1、 知识系统整合 规律方法收藏1本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段的起点位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量数学中的向量指的是自由向量，根据需要可以进行平移2共线向量条件和平面向量基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础3向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角或零角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角或180角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.通过向量的数量积，可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两
2、个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直4平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题，要注意“三部曲”；用向量解决物理问题，体现了数学建模的要求，要根据题意结合物理意义作出图形，转化为数学问题，再通过向量运算使问题解决5正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明，求值问题(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解(2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换，通过等价转化
3、构造方程及函数求解6学习本章要注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比7向量是数形结合的载体在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段 学科思想培优向量的线性运算向量的线性运算包含向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律，向量的线性运算也叫向量的初等运算，它们的运算法则
4、在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但在具体含义上是不同的不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.典例1如图，梯形ABCD中，ABCD，点M，N分别是DA，BC的中点，且k，设e1，e2，以e1，e2为基底表示向量，.解e2，且k，kke2.0，e1(k1)e2.又0，且，e2.典例2已知线段AB的端点为A(x,5)，B(2，y)，直线AB上的点C(1,1)，且|A|2|B|，求x，y的值解由|A|2|
5、B|，可得A2B，又A(1x,15)，2B2(12,1y)(6,22y)，当A2B时，有解得当A2时，有解得由可知或向量的数量积运算向量的数量积运算是本章的核心，由于向量数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不等式等，因此它的应用也最为广泛利用向量的数量积可以求长度、也可判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式等知识融合在一起典例3在OAB中，a，b，OD是AB边上的高，若，则实数等于()A BC D解析，()，(1)b(1)a，又是AB边上的高，0，即()0，(1)ab(ba)0.整理可得(ab)2(ab)a，即.答案B典例4平
6、面内有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，点M为直线OP上的一动点(1)当取最小值时，求的坐标；(2)在(1)的条件下，求cosAMB的值解(1)设(x，y)，点M在直线OP上，向量与共线，又(2,1)x1y20，即x2y.(2y，y)又，(1,7)，(12y,7y)同理(52y,1y)于是(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y12.可知当y2时，有最小值8，此时(4,2)(2)当(4,2)，即y2时，有(3,5)，(1，1)，|，|，(3)15(1)8.cosAMB.向量的应用向量的应用是多方面的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数
7、、三角函数的性质等方面，当然还有在物理方面的应用典例5在ABC中，0，|12，|15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点(1)求的值；(2)判断的值是否为一个常数，并说明理由解(1)0，ABAC又|12，|15，|9.由已知可得()，()()(22)(14481).(2)的值为一个常数理由：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，0.故().典例6平面向量a(，1)，b，若存在不同时为0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t)解由a(，1)，b得ab0，|a|2，|b|1，由xy，得xya(t
8、23)b(katb)0，即ka2tabk(t23)abt(t23)b20，4kt33t0，k(t33t)，即kf(t)(t33t)典例7已知ABC中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC边上的高为AD(1)求证：ABAC；(2)求点D和向量的坐标；(3)设ABC，求cos；(4)求证：AD2BDCD解(1)证明：(1，2)(2,4)(3，6)，(4,3)(2,4)(2，1)32(6)(1)0，ABAC(2)设D点坐标为(x，y)，则(x2，y4)，(5,5)ADBC，5(x2)5(y4)0.又(x1，y2)，而与共线，5(x1)5(y2)0，联立解得x，y.故D点坐标为.(3)cos
9、.(4)证明：，|2，|，|.|2|，即AD2BDCD典例8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(ac，b)与向量n(ac，ba)互相垂直(1)求角C；(2)求sinAsinB的取值范围解(1)由已知可得，(ac)(ac)b(ba)0a2b2c2ab，cosC，所以C.(2)由C，得AB，sinAsinBsinAsinsinAsincosAcossinAsinAcosAsin，由0A，Asin1.所以sinAsinB的取值范围是.数形结合思想向量本身既有大小，又有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质坐标运算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”的
10、两方面特征两条直线平行、垂直，三点共线等几何问题，可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度等问题典例9已知向量a与b不共线，且|a|b|0，则下列结论正确的是()A向量ab与ab垂直B向量ab与a垂直C向量ab与a垂直D向量ab与ab共线解析如图所示，作a，b，以OA和OC为邻边作OABC由于|a|b|0，则四边形OABC是菱形所以必有ACOB又因为ab，ab，所以(ab)(ab)答案A典例10已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos，sin)，则向量与向量的夹角的取值范围为()A BC D解析如图，向量的终点A在以点C(2,2)为圆心、半径为
11、的圆上，OA1，OA2是圆的两条切线，切点分别为A1，A2.在RtOCA1中，|2，|，所以COA1.所以COA2COA1.因为COB，所以A1OB，A2OB.所以向量与向量的夹角的取值范围是.答案D典例11如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，DB10(
12、海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)答：该救援船到达D点需要1小时第六章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列等式恒成立的是()A.0B.C(ab)ca(bc)D(ab)cacbc答案D解析由数量积满足分配律可知D正确2ABC的三个内角A，B，
13、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)若pq，则角C的大小为()A. B. C. D.答案B解析pq(ac)(ca)b(ba)0，即c2a2b2ab0cosC，0C，C.故选B.3在五边形ABCDE中(如图)，()A. B.C. D.答案B解析.4已知ab(2，8)，ab(8,16)，则a与b之间的夹角的余弦值为()A. B C D.答案B解析由ab(2，8)，ab(8,16)，得a(3，4)，b(5，12)，所以|a|5，|b|13，ab63，故cosa，b.5已知i(1,0)，j(0,1)，则与2i3j垂直的向量是()A3i2j B2i3jC3i2j D2i3
14、j答案C解析2i3j(2,3)，选项C中3i2j(3,2)因为2(3)320，所以2i3j与3i2j垂直6在ABC中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若(bc)sinB2csinC且a，cosA，则ABC的面积等于()A. B. C3 D3答案A解析由正弦定理，得(bc)b2c2，得b2bc2c20，得b2c或bc(舍去)由a2b2c22bccosA，得c2，则b4.由cosA知，sinA.所以SABCbcsinA42.故选A.7向量a与b不共线，akb，lab(k，lR)，且A与A共线，则k，l应满足()Akl0 Bkl0Ckl10 Dkl10答案D解析因为与共线，所以设(R)，即
15、lab(akb)akb，所以(l)a(1k)b0.因为a与b不共线，所以l0且1k0.消去得1lk0，所以kl10.8在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则()A1 B2 C3 D4答案B解析由已知得BC，BCD135，所以()()cos1801cos1352cos4521cos02.9已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析设a与b的夹角为，|a|24ab0，ab，cos.0，.10已知非零向量与满足0，且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B等腰直角三角形C
16、等边三角形D以上均有可能答案C解析0，A的平分线所在的向量与垂直，所以ABC为等腰三角形又，cosA，A.故ABC为等边三角形11在ABC中，BB3，SABC，则B的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由题意知accosB3，所以ac，SABCacsinBsinBtanB.因为SABC，所以tanB，所以B.故选C.12设两个向量a(2，2cos2)和b，其中，m，为实数，若a2b，则的取值范围是()A6,1 B4,8C(，1 D1,6答案A解析由a2b，得所以又cos22sinsin22sin1(sin1)22，所以2cos22sin2.所以22m2.将2(2m2)2代入上式，得2(
17、2m2)2m2，解得m2，所以26,1第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知在ABC中，ab，A，B，则a的值为_答案33解析由正弦定理，得ba.由abaa，解得a33.14已知向量a(2,1)，b(1，2)若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_答案3解析由向量a(2,1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，则解得故mn3.15设O在ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|O2|1，则|O2O3O|_.答案2解析如图所示，易知|O2O3O|OO2(OO)|2O4O|2|O2O|2.16
18、ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).答案解析2a，2ab，a，b.又ABC是边长为2的等边三角形，|a|1，|b|2，正确，错误；由b，知b，正确；4ab2，(4ab)()220，(4ab)，正确故正确三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解解法一：|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，ab.|3ab|2(3ab)29a26abb29611
19、2.|3ab|2.解法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab|2.18(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosC.(1)若，求ABC的面积；(2)设向量x，y，且xy，求sin(BA)的值解(1)由，得abcosC.又因为cosC，所以ab.又C为ABC的内角，所以sinC.所以ABC的面积SabsinC3.(2)因为xy，所以2sincoscosB，即sinBcosB，因为cosB0，所以tanB.因为B为三角形的内角，所以B.所以AC，所以AC
20、.所以sin(BA)sinsinsinCcosC.19(本小题满分12分)已知|a|，|b|，ab5，cxa(1x)b.(1)当bc时，求实数x的值；(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值解(1)bc，bcbxa(1x)bxba(1x)b2x(5)(1x)50，解得x.(2)|c|2|xa(1x)b|2x2a22x(1x)ab(1x)2b210x210x(1x)5(x1)225x220x52521.当x时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1.此时，cab.acaa2ab10(5)1，设向量a，c的夹角为，当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值cos.20(本小题满分12
21、分)一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1000 km到达B地，然后向C地飞行设C地恰好在A地的南偏西60方向上，并且A，C两地相距2000 km，求飞机从B地到C地的位移解如下图，设A地在东西基线和南北基线的交点处则A(0,0)，B(1000cos30，1000sin30)，即B(500，500)，C(2000cos30，2000sin30)，即C(1000，1000)(500，1500)| 1000 (km)设正南方向的单位向量为j(0，1)，则与正南方向的夹角满足cos，30，由图形可知的方向是南偏西30.21(本小题满分12分)设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3
22、b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)若ab，2a3b，2akb，且A，C，D三点共线，求k的值解(1)证明：因为a2b，a2b，所以.又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线(2)设8akb(ka2b)，R，则解得或所以实数k的值为4.(3)(ab)(2a3b)3a2b，因为A，C，D三点共线，所以与共线从而存在实数使，即3a2b(2akb)，所以解得所以k.22(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图(1)求OCM的余弦值；(2)是否存在实数，使()，若存在，求出满足条件的实数的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)由题意可得(6,0)，(1，)，(3,0)，(2，)，(1，)，所以cosOCMcos，.(2)设P(t，)，其中1t5，(t，)，(6t，)，(2，)，若()，则()0，即122t30(2t3)12，若t，则不存在，若t，则，因为t，故(，12.
