1、二项分布一、二项分布3,(1)10(2)0.8,3(3)5%,20nAA下面 个随机试验是否为 重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为那么 的概率是多大？重复试验的次数是多少？抛掷一枚质地均匀的硬币次。某飞碟运动员每次射击中靶的概率为连续射击 次。一批产品的次品率为有放回地随机抽取件(2)各次试验的结果相互独立nn我们将一个伯努利试验独立地重复进行 次所组成的随机试验称为 重伯努利试验。只包含两个可能结果.我的试验叫做们伯努利试验把例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等。在实际问题中，有许多随机试验与
2、掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果。(1)n同一个伯努利试验重复做 次；n显然，重伯努利试验具有如下共同特征：思考n例如，对产品抽样检验，随机抽取件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列用树状图表示试验的可能结果由概率的加法公式和乘法公式得X因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。.nAX而在重伯努利试验中，我们关注事件发生的次数A在伯努利试验中，我们关注某个事件是否发生，探究0.8.3X某飞碟运动员每次射击中靶的概率为连续次射击，中靶次数的概率分布列是怎样的？(1,)2,3iAii 用表示“第 次射击中靶”3每个结果都是个相互独立事件的积它们两两互斥，33
3、28由分步乘法计数原理，次独立重复试验共有种可能结果，330.80.2)3(,0,1,2,kkkkXXkPC于是，中靶次数的分布列为3123(3)(0).8XPA A AP32121231233 0.8)0(2)()()(.2XA A AA A APPPAP A A2212312313()3 0.8(1)2)(0.()XA A AA A APPPP A A A3123(0)(0).2XPA A AP223320.80.2C 因此，次射击恰好次中靶的概率为20.80.2,这三个结果发生的概率都相等，均为并且与哪两次中靶无关32011,110,101那么 次射击恰好次中靶的所有可能结果可表示为10
4、为了简化表示，每次射击用 表示中靶，用 表示脱靶，013同理可求中靶次、次、次的概率00()(1)(1)1nnkkn knnkkP XkC pppp42XX如果连续射击次，表示中靶次数等于 的结果有哪些？写出中靶次数的分布列(,)XB n p记作X如果随机变量 的分布列具有上式的形式，),0,1(,2,()1nkkknXAXPC pXknpk用表示事件 发生的次数，则的分布列为(01)App设每次试验中事件 发生的概率为n一般地，在 重伯努利试验中，X则称随机变量服从二项分布思考1(),0,1,2,nkn kknkabTC abkn展开式中的通项0()knnkn knkabC ab因此，正面朝
5、上的次数服从二项分布10(15(2).10 4,0.6将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，求：恰好出现 次正面朝上的概率；正面朝上出现的频率在内的概率例410510610101010460.50.50.567221102432PXCCC于是10分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个重伯努利试验。(20.4,0.646)X正面朝上出现的频率在内等价于510102526350.51024256P XC于是(155)X 恰好出现 次正面朝上等价于10,0.5XAXB用表示事件 发生的次数，则0.5()AP A解：设“正面朝上”，则X因此服从二项分布且每
6、次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，0.510且概率都是在下落的过程中，小球共碰撞小木钉次，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，10因此这是一个重伯努利试验0,1,2,210,XX在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃。将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中。格子从左到右分别编号为用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列例分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞
7、的结果。0123456789 10X 的概率分布图如图所示5()0.)AP AP且10A 则“向左下落”，A解：设“向右下落”，10100.5,0,1,2(),10kXPkkCX于是，的分布列为(10,0.5)XB所以10而小球在下落的过程中共碰撞小木钉次，XA因为小球最后落入格子的号码等于事件 发生的次数，1121214241418383818116132416616416116532103210325321321646641128156420641564664164211283512835128211287128112871281256151282562825656256702565625
8、62825682561256110249512365128451212651212651284512365129512151212010242101024252102421010241201024451024101024110241010244510240.6,03.43253甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为乙获胜的概率为那么采用 局胜制还是采用 局 胜制对甲更有利？例利用二项分布求“甲最终获胜”的概率3232322340.60.60.40.60.40.68256PCC再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，分
9、析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大。nnn也可以假定赛完所有 局，把 局比赛看成 重伯努利试验，5333:0,3:13:2类似地，采用 局 胜制，甲最终获胜有 种比分或212120.60.60.40.648pC甲最终获胜的概率为因为每局比赛的结果是独立的，3后者是前两局甲、乙各胜一局且第 局甲胜前者是前两局甲连胜，1:322:02:1解法采用 局胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为55X不妨设赛满 局，用 表示 局比赛中甲胜的局数实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利2233330.60.40.60.648CC3,0
10、.6XB则33X不妨设赛满 局，用 表示 局比赛中甲胜的局数，2:32解法采用 局 胜制，53采用 局 胜制，21pp因为33244555550.60.40.60.40.60.68256CCC2(3)(4)(5)XpP XXPP甲最终获胜的概率为(5,0.6)XB则123pP XP X甲最终获胜的概率为53所以 局 胜制对甲有利)(),(3XnAXn pB设为 次独立重复试验中事件 发生的次数，则(2,)n确定重复试验的次数并判断各次试验的独立性；(1)AAp明确伯努利试验及事件 的意义，确定事件 发生的概率一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：归纳(,)XB n pX假设随机变量服从二项分
11、布那么的均值和方差各是什么？()(1)D Xpp方差为()XE Xnp根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量我们猜想100100 0.550如果掷次硬币，期望有次正面朝上0.5抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为(10)(1),Pp PpXX 分布列为(1)1nX当时，服从两点分布，n先考察 较小的情况()EpX 均值为探究()()(1),(,),XBE XnpD Xnppn p如果那么np)2(1)(1PpXp2(0)(1)P XpX 的分布列为(2)2n 当时，222222()(1)(1)(2)(1)01222DpppXpppp方差为2(2)pXP22()(1)(1)20122
12、EpppXpp 均值为110nkkn knknCp q0()nkkn knkEkC p qX可得11kknnkCnC由1,qp 令下面我们对均值进行证明111(1)11nkknknknpCpq 1()np pqn11111()nnkn kknkqpCqp22()()()D XE XE X(1)npp220()nkkn knkEk C pXq11kknnkCnC由得111(1)11nkknknknpkCpq 110nkkn knknkCp q111(1)111(1)1111(1)nnkknkkknknnkknpkCpqCpq 1212(1)(1)kknnkCnC211(1)111(1)2121(
13、1)nnkknkkknknnkknpnCpqCpq 2222(2)122(1)()nkknknnkn npCpqnp qp 22(1)()nn np qpnp2(1)n npnp22(1)()n npnpnp11111()nnkn kknkqpCqp22222()nnkn kknkqpCqp思考()D Xnpq你能证明吗？1.4(1(2)()()XXE XD X将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，表示“正面朝上”出现的次数求的分布列求，0,1,2,3,4k X的分布列为练习(1)0,1,2,3,4X解：的所有取值为21441()()2kP XkC142(2)()E xnp11422()D xnpq
14、2.80%5(1(21)鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒如果 只鸡接种了疫苗，求：没有鸡感染病毒的概率；恰好有 只鸡感染病毒的概率(5,0.2)XB则102431255X解：设 只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为2566250554(1)(0)()5P XC14514(2)(1)()55P XC)(12,0.25)(6,0.1)3.(112(2 100106XBYB判断下列表述正确与否，并说明理由：道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数件产品中包含件次品，不放回地随机抽取件，其中的次品数12这是一个重伯努利试验不满足二项分布的条件0.25且每道题猜对答案的概率为的每道题猜对答案否是独
15、立与(1)答：正确.立所以每次是否抽次品不独到但由于是不放回抽样0.1每次抽到次品的概率为(2)错误100844,XX问题 已知件产品中有 件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件设抽取的件产品中次品数为求随机变量的分布列(4,0.08)XB即X因此不服从二项分布4XX如果采用不放回抽样，那么抽取的件产品中次品数是否也服从二项分布？如果不服从，那么的分布列是什么？X此时服从二项分布，0.08,如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为且各次抽样的结果相互独立，思考n而且各次抽取的结果也不独立，不符合 重伯努利试验的特征，0.08,采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是但每次抽取不是同
16、一个试验，二、超几何分布489241000,1,2,3,4()kkC CXPkCXk由古典概型的知识，得的分布列为，0.01)000计算的具体结果（精确到如下表所示48924kkkC C其中件产品中恰有 件次品的结果数为41001004C从件产品中任取件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的0,1,2,3,4X由题意可知，可能的取值为X可以根据古典概型求的分布列。XX布如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服超几何分从,1,2,km mmr()kn kMN MnNC CP XkCX则的分布列为Xn用表示抽取的 件产品中的次品数，NMNn一般地，假设一批产品共有件，其中
17、有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）,min nrM,0,mmaxnNM,n N MNMN nN其中0,1,202.1023NMnXkk若，则中 的所有可能取值为03.634NMnXkk若，则中 的所有可能取值为04.643NMnXkk若，则中 的所有可能取值为01.1032NMnXkk若，则中 的所有可能取值为0,1,21,2,31,2,3()1rkn knMMrkNmNk mC CCP Xk由可得5450从名学生中随机选出 名学生代表，求甲被选中的概率例14149550110(1)CXCPC因此甲被选中的概率为50,1,5NMn且X则服从超几何分布，)501X解：设表示选出的 名学生中
18、含甲的人数（只能取或3031150一批零件共有个，其中有 个不合格随机抽取个零件进行检测，求至少有 件不合格的概率例0103271030110.7192(1)(0)PPC CXXC 也可以按如下方法求解：1928373273273271010103030300.7192C CC CC CCCC(1)(1)(2)(3)1PPXXPXXP至少有 件不合格的概率为103271030,0,1,2,3()kkXC CXPCkk的分布列为30,3,10XNMn则服从超几何分布，且10X解：设抽取的个零件中不合格品数为服从超几何分布的随机变量的均值是什么？()EpXn即npXnn而是抽取的 件产品的次品率，
19、,MppNN令则 是件产品的次品率，XMNn则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取 件产品中的次品数，X设随机变量服从超几何分布，,()XEnp我们猜想11()rkn kMN Mnk mNME XCCC1111rkn knMN MNk mCCC11kn krMN Mnk mNCCMC()kn krMN Mnk mNC CE XkCmin,rn Mmax0,mnNMnMN11nNnNMCC探究100406020(1(620.)1)XX一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中随机地摸出个球作为样本用表示样本中黄球的个数。分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列；分别就有
20、放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过的概率例0,1,2,20k X而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布(20,0.4)20XB摸出个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验。对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，0,1,2,20k,(20 0,.4)XB因此且各次试验之间的结果是独立的(1.4)0解：对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为X 服从超几何分布，20120()0.40.6kkkkXCkpP X的分布列为20406020021 0()kkkCXkCCpP X的分布列为.(2
21、)0 000)01,利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到如表因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些8(6100 798).xP9(6100 746).xP2020Xf样本中黄球的比例是一个随机变量，20(|0.4|0.1),fP根据上表 计算得有放回摸球：20(|0.4|0.1)Pf不放回摸球：但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近,)(8虽然这两种分布有相等的均值 都是X两种摸球方式下，随机变量分别服从二项分布和超几何分布。此时，超几何分布可以用二项分布近似nNN对于不放回抽样，当 远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，并且二者的均值相同
22、。n二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的 件产品中次品数的分布规律，拓展与延申二项分布与超几何分布的辨析1.NMNMMpXnN建立模型袋子中有大小相同的个球，其中有个红球，个白球令，设表示摸出的 个球中红球的个数，则摸球方式放回摸球()E X不放回摸球NnM参数为，的超几何分布(,)B n p二项分布(1)nppnp(1)1NnnppNX 的分布()D Xnp2.二项分布与超几何分布的联系与区别(1)n由古典概型得出超几何分布，由 重伯努利试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布(3)11NnNNnN对于不放回摸球，当充分大，且 远远小于时，各次抽样结果彼此影响很小，可
23、近似认为是独立的。此时，超几何分布可以用二项分布近似。从方差的角度看，由于，两个分布的方差也近似相等(2)对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近(4)NMMpN在确定分布列时，超几何分布必须同时知道和，而二项分布只需要知道即可1.24422一箱罐的饮料中 罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取罐，求这罐中有奖券的概率练习2X解：设抽出的罐中有奖卷的罐数为X则服从超几何分布24,4,2NMn且43138(1)(1)(2)P XP XP x4 206 1276 1120420420222424C CC CCC2.12442学校
24、要从名候选人中选名同学组成学生会，已知有名候选人来自甲班假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有名同学被选到的概率4x解：设选到的人中甲班同学的人数为56165X则服从超几何分布12,4,4NMn且2248412(2)C CP XC1.5630X抛掷一枚骰子，当出现 点或 点时，就说这次试验成功，求在次试验中成功次数的均值和方差7.4习题1(30,)3XB解：1()30103E X 1220()30333D X 2.0.9,4若某射手每次射击击中目标的概率为每次射击的结果相互独立，则在他连续次射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大？(4,0.1)XB则134(1)0.1 0.90.29
25、16P XC4X解：设次射击未击中目标的次数为3.0164)(2)(1s如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动 次求下列事件的概率质点回到原点；质点位于 的位置5163321(6,)2XB则6X解：设质点 次移动中向右移动的次数为3661(3)()2P XC5661(5)()2P XC(1)3当质点向右、向左各移动 次时回到原点(2)514当质点向右移动 次、向左移动 次时位于 的位置4.5252A从一副不含大小王的张扑克牌中任意抽出 张，求至少有张 牌的概率5245NMn且，0,1,2,3,4k(2)(2)(3)(4)P XP XP XP
26、X2257541456 47 46 84 47 244852 51 49 20 233241448448448555525252C CC CC CCCC47 462 47 113 17 49 5 5448552()kkC CP XkCX则服从超几何分布5AX解：设抽出的 张牌中 牌的张数为0.041 695.0.8,10:(18(28)某射手每次射击击中目标的概率为共进行次射击，求恰有 次击中目标的概率；至少有 次击中目标的概率4(10,)5XB则589 8241 95312510X解：设次射击中击中目标的次数为8821041(1)(8)()()55P XC0.3065536145390 62
27、52588299101010101041414()()()()()55555CCC(2)(8)(8)(9)(10)P XP XP XP X0.6845 65 536 1 10 262 144 1 1 048 5769 765 625 66191369 765 6256.102053有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 个球，至少摸到 个红球就中奖求中奖的概率0.191454223 751(3)(3)(4)(5)P XP xP xP X30105NMn且，X则 服从超几何分布5X解：设摸出的 个球中红球的个数为20 19070 104229 9 1
28、3 7 120 190210 2025229 27 26 7324150102010201020555303030C CC CC CCCC7.3,(1320%)XX一个车间有 台车床，它们各自独立工作设同时发生故障的车床数为在下列两种情形下分别求的分布列。假设这 台车床型号相同，它们发生故障的概率都是(1)(3,0.2)XB解：X 的分布列为033464(0)()5125P XC1231448(1)()55125P XC2231412(2)()55125P XC33311(3)()5125P XC7.3,(232110%)20%XXABAB这一个车间有 台车床，它们各自独立工作设同时发生故障的
29、车床数为在下列两种情形下分别求的分布列。台车床中有 型号 台，型号 台，型车床发生故障的概率为，型车床发生故障的概率为123AAB解：设、分布表示这 台车床发生故障的事件X 的分布列为()0.2P B 12()()0.1P AP A12AAB则、相互独立，且0.6480.3060.0440.0020.9 0.9 0.8123()()()P A P A P A123(0)()P XP A A A0.1 0.1 0.2123()()()P A P A P A123(3)()P XP A A A0.1 0.9 0.80.9 0.1 0.80.9 0.9 0.2123123123()()()()()(
30、)()()()P A P A P AP A P A P AP A P A P A123123123(1)()()()P XP A A AP A A AP A A A0.1 0.1 0.80.1 0.9 0.20.9 0.1 0.2123123123()()()()()()()()()P A P A P AP A P A P AP A P A P A123123123(2)()()()P XP A A AP A A AP A A A8.90%.106某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为随机选择了个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过人，你是否怀疑药厂的宣传？0.012590%因
31、此有理由怀疑假设的正确性，即否定假设，认为这种新药的有效率达不到55566410100.90.10.90.1CC01019228337101010104465556641010100.10.9 0.10.90.10.90.10.90.10.90.10.90.1CCCCCCC610100(6)0.90.1kkkkP XC(10,0.9)XB则10X设名患者服用该药治愈的人数为90%解：假设新药的有效率确实达到54252 0.590 0.1210 0.531 0.10.0125是一个小概率，这个小概率事件发生了，这违背了小概率原理如果一个事件的概率很小，一般来说在一次试验中是不会发生的，这个称为小
32、概率原理。np对不同的 和 的值，绘制的概率分布图如图所示二项分布的性质)0(1),1,n kkknXPC pknXkp则 的分布列为)(,BpXn设随机变量探索与发现kp下面，我们利用分布列的表达式来研究的增减变化及最大值(1)1(1)npkkp 0.5p 二项分布当时是对称的，k在某一个（或两个）值处达到最大0kknp当 由 增大到 时，先增后减，观察图形我们发现：0.5p 当时向右偏倚。0.5p 当时向左偏倚，(1)(1)(1)kpnpkkp(1)(1)nkpkp1111(1)(1)kkn kknkkn kknpC pppCpp,()kXpPk记11,()kkkkpppnpk当时，随 值的增加而增加；11,()kkkkpppnpk当时，随 值的增加而减小。)(1np如果为正整数，1(1)kkkppnp当时，)(1np如果为非整数，)(1kpn而 取的整数部分，kp则是唯一的最大值此时这两项概率均为最大值谢谢谢谢观看观看
