1、由递推公式求通项的由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的种方法及破解数列中的3类探索性问题类探索性问题 一、由递推公式求通项的一、由递推公式求通项的7种方法种方法 1、an1anf(n)型型 把原递推公式转化为把原递推公式转化为an1a nf(n)，再利用累加法，再利用累加法(逐差相加法逐差相加法)求解，即求解，即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(3)f(n 1)例例3已知数列已知数列an中，中，a11，an12an3，求，求an.解解设递推公式设递推公式an12an3可以转化为可以转化为an1t2(ant)，即，即an12ant，则，则t3.故递推公式为
2、故递推公式为an132(an3)5、an1pananb(p1，p0，a0)型型 这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为从而转化为anxny是公比为是公比为p的等比数列的等比数列 例例5设数列设数列an满足满足a14，an3an12n1(n2)，求求an.6、an1pa(p0，an0)型型 这种类型一般是等式两边取对数后转化为这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq型数列，再利用待定系数法求解型数列，再利用待定系数法求解 二、破解数列中的
3、二、破解数列中的3类探索性问题类探索性问题 1条件探索性问题条件探索性问题 此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件
4、当作充分条件，应引起注意否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意 例例1已知数列已知数列an中，中，a12，a23，其前，其前n项和项和Sn满足满足Sn2Sn2Sn11(nN*)；数列；数列bn中，中，b1a1，bn14bn6(nN*)(1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式；(2)设设cnbn2(1)n12an(为非零整数，为非零整数，nN*)，试，试确定确定的值，使得对任意的值，使得对任意nN*，都有，都有cn1cn成立成立 思路点拨思路点拨处理第处理第(2)问中的问中的cn1cn恒成立问题，可通过恒成立问题，可通过构造函数将问题转化为函数的最值问题，再来研究所构造的函构造函数将
5、问题转化为函数的最值问题，再来研究所构造的函数的最值数的最值 解解(1)由已知得由已知得Sn2Sn1(Sn1Sn)1，所以所以an2an11(n1)又又a2a11，所以数列所以数列an是以是以a12为首项，为首项，1为公差的等差数列为公差的等差数列 所以所以ann1.因为因为bn14bn6，即，即bn124(bn2)，又，又b12a124，所以数列所以数列b22是以是以4为公比，为公比，4为首项的等比数列为首项的等比数列 所以所以bn4n2.(2)因为因为ann1，bn4n2，所以所以cn4n(1)n12n1.要使要使cn1cn成立，成立，需需cn1cn4n14n(1)n2n2(1)n12n1
6、0恒恒成立，成立，化简得化简得34n3(1)n12n10恒成立，恒成立，即即(1)n12n1恒成立，恒成立，当当n为奇数时，即为奇数时，即2n1恒成立，当且仅当恒成立，当且仅当n1时，时，2n1有最小值有最小值1，所以，所以2n1恒成立，当且仅当恒成立，当且仅当n2时，时，2n1有最大值有最大值2，所以，所以2，即，即2cn成立成立 点评点评对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列遇是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列遇到到Sn要注意利用要注意利用Sn与与an的关系将其转化为的关系将其转化为an
7、，再研究其具体性，再研究其具体性质遇到质遇到(1)n型的问题要注意分型的问题要注意分n为奇数与偶数两种情况进为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对行讨论，本题易忘掉对n的奇偶性的讨论而致误的奇偶性的讨论而致误 2结论探索性问题结论探索性问题 此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定解决此类问题的策略是：先探索结论而后去与否需要确定解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情
8、形分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论去认证结论 思路点拨思路点拨处理第处理第(2)问中的是否存在问题，可先假设问中的是否存在问题，可先假设存在正整数存在正整数m，n，把，把m，n转化为一个变量求出这个变量的转化为一个变量求出这个变量的范围，根据正整数求其值，若在所求范围内能够得到适合题范围，根据正整数求其值，若在所求范围内能够得到适合题目的值，则存在，否则就不存在第目的值，则存在，否则就不存在第(3)问中问中Tn与与9的大小比的大小比较可以通过构造函数，根据函数的性质比较较可以通过构造函数，根据函数的性质比较Tn与与9的大小的大小解解(1)因为因为a2aanan1，
9、即即(anan1)(2anan1)0.又又an0，所以，所以2anan10，即，即2anan1.所以数列所以数列an是公比为是公比为2的等比数列的等比数列由由a2a42a34，得，得2a18a18a14，解得，解得a12.故数列故数列an的通项公式为的通项公式为an2n(nN*)点评点评对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，证明注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定
10、变量的值遇到数列中的比较大小问题可以采用构造函数，根据变量的值遇到数列中的比较大小问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法 3存在探索性问题存在探索性问题 此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象对象(数值、图形、函数等数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决此是否存在或某一结论是否成立解决此类问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂类问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在
11、这个前提下进行逻辑推理，若且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用在解题中起着重要的作用 (3)是否存在互不相等的正整数是否存在互不相等的正整数m，s，n，使，使m，s，n成成等差数列，且等差数列，且am1，as1，an1成等比数列？如果存在，成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由请给以证明；如果不存在，请说明理由 思路点拨思路点拨第第(1)问中问中an1与与an的关系以分式形式给出，的关系以分式形式给出，可以通过取倒数处理，目
12、的仍然是变为等差数列或等比数列；可以通过取倒数处理，目的仍然是变为等差数列或等比数列；第第(3)问可先假设所探求问题存在再去求解，注意应用重要不问可先假设所探求问题存在再去求解，注意应用重要不等式进行判断等式进行判断 点评点评数列问题是以分式形式给出条件的，一般数列问题是以分式形式给出条件的，一般采用取倒数，再转化为等差数列或等比数列，通过等差采用取倒数，再转化为等差数列或等比数列，通过等差数列与等比数列的桥梁作用求出通项遇到多个变量的数列与等比数列的桥梁作用求出通项遇到多个变量的存在性问题，一般假设存在，求出满足的关系，再寻找存在性问题，一般假设存在，求出满足的关系，再寻找满足的条件，一般可以利用重要不等式、值域或范围等满足的条件，一般可以利用重要不等式、值域或范围等判断是否存在判断是否存在
