1、6.2.1 排 列 高二数学选择性必修 第三册 第六章 计数原理学习目标1.理解排列的概念;2.能正确写出一些简单问题的所有排列.3.核心素养:直观想象、数学运算。1.分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.12nNmmm2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做 第 1 步有 m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，做 第 n 步 有mn种不同的方法.那 么 完 成这件 事 共有 种不同的方法.12nNmmm一、回顾旧知1.问题1:从
2、甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？二、探究新知:上午 下午 相应的排法甲乙丙乙丙甲丙甲乙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙分析:要完成的一件事情是“选出2名同学参加活动,1名参上午的活动,另1名参加下午的活动”,可以分步完成.图6.2-1解:从3名同学中选出2名同学参加活动，1名上午,另1名下午,可以分两个步骤完成:第1步,确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人,有3种选法:第2步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人去选,有2种选法.根据分步乘法计数原理,不同选法的种数
3、N=32=6.6种选法如图6.2-1所示2.若把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？不同的排列:ab,ac,ba,bc,ca,cb不同的排列方法种数:N=32=6.3.问题2:从1，2，3，4这4个数中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数？1234443322444333111244431112224333111222 叙述为:从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个,然后按照一定的 顺序排成一列 共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,
4、adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143;213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342;412,413,421,423,431,432.百位十位个位不同的排列方法种数:N=432=24.问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天 的 一项活动,其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动,有哪些不同的排法?实质是:从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列
5、,有哪些不同的排法.问题2 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共 可 得到多少个不同的三位数？实质是:从4个不同的元素中,任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.一般地说,从n个不同的元素中,任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不 同的元素中取出m个元素的一个排列.4、排列：从n个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。注意：1).元素不能重复。2).“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3).两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且
6、元素的排列顺序也完全相同。4).mn时的排列叫选排列,mn时的排列叫全排列。5).为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。（有序性）（互异性）1.判断下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中归纳这几类问题的区别）是排列不是排列是排列是排列不是排列
7、是排列三、巩固新知:三、巩固新知:2.例1.某省中学生足球赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场 分别 比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析:每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选2支，按“主队、客队”的顺序排成一个排列.解:可以先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为:65=30.三、巩固新知:3.例2.(1).一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2).学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？.
8、分析:3名同学每人从5盘不同菜中取1盘菜，可看作从5盘菜中任取3盘放在3个位置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.解:(1).可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:543=60.(2).可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从从5种菜中选1种，有5种选法;最后让同学丙从5种菜中选1种,有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:555=125.2).写出从5个元素a,b,c,d,e中任取2个元素的所有排
9、列 解决办法是先画“树形图”,再由此写出所有的排列,共20个.若把这题改为:写出从5个元素a,b,c,d,e中任取3个元素的所有排列,结果如何呢？方法仍然照用,但数字将更大,写起来更“啰嗦”.4变式.1).在A、B、C、D四位候选人中选举正、副班长各一人共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果AB AC AD BA BC BDCA CB CD DA DB DC 研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式 5.排列数：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的
10、所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。mnA“排列”和“排列数”有什么区别和联系？“一个排列”是指:从n个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数;“排列数”是指:从n个不同元素中,任取m个元素所有排列的个数，是一个数;所以符号 只表示排列数，而不表示具体的排列.mnA233 26A 1)问题:中是求从个不同元素中取出个元 素的排列数，记为 ,已经算得23A344 3 224A 2)问题2:中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出34A3).从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少?2nA呢？mnA呢？3nA 第1位第2位第
11、3位第m位n种(n-1)种(n-2)种(n-m+1)种2(1)nAn n3(1)(2)nAn nn(1)(2)(1)mnAn nnnm5.探究:6.(1)排列数公式（1）：(1)(2)(1),(,*,)mnAn nnn mmn N m n 当mn时，123)2)(1(nnnAnn正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示。n个不同元素的全排列公式：!nAnn(2)排列数公式（2）：)!(!mnnAmn说明:排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明.为了使当mn时上面的公式也成立，规定：1!0.对于 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条件.nm!n37A47A4262AA7.例3.计算
12、:（1）（2）（3）37765210A解：（1）77447!7652104!AA（3）477654840A（2）7744AA 42626 5 4 3 2 16!720AA（4）（4）8.例4证明：-mmmnnnAAm A 11证明:右边!()!()!nnmn mn m 1!()!()!nn mn mn m 11()!()!nnnm 11()!()!nnm 111左边.mnA !(-)!mnnAn m 9.变式练习：1817981,_,_).如如 果果则则mnAnm 555668629,()()()()若若则则用用排排列列数数符符号号表表示示为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.nNn
13、nnn 332130,_如如 果果).则则nnAAn 75548 9,_ _ _ _ _)则则.如如 果果nnnAAnA 由由n=18，n-m+1=8，得，得m=111569 nA).1(8)2)(1(10)22)(12(2nnnnnnnn舍即).4(15,8929112nnnn舍解得化简得1811815四.课堂小结：1.排列:从n个不同元素中选出m(mn)个元素,并按 一定的顺序排成一列.2.关键点:1.互异性(被选、所选元素互不相同)2.有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)3.排列数:所有排列总数121mnAn nnnm ()().()mnn!A=(n-m)!作业:课本P20 练习 2,3题
