率；如果记得密码的最后 位是偶数，不超过次就按对的概率例3.1125任意按最后 位数字，不超过 次就按对的概率为1225如果记得密码的最后 位是偶数，不超过次就按对的概率为19111010951121()()(|)APP AP AA112()()()AAAP
10、PPA112AA A事件 与事件互斥1122AAA A则事件“不超过次就按对密码”可表示为(1(1,2,)iAii解：设“第 次按对密码”14 1255 45112(|)(|)(|)A BA BAPPABP则(21)B 设“最后 位密码为偶数”)1.,0.3,0.()(.)(|)(|6ABPPPPABB AA B设且根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，求和练习AB解：121()()P ABP A()()P AP A()(|)()P ABP B AP A()(|)()P ABP A BP B()()P AP B2.52112AA从一副不含大小王的张扑克牌中，每次从中随机抽出 张扑克牌，抽出的
11、牌不再放回已知第次抽到 牌，求第 次抽到牌的概率()51n 1171511A 解：第次抽到 牌之后，第二次抽牌是“从剩下的张扑克牌中抽取张牌”AA“第二次抽到牌”31AA“从剩下的张牌中抽到张牌”()3n A 351()()n APn所求概率(1,2)iAiAi另解：设“第 次抽到 牌”113113 17117113 1711312211()(|)()P A AP AAP A124 3()52 51P A A14()52P A 3.10731(11)2(2)袋子中有个大小相同的小球，其中 个白球，个黑球，每次从袋子中随机摸出 个球，摸出的球不再放回。求：在第 次摸到白球的条件下，第 次摸到白球
12、的概率；两次都摸到白球的概率191 解：第一次摸到个白球后，第二次摸球是“从剩下的个球中摸取 个球”23()9n 1A“第二次摸到个白球”61“从剩下的个球中，摸到个白球”()6n A()()n APn所求概率69(1,2)iAii另解：设“第 次摸到白球”17()10P A 71523127 6()10 9P A A101571571012211()(|)()P A AP AAP A3.10731(2)袋子中有个大小相同的小球，其中 个白球，个黑球，每次从袋子中随机摸出 个球，摸出的球不再放回。求：两次都摸到白球的概率0(2)记“不放回的两次摸球”0A “两次摸到的球都是白球”0()10 9
13、n 0()7 6n A 7157 610 9000()()()n AP An112abaab从有 个红球和 个蓝球的袋子中，每次随机摸出 个球，摸出的球不再放回。第 次摸摸到的球是红球的概率为,那么第 次摸摸到的球是红球的概率有多大？21212RR RB R即二、全概率公式思考:iRi用表示事件“第 次摸球模到的是红球”，21因为第次摸球的结果受第 次摸球结果的影响。2aab所以第次摸到红球的概率也应该是因为抽签具有公平性，21R事件可按第 次可能的摸球结果（红球或蓝球）1,2iBii 表示事件“第 次摸球摸到的是蓝球”，221212RRR RB R 则11RB 即：令表示为两个互斥事件的并，
14、式我们称上面的公式全概率公为aab1aab 121121()(|)()(|)RPPPPRRBRB1212()()RPRBPR21212()()RR RPB RPB 则对任意的事件0,1,2,(),iPiAn且12,nAAA 12,nAAA一般地，设是一组两两互斥的事件，1()(|)niiiP A P B A有bab11aab aab1()()(|)niiiP BP A P B A112233()(|)()(|)()(|)()(|)nnP A P B AP A P B AP A P B AP A P B A123()()()()nP BAP BAP BAP BA123()nP B AAAA()(
15、)P BP B证明：这就是全概率公式的意义1()()(|).niiiP BP A PABB则发生的概率是所引起的，12(1,2,()0)niiin AABAAP A 如发由且果生是B某事件 的发生有各种可能的原因。全概率公式可以理解为BB所以发生的概率是各原因引起发生的概率的总和。B每一个原因都可能导致发生，,1120.6;120.8.2A BAABAA某学校有两家餐厅，王同学第 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第 天去餐厅，那么第天去 餐厅的概率为如果第 天去餐厅，那么第天去 餐厅的概率为计算王同学第天去 餐厅用餐的概率例4.20.7A王同学第 天去 餐厅用餐的概率为11()()0.5P
16、 AP B根据题意得1111,ABAB则且与互斥22AA“第 天去 餐厅用餐”11BB“第 天去 餐厅用餐”11AA解：设“第 天去 餐厅用餐”0.5 0.60.5 0.80.71221121()()(|)(|)AAAAPP A PPPBB210.8(|)BP A210.6(|)AP A316%,2,35%1,2,325%,30%,45%(1(21,2,3)()i i 有 台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率为第台加工的次品率均为加工出来的零件混放在一起已知第台车床加工的零件数分别占总数的任取一个零件，计算它是次品的概率；如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率例5.0.25
17、0.060.3 0.050.45 0.050.052523)0.05(|)(|B ABPAP35(4)0.P A123123,AAAAAA则且两两互斥(1,2,3),iAii“零件为第 台车床加工”B 解：设“任取一个零件为次品”23()0.AP10.25()AP根据题意得16(|)0.0B AP112233)()()()(|)()()1|()(|BAB AAPPPPPPPB AAB AB(),(|)iiP AP A B思考：本题的实际意义是什么？,(2)2(1,3)ii iBA如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在 发生的率“条件下，事件发生的概0.25 0.0620
18、.0525711()(|)()P A P B AP B11()(|)()P ABP A BP B223,1,2,3777那么就分别是第台车床操作员应承担的份额如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，(|)iBA BPi当已知抽到的零件是次品（发生），是这件次品来自第 台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率。()iPiA是试验之前就已知的概率，它是第 台车床加工的零件所占的比。先，称为验概率例22()(|)()P A BP ABP B22()(|)()P A P B AP B0.3 0.0520.0525733()(|)()P A BP ABP B33()(|)()P A P B AP B
19、0.45 0.0530.05257有(,0,)BBP则对任意的事件0,1,2,(),iPiAn且12,nAAA 12,nAAA设是一组两两互斥的事件，1,2,in1()(|)()(|)iinkkkP A P B AP A P B A()(|)(|)()iiiP A P B AP A BP B:贝叶斯公式B0()(|)()1.iiP ABP A BP B条件概率公式：0)2.()()(|iiiP ABP A P B A概率乘法公式：10(3()(|.)nkkkP BP A P B A全概率公式：贝叶斯公式是由以下三个公式推导出来0()B接收(|)0.9P B A 0()A发送1()A发送1()B
20、接收(|)0.1P B A(|)0.05P B A(|)0.95P B A 010110.0010.90.1;1100.950.05.01(101(20,1)在数字通信中，信号是由数字和 组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为 或已知发送信号时，接收为和 的概率分别为和发送信号 时，接收为 和的概率分别为和假设发送信号和 是等可能的分别求接收的信号为和 的概率；已知接收的信号为求发送的信号是 的概率例6.0.0|5),(P B A,(|)0.1B AP9(|)0.B AP()0.5,)P AP A由题意得1B “接收到的信号为”1A 则“发送的信号为”，0A解：设“发送
21、的信号为”，0B “接收到的信号为”0.5 0.0510.4751911 0.4750.525()()PBPB 0.5 0.90.5 0.050.475)()()()(|)()(|1 PPBPPPBAAAB A5(|)0.9B AP()(|)(2()(|)P A P BAAPPBB1.12930.9,0.25.121现有道四选一的单选题，学生张君对其中 道题有思路，道题完全没有思路有思路的题做对的概率为没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为张君从这道题中随机选择 题，求他做对该题的概率练习()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B AAB解：设“选到有思路的题”“
22、选到的题做对”0.7375930.90.2512122.40%,5%;60%,4%1()1(2两批同种规格的产品，第一批占次品率为第二批占次品率为将两批产品混合，从混合产品中任取 件求这件产品是合格品的概率；已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率2(|)1 0.040.96P A B 0.956952391(|)1 0.050.95P A B 2()0.6P B，1()0.4P B 则，(1,2)iABii解：设“取得合格品”，“取到的产品来自第 批”0.4 0.950.6 0.961122(1)()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B0.4 0.950.956
23、11()(2)(|)()P ABP BAP A11()(|)()P B P A BP A1.2000为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校名学生，数据如下表所示20001(1()2)从这人中随机选择 人已知选到的是男生，求他患色盲的概率；已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率1207.1习题(1)AB解：设“选到男生”，“选到的学生患色盲”3031601200()(|)()n ABP B An A6062()(2).(|)()n ABP A Bn B(2).150()BCP BP C从人群中随机选出 人，设“选出的人患有心脏病”，“选出的人是年龄大于岁的心脏病患者”，请你判断和的大小，
24、并说明理由50A设“选出的人的年龄大于岁”CAB则()()P BP C解：()()P BP C0(|)1P A B()(|)P B P A B()()P CP AB3.10.6,0.51甲、乙两人向同一目标各射击 次，已知甲命中目标的概率为乙命中目标的概率为。已知目标至少被命中 次，求甲命中目标的概率AB、相互独立0.834AB“目标至少被命中一次”AB解：设“甲命中目标”“乙命中目标”0.60.50.6 0.5()()()()P ABP AP BP AB0.60.8()(|)()P AP A ABP AB4.10558212,13,4,5,6,1甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有 个红
25、球、个白球，乙箱中有 个红球个白球，掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为 或从甲箱子随机摸出 个球；如果点数为从乙箱子中随机摸出 个球，求摸到红球的概率4(|)5P B A 7101()3P A 则，B “摸到红球”12A解：设“掷骰子点数为 或”1(|)2P B A，2()3P A，11243235()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A5.,6%,5%,4%5:7:8,(1()2)A B CA在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为现从这三个地区中任意选取一个人。求这个人患流感的概率；如果此人患流感，求此人选自地区的概率38()2
26、0P B1(|)0.06P A B 27()20P B15()20P B123BBBABC、分别表示选取的人来自、地区2(|)0.05P A B3(|)0.04P A B0.04851(5 0.067 0.05 8 0.04)20 31(1)()()(|)iiiP AP B P A B309710.0640.0485111()(|)(2)(|)()P B P A BP BAP AA解：设“选取的人患流感”)6()()(|)(.0,0,)(|)(ABB APPPPAAPBPB已知证明：()(|)()(|)P A P B AP B P A B(|)()P A BP A(|)()B APBP又()(
27、)(|)P ABP A P B A()()P ABP BA证明：()()(|)P BAP B P A B()()()(|)P A P BP B P A B0()P B 又7.10051112一批产品共有件，其中 件为不合格品收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第件产品合格，则再抽件，如果抽检的第件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品。求这批产品被拒绝的概率979901121()()(|)P AP A P AA112112()()()P AA AP AP A A112()AA A则整批产品被拒绝的事件
28、为11,2iAi解：设“抽检的第 件产品不合格”5955100100998.,1:2:1.2DD Dd ddDddd在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本进行杂交试验，那么子三代中基因型为的概率是多大？Bdd设“子三代的基因型为”142A1A事件DD DD配型14116()iP A0(|)iP B A13A4A5A6ADDDd11111144421661()()(|)iiiP BP A P B ADdDdDdddDD dddddd141411618014120123456AAAAAA解：子二代作杂交试验的基因配型
29、有六种可能，分别设为，12(0()()(|)(|)()nPPPPPPABABCAB AC ABA AA9.证明：当时，据此你能发现计算的公式吗？()P ABC121()0nP A AA证明：121()0nP A AA其中121213124123121()()(|)(|)(|)(|)nnnA AAP A P AA P AA A P AA A AP AAPAA猜想：()()()(|)(|)()()()P ABP ABCP A P B A P C ABP AP AP AB()()0P AP AB()0P AB 证明：1213124123121()(|)(|)(|)(|)nnP A P AA P AA
30、 A P AA A AP AA AA121()0nP A AA1()0P A12()0P A A123123121112121()()()()()()()nnP A A AP A A AAP A AP AP AP A AP A AA12()nP A AA1,2,3在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭。主持人知道奖品在哪个箱子里，游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得。抽奖人当然希望选中有奖品的箱子！11312假定你是抽奖人，不妨设你选择了 号箱。在打开 号箱之前，主持人先打开了另外两个箱
31、子中的一个空箱子，按游戏规定，主持人只打开你的选择之外的空箱子，当两个都是空箱子时，他随机选择其中一个打开。不妨设主持人打开的是 号箱现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选 号箱，还是改选号箱？显然，由于随机性，你无法保证一定能够成功选中有奖品的箱子。因此，要不要改变选择是个风险决策问题，应以得到奖品的概率最大为准则13)2(1对于是否应改选 号箱，人们有如下几种不同的观点：三个箱子中有奖品的概率都是,不必换号阅读与思考贝叶斯公式与人工智能1(231222(313)2)32既然 号是空箱，那么奖品在 号箱、号箱中的概率都是,不必换号；奖品在 号箱中的概率是当知道 号是空箱后，号箱中有奖品的概率
32、就变为应该改选号121:1,.33311,321,23分析选择 号箱，其中有奖品的概率为无奖品的概率为主持人打开了无奖品的号箱，若决策是不换号，则你在 号箱里有奖品的情况下得奖，成功的概率为若决策是换号，则你在 号箱里无奖品的情况下得奖，成功的概率为所以改选号是正确的决策哪种观点是正确的呢？下面用两种方法进行分析：1231231232:,1,2,3,1,2,311,3AAABBBAAA分析利用全概率公式和贝叶斯公式，可以从条件概率的角度进行分析用分别表示号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子如上所述，你初次选择了 号箱因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里，你的选择不影响奖品在三个箱子中的
33、概率分配，所以事件的概率仍为,此为先验概率3313233311112,3223132031 11()()(|)(1)3 22(|)(|)(|)iiiPPPP BBABABP A P BAA主持人打开 号箱之外的一个空箱子，有以下几种可能情况：奖品在 号箱里，主持人可打开号箱，故奖品在号箱里，主持人只能打开 号箱，故奖品在 号箱里，主持人只能打开号箱，故利用全概率公式，主持人打开 号箱的概率为131232132333312()(|)()(|)12(|)(|)()3)3()2(1(2P A P BAP A P BAP A BP ABP BP B再根据贝叶斯公式，在 号箱打开的条件下，号箱和 号箱里
34、有奖品的条件概率分别为这两个条件概率是后验概率，它们修正了前面的先验概率。通过比较后验概率不难发现，改选号箱是正确的决策。现在想一想，观点和观点错在哪里？12112前面分析 给出的方法简单直接，也比较容易理解，但是分析 中基于贝叶斯公式的方法具有更广泛的适用性。事实上，只要把三个箱子改为四个或更多，主持人还是每次打开一个空箱子，此时再用分析 中的方法就比较复杂了利用贝叶斯公式的方法可以发现，对于上述多个箱子的抽奖游戏，在你第 次选择后，当主持人打开此外的一个空箱子，并给你重新选择的机会时，你同样可以通过改变选择提高成功的概率而且，假如在你第次选择后，主持人又打开此外的一个空箱子，并再次给你重新选择的机会时，你仍然应该改变自己的选择，以获得更大的成功概率。这个策略也适用于多次选择的情况事实上，在上述多次选择的游戏中，主持人每打开一个空箱子都提供了新的有用信息，抽奖人需要不断根据这些信息，利用贝叶斯公式计算出（新的）后验概率，并据此修正自己的选择以提高成功的概率。这种不断改进和校正决策的过程非常近似于人类的学习和思维模式，也是贝叶斯方法许多应用的关键，正是由于这个特点，贝叶斯方法在人工智能领域发挥了非常重要的作用，已经成为学习型人工智能的理论基础谢谢谢谢观看观看
