1、第1课时三角函数的应用(一)学习目标1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题导语现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题一、简谐运动问题1现实生活中存在大量周而复始、循环往复特点的周期运动的变化现象，你能举
2、出哪些例子？提示弹簧振子的运动，钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，日出日落，潮涨潮落，一天温度的变化，一天人员流动的变化等等很显然，三角函数yAsin(x)(A0，0)可以更好的“拟合”这种周期性的变化问题2某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式t0.000.050.100.150.200.250.30y20.017.810.10.110.317.720.0t0.350.400.450.500.550.60y17.710.30.110.117.820.0提示
3、振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数yAsin(t)来刻画根据已知数据作出散点图，如图所示由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A20；振子振动的周期为T0.6 s，即0.6，解得；再由初始状态(t0)振子的位移为20，可得sin 1，因此.所以振子的位移关于时间的函数解析式为y20sin，t0，)知识梳理1在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”简谐运动可以用函数yAsin(x)，x0，)表示，其中A0，0.2A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离
4、开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x称为相位；x0时的相位称为初相注意点：如果A0或0)的初相和频率分别为和，则它的运动周期为_，相位是_答案3x解析因为频率f，所以T，所以3，所以相位x3x.反思感悟若yAsin(x)是一个简谐运动的解析式，则A0，0，若A，不满足条件，则利用诱导公式变形，使之满足，再根据概念求值跟踪训练1弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的()A频率为1.5 Hz B周期为1.5 sC周期
5、为6 s D频率为6 Hz答案B解析振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T1.5 s，频率f Hz.二、三角函数“拟合”模型的应用例2下表所示的是某地20002021年的月平均气温(华氏度)月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x月份1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；(2)这个函数的周期是多少？(3)估计这个正弦曲线的振幅A；(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
6、cos；cos；cos；sin.解(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知716，T12.(3)2A最高气温最低气温73.021.451.6，A25.8.(4)x月份1，不妨取x211，y26.0，代入，得1cos，不适合代入，得0cos，不适合，同理不适合，最适合反思感悟处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤(1)根据原始数据绘出散点图(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式(
7、4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据跟踪训练2下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：时间(时)024681012温度()36.836.736.636.736.83737.2时间(时)141618202224温度()37.337.437.337.23736.8(1)作出这些数据的散点图；(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据解(1)散点图如图所示(2)设t时的体温yAsin(t)c，由表知ymax37.4，ymin36.6，则c37，A0.4，.由0.4sin3737.4，得sin1，即2k，kZ，2k，kZ，取，故可用函数y
8、0.4sin37来近似描述这些数据三、三角函数在物理中的应用例3已知电流I与时间t的关系为IAsin(t)(1)如图所示的是IAsin(t)在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解(1)由题图可知A300，设t1，t2，则周期T2(t2t1)2，150.又当t时，I0，即sin0，又|0)，300942，又N*，故所求最小正整数943.反思感悟处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性(2)明确物理概念的意义，此类问
9、题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题跟踪训练3已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？解列表如下：2t02ts04040描点、连线，图象如图所示(1)将t0代入s4sin，得s4sin2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因
10、为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.1知识清单：(1)简谐运动(2)函数的“拟合”(3)三角函数在物理中的应用2方法归纳：数学建模、数形结合3常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题1函数ysin的周期、振幅、初相分别是()A3， B6，C3，3， D6，3，答案B2在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s15sin，s25cos.则在时间t时，s1与s2的大小关系是()As1s2 Bs1s2Cs1s2 D不能确定答案C解析当t时，s15sin5，
11、s25cos5，s1s2.3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角(0，T4，即，则400.3函数sAsin(t)(A0，0)表示一个振动量，振幅是2，频率是，初相是，则这个函数为()As2sin(t0)Bssin(t0)Cs2sin(t0)Ds(t0)答案C4电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin，则当t s时，电流强度I为()A5 A B2.5 A C2 A D5 A答案B解析将t代入I5sin，得I2.5 A.5.如图表示电流强度I与时间t的关系IAsin(t)(A0，0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式可以是()AI300sinBI300sin
12、CI300sinDI300sin答案C解析由图象得A300，T2，100，I300sin(100t)代入点，得sin0，取，I300sin.6(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()A该质点的运动周期为0.8 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零答案ABD解析由题图可知，0.70.30.4，所以T0.8；最小值为5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.7一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时
13、间t(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l _cm.答案解析由已知得1，所以2，42，l.8函数ysincos的振幅是 _.答案2解析因为ysincossin 2xcos 2x22sin，所以函数ysincos的振幅是2.9一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s (单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s6sin.(1)画出它的图象；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即t0)时，离开平衡位置是多少？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T1(s)列表：2t
14、22t016sin360603描点、连线，画图如下(2)小球开始摆动(即t0)时，离开平衡位置为3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.小球来回摆动一次需要1 s(即周期)10平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0t24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：t 03691215182124y1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根据表中近似数据画出散点图观察散点图，从yAsin(t)，yAcos(t)b，yAsin tb(A0，0，0)中选择一
15、个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)为保证队员安全，规定在一天中518时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？解(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示依题意，选yAcos(t)b作为函数模型，A，b，T12，ycos，又函数图象过点(3,2.4)，即2.4cos，cos1，sin 1，又0，0，h0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为_m.答案4解析由题意得函数yAsin th(其中A0，0，h0)的周期为T12，解得，y2sint5，该港口在11：00的水深为y2sin5
16、4(m)15稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y500sin(x)9 500(0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y10 0009 500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A10 000元 B9 500元C9 000元 D8 500元答案C解析因为y500sin(x)9 500(0)，所以当x1时，500sin()9 50010 000；当x2时，500sin(2)9 5009 50
17、0，所以可取，可取，即y500sin9 500，所以当x3时，y9 000.16在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如下表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x15980117126172225263298355存活时间y小时5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)试选用一个形如yAsin(x)t的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式；(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时解(1)细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足yAsin(x)t，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，19.45.414，故A7.又19.45.424.8，故t12.4.又T365，.当x172时，y7sin12.4(1x365，xN)(2)由y15.9得sin，x，可得111.17x232.83.这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时
