1、习题课基本不等式学习目标1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小一、巧用“1”的代换求最值问题例1若x0，y0，且1，求xy的最小值解1，x0，y0，xy(xy)1010216，当且仅当即x4，y12时，等号成立即xy的最小值为16.延伸探究已知a0，b0，a2b1，求t的最小值解因为a0，b0，a2b1，所以t(a2b)123232.当且仅当即时等号成立，故t的最小值为32.反思感悟常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的
2、表达式相乘求积或相除求商跟踪训练1已知x0，y0，x8yxy，求x2y的最小值解因为x0，y0，x8yxy，所以1，所以x2y(x2y)1010218，当且仅当即时等号成立所以x2y的最小值为18.二、分离消元法求最值例2已知x0，y0，x2y2xy8，求x2y的最小值解由x2y2xy8，可知y，因为x0，y0，所以0x0，y0，满足xyxy3，求xy的最小值解由题意可知y，所以xyxx15259，当且仅当x1，即x3时等号成立所以xy的最小值为9.反思感悟含有多个变量的条件最值问题的解决方法对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示
3、另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题跟踪训练2已知a0，b0，且2abab1，则a2b的最小值为_答案52解析由2abab1，得a，因为a0，b0，所以a0，b10，所以b2，所以a2b2b2(b2)42(b2)52552，当且仅当2(b2)，即b2时等号成立所以a2b的最小值为52.三、利用基本不等式证明不等式例3已知a，b，c均为正实数，且abc1.求证：8.证明因为a，b，c均为正实数，abc1，所以1，同理1，1.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得8，当且仅当abc时，等号成立延伸探究本例的条件不变，求证：9.证明332229，当且仅当abc时，等号成立反思感悟利用
4、基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；巧用“1”的代换证明不等式；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用跟踪训练3已知a0，b0，且ab，求证：ab2.证明由a0，b0，则ab，由于ab0，则ab1，即ab22，当且仅当ab1时，等号成立，所以ab2.1知识清单：(1)巧用“1”的代换求最值问题(2)分离消元法求最值(3)利用基本不等式证明不等式2方法
5、归纳：配凑法3常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误1已知0a1,0b1，且ab，下列各式中最大的是()Aa2b2 B2 C2ab Dab答案D解析0a1,0b1，a2a，b2b，a2b22ab(ab)，2aba2b22(ab)，ab最大2若0ab BbaCba Dba答案C解析0aab，b.又ba0，aba2，a.故ba.3已知x，y是正数且xy1，则的最小值为()A. B. C2 D3答案B解析由xy1，得(x2)(y1)4，即(x2)(y1)1，(x2)(y1)(54)，当且仅当x，y时等号成立的最小值为.4周长为1的直角三角形面积的最大值为_答案解析设直角三角形的两条
6、直角边的长分别为a，b，则ab1.又ab2，a2b22ab，所以12(2)，解得ab，当且仅当ab时等号成立，所以直角三角形的面积Sab，即S的最大值为.1设ta2b，sab21，则t与s的大小关系是()Ast Bst Cst Ds2|ab|答案A解析a2b22|ab|(|a|b|)20，a2b22|ab|(当且仅当|a|b|时，等号成立)3小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv答案A解析设甲、乙两地的距离为s，则v.由于ab，a，又2，v.故av0时，y有()A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2答案B解析因为x0，所以y1
7、，当且仅当x，即x1时，等号成立即y有最大值1.5设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析a2b22ab成立的条件是任意非零实数，而2成立的条件是a，b同号，由集合的关系可知选B.6(多选)下列函数中最小值为2的是()AyxByCyDyx(x2)答案BD解析对于A，当x0时，yx0，y22，当且仅当，即x0时等号成立，B正确；对于C，y2，但时，等号才能成立，而无解故2取不到，C错误；对于D，x2，则x20，yx(x2)2222，当且仅当x2，即x0时等号成立，D正确7已知t0，则函数y的最小值为_答案2
8、解析t0，yt4242，当且仅当t1时，等号成立y的最小值为2.8若a，b都是正数，且ab1，则(a1)(b1)的最大值是_答案解析因为a，b都是正数，且ab1，所以(a1)(b1)2，当且仅当a1b1，即ab时，等号成立所以(a1)(b1)的最大值为.9(1)若0x3时的最小值解(1)0x0，yx(123x)3x(123x)212，当且仅当3x123x，即x2时，等号成立函数yx(123x)的最大值为12.(2)yx3，x3，x30，x32，当且仅当x3，即x3时，等号成立函数y的最小值为2.10已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解(1)由x0，y0，
9、且2x8yxy0，得1，则12，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由(1)可得1，则xy(xy)1010218，当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.11已知a0，b0，ab1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6答案B解析a0，b0，ab1，mnba2a2b24，当且仅当ab1时，等号成立即mn的最小值为4.12已知a0，b0，则下列不等式中不成立的是()Aab2B(ab)4C.2D.答案D解析ab22，当且仅当ab时，等号成立，A成立；(ab)224，当且仅当ab时，等号成立，B成立；a2b22ab0，2，当且仅
10、当ab时，等号成立，C成立；ab2，a0，b0，1，当且仅当ab时，等号成立，D不成立13设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式yM都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界若a，b为正实数，且ab1，则的上确界为()A B. C. D4答案A解析因为a，b为正实数，且ab1，所以(ab)2，当且仅当b2a，即a，b时，等号成立因此有，即的上确界为.14设0x0，由基本不等式可得(1x)x5259，当且仅当，即x时，等号成立15已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值等于()A10 B9 C8 D7答案B解析因为a0，b0，所以2ab0，所以要使恒成立，只需m(2ab)恒成立，而(2ab)41549，当且仅当ab时，等号成立，所以m9.16已知a，b都是正数，求证：.证明2，即.又2， .又由基本不等式得，故 ，当且仅当ab时，等号成立
