1、共 62 页1第六十讲第六十讲 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列共 62 页2走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关共 62 页3回回 归归 教教 材材共 62 页41.随机变量的定义随机变量的定义(1)如果随机试验的结果可以用一变量来表示如果随机试验的结果可以用一变量来表示,那么这样的变那么这样的变量叫做随机变量量叫做随机变量,它常用字母它常用字母X,Y、,表示表示.(2)如果对于随机变量可能取的值如果对于随机变量可能取的值,可以按一定顺序一一列出可以按一定顺序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.共 62 页52.离散型随机
2、变量的分布列离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量设离散型随机变量X可能取的值为可能取的值为x1,x2,xi,xn,X取每取每一个值一个值xi(i=1,2,n)的概率的概率P(X=xi)=pi,则下表称为离散型随则下表称为离散型随机变量机变量X的概率分布列简称的概率分布列简称X的分布列的分布列.XX1x2xixnPp1p2pipn共 62 页6(2)离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质pi0,i=1,2,n;p1+p2+pi+pn=1.共 62 页73.超几何分布超几何分布一般地一般地,设有设有N件产品件产品,其中有其中有M(MN)件次品件次品,从中任取从中任取n(nN)
3、件产品件产品,用用X表示取出的表示取出的n件产品中次品的件数件产品中次品的件数,那么那么P(X=k)=(其中其中k为非负整数为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称则称X服从参数服从参数N,M,n的超几何分布的超几何分布.knkMNMnNCCC共 62 页84.二项分布二项分布在相同的条件下在相同的条件下,进行进行n次试验次试验,如果满足以下条件如果满足以下条件:(1)每次试验只有两个相互独立的结果每次试验只有两个相互独立的结果,可以分别称为可以分别称为“成功成功”和和“失败失败”;(2)每次试验每次试验“成功成功”的概率为的概率为p,“失败失败
4、”的概率均为的概率均为1-p;(3)各次试验是相互独立的各次试验是相互独立的.用用X表示这表示这n次试验中成功的次数次试验中成功的次数,则则P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n).若一个随机变量若一个随机变量X的分布列如上所述的分布列如上所述,称称X服从参数服从参数n,p的二项的二项分布分布,简记为简记为XB(n,p).knC共 62 页9考考 点点 训训 练练共 62 页10k.(k)k1,2,3,4,5,15()()1111A.B.C.D.29651P15P22设随机变量 的分布列为则等于答案答案:D共 62 页112.随机变量随机变量的分布列如下的分布列如下:12345
5、6P0.2x0.350.10.150.2则则x=_;P(3)=_;P(13)=P(=4)+P(=5)+P(=6)=0.1+0.15+0.2=0.45.P(14)=P(=2)+P(=3)+P(=4)=0+0.35+0.1=0.45.答案答案:0 0.45 0.45共 62 页13.,()()5353A.B.C.D.16168813XB 6P X32设随机变量 服从二项分布则等于答案答案:A共 62 页144.(2009重庆卷重庆卷)锅中煮有芝麻馅汤圆锅中煮有芝麻馅汤圆6个个,花生馅汤圆花生馅汤圆5个个,豆沙馅汤圆豆沙馅汤圆4个个,这三种汤圆的外部特征完全相同这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意
6、舀从中任意舀取取4个汤圆个汤圆,则每种汤圆都至少取到则每种汤圆都至少取到1个的概率为个的概率为()8254860A.B.C.D.91919191答案答案:C共 62 页155.(2009天津卷天津卷)在在10件产品中件产品中,有有3件一等品件一等品,4件二等品件二等品,3件三等品件三等品.从这从这10件产品中任取件产品中任取3件件,求求:(1)取出的取出的3件产品中一等品件数件产品中一等品件数X的分布列和数学期望的分布列和数学期望;(2)取出的取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.共 62 页16解解:(1)由于从由于从10件产品中任取件产品中任
7、取3件的结果数为件的结果数为 ,从从10件产品件产品中任取中任取3件件,其中恰有其中恰有k件一等品的结果为件一等品的结果为 ,那么从那么从10件产品中任取件产品中任取3件件,其中恰有其中恰有k件一等品的概率为件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以随机变量所以随机变量X的分布列是的分布列是310Ck3 k37C Ck3 k37310C CCX0123P72421407401120共 62 页17721711EX0123244040209.10 X的数学期望共 62 页18(2)设设“取出的取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数件产品中一等品件数多于二等品件数”为事为事件件A,
8、“恰好取出恰好取出1件一等品和件一等品和2件三等品件三等品”为事件为事件A1,“恰好取恰好取出出2件一等品件一等品”为事件为事件A2,“恰好取出恰好取出3件一等品件一等品”的为事件的为事件A3.由事件由事件A1,A2,A3彼此互斥彼此互斥,且且A=A1A2A3,而而P(A1)=,P(A3)=P(X=3)=,所以取出的所以取出的3件产品中一等品件数多件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=,()12332310C C37P AP X2C40401120.371131404020120共 62 页19解读高考第二关解读高考第二关 热
9、点关热点关共 62 页20题型一题型一 离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质例例1若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为:X01P9c2-c3-8c试求试求c的值及的值及EX.共 62 页21解解:由离散型随机变量分布列的性质知由离散型随机变量分布列的性质知:解得解得c=x .X的分布列为的分布列为c3 8c1,1,1.229c09cc038c13X01P231311.33 2EX013共 62 页22点评点评:离散型随机变量分布列的两个性质主要解决下列问题离散型随机变量分布列的两个性质主要解决下列问题:(1)求分布列中参数的取值范围求分布列中参数的取值范围,进
10、一步可得分布列进一步可得分布列.(2)求对立事件的概率求对立事件的概率.(3)判断分布列是否正确判断分布列是否正确.共 62 页23变式变式1:设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为P(X=)=ak.(k=1,2,3,4,5)(1)求常数求常数a的值的值;(2)求求P(X );(3)求求P(X ).k535110710共 62 页24解解:随机变量随机变量X的分布列为的分布列为X1Pa2a3a4a5a15253545共 62 页25共 62 页26共 62 页27题型二题型二 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列例例2一袋中装有同样大小的白球一袋中装有同样大小的白球6个个,其编号为
11、其编号为1,2,3,4,5,6,现现从袋中随机的取出从袋中随机的取出3个球个球,以以表示取出的最大号码表示取出的最大号码,求求的分布的分布列列.共 62 页28共 62 页29随机变量 的分布列为3456p12032031012共 62 页30点评点评:求离散型随机变量求离散型随机变量X的分布列方法步骤是的分布列方法步骤是:(1)弄懂题意弄懂题意,确定确定X的取值的取值;(2)求出求出X取各个值时的概率取各个值时的概率;(3)以表格的形式画出分布列以表格的形式画出分布列.共 62 页31变式变式2:某电视台举行选拔大奖赛某电视台举行选拔大奖赛,在选手综合素质测试中在选手综合素质测试中,有有道把
12、我国四大文学名著道把我国四大文学名著水浒传水浒传、三国演义三国演义、西游西游记记、红楼梦红楼梦与他们的作者连线的题目与他们的作者连线的题目,每连对一个得每连对一个得3分分,连错不得分连错不得分,记一位选手得分为记一位选手得分为X.(1)求选手得分不少于求选手得分不少于6分的概率分的概率;(2)求求X的分布列的分布列.共 62 页32共 62 页33X的分布列为X03612p381314124共 62 页34题型三题型三 超几何分布的应用超几何分布的应用例例3从从6名男同学和名男同学和4名女同学中随机选出名女同学中随机选出3名同学参加一项竞名同学参加一项竞技测试技测试,试求选出的试求选出的3名同
13、学中名同学中,至少有一名女同学的概率至少有一名女同学的概率.解解:设选出的女同学的个数为设选出的女同学的个数为X,则则X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,且且X服从超几何分布服从超几何分布.其中其中N=10,M=4,n=3,于是选出的于是选出的3名同学中名同学中,至少有一名女同学的概率为至少有一名女同学的概率为P(X1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)共 62 页35共 62 页36点评点评:超几何分布是重要的概率分布超几何分布是重要的概率分布,应用它可以避免不必要应用它可以避免不必要的重复计算的重复计算,解决此类问题解决此类问题,关键是所求解的问题是否服从超关键是所求解的问题
14、是否服从超几何分布几何分布,超几何分布实际上就是古典概型超几何分布实际上就是古典概型.共 62 页37变式变式3:一批产品共一批产品共50件件,其中其中5件次品件次品,45件合格品件合格品,从这批产从这批产品中任意抽取品中任意抽取2个个,求其中出现次品的概率求其中出现次品的概率.解解:设抽到次品的件数为设抽到次品的件数为X,则则X服从超几何分布服从超几何分布,其中其中N=50,M=5,n=2,于是出现次品的概率为于是出现次品的概率为P(X1)=P(X=1)+P(X=2)9247.49245245.1120545545225050C CC CCC47245即出现次品的概率为共 62 页38题型四
15、题型四 独立重复试验独立重复试验例例4(2008天津高考天津高考)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球同一位置投球,命中率分别为命中率分别为 与与p,且乙投球且乙投球2次均未命中的次均未命中的概率为概率为 .(1)求乙投球的命中率求乙投球的命中率p;(2)若甲投球若甲投球1次次,乙投球乙投球2次次,两人共命中的次数记为两人共命中的次数记为,求求的分的分布列和数学期望布列和数学期望.12116共 62 页39共 62 页40共 62 页41故 的分布列为0123p1327321532932共 62 页42点评点评:(1)本小题主要考查随机事件、互斥事件、相
16、互独、本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独、录录母怕、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识母怕、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力考查运用概率知识解决实际问题的能力.(2)独立重复试验独立重复试验,是在相同的条件下重复地、各次之间相互是在相同的条件下重复地、各次之间相互独立的一种试验独立的一种试验,在这种试验中在这种试验中,每一次试验只有两个结果每一次试验只有两个结果,即即某事件要么发生某事件要么发生,要么不发生要么不发生.且每一次试验中发生的概率是且每一次试验中发生的概率是一样的一样的.(3)在在n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事
17、件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n,在利用该公式解题时在利用该公式解题时,一定一定要弄清要弄清n、k、p各是指什么各是指什么.knC共 62 页43变式变式4:甲、乙两人各射击一次甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别为击中目标的概率分别为和和 ,假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响.(1)求甲射击求甲射击4次次,至少有一次未击中目标的概率至少有一次未击中目标的概率;(2)求两人各射击求两人各射击4次次,甲恰好击中目标甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标次且乙恰好击中目标3次的概率
18、次的概率.2334共 62 页44解解:(1)记记“甲射击甲射击4次次,至少有一次未击中目标至少有一次未击中目标”为事件为事件A,由由题意得题意得P(A1)=.甲射击甲射击4次次,至少有一次未击中目标的概率为至少有一次未击中目标的概率为 .()()12651P A143816581共 62 页45共 62 页46笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关共 62 页47互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件1.若事件若事件A、B互斥互斥,则则A、B有一个发生的概率有一个发生的概率P(A+B)=p(A)+p(B).2.若若A1、A2、A3、An彼此互斥，则彼此互斥，则p(A1+A2+A3+A n)
19、=p(A1)+p(A2)+p(A3)+p(An)3.若若A、B是对立事件是对立事件,则则P(A)+P(B)=1,即即P(A)=1-P(B).4.对立事件一定是互斥事件对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件互斥事件不一定是对立事件.共 62 页48例例1甲、乙两人下棋甲、乙两人下棋,和棋的概率为和棋的概率为 ,乙获胜的概率为乙获胜的概率为 ,求求:(1)甲获胜的概率甲获胜的概率;(2)甲不输的概率甲不输的概率.解解:(1)“甲获胜甲获胜”是是“和棋或乙胜和棋或乙胜”的对立事件的对立事件.甲获胜的概率为甲获胜的概率为P=.(2)解法一解法一:设设“甲不输甲不输”为事件为事件A,则则A是是
20、“甲胜或和棋甲胜或和棋”这这两个互斥事件的并事件两个互斥事件的并事件,P(A)=.解法二解法二:事件事件“甲不输甲不输”的对立事件是的对立事件是“乙获胜乙获胜”的对立事的对立事件件,P(A)=.1213111123611262312133共 62 页49例例2一盒中装有各色球一盒中装有各色球12只只,其中其中5红红,4黑黑,2白白,1绿绿,求从中取一求从中取一球球,(1)红或黑的概率红或黑的概率;(2)红或黑或白的概率红或黑或白的概率.解解:方法一方法一:(利用等可能事件求概率利用等可能事件求概率).(1)从从12个球中任以一个球得红球有个球中任以一个球得红球有5种取法种取法,得黑球有得黑球有
21、4种取种取法法,得红球或黑球共有得红球或黑球共有5+4=9种不同取法种不同取法.任取一球有任取一球有12种不种不同取法同取法.任取一球得红球或黑球的概率为任取一球得红球或黑球的概率为P1=.(2)同理可求得同理可求得P2=.931 24542111212共 62 页50共 62 页51共 62 页52共 62 页53点评点评:对于复杂事件的概率通常有两种方法对于复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件一是将所求事件化成彼此互斥事件的和化成彼此互斥事件的和;二是先求对立事件的概率二是先求对立事件的概率,然后再求然后再求所求事件的概率所求事件的概率.共 62 页54考考 向向 精精 测测共 6
22、2 页551.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次,至少出现一次至少出现一次6点向点向上的概率是上的概率是()6253191A.B.C.D.216216216216:.33591P16216解析 所求概率为答案答案:D共 62 页562.(2008辽宁卷辽宁卷)4张卡片上分别写有数字张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这从这4张卡张卡片中随机抽取片中随机抽取2张卡片上的数字之和为奇数的概率为张卡片上的数字之和为奇数的概率为()1123A.B.C.D.32342:.3112224C CPC解析 所求概率答案答案:C共 62 页57课时作业课时作业(六十六十)离散型随
23、机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列共 62 页58一、选择题一、选择题1.若事件若事件A与与B互斥互斥,则则()A.A+B是必然事件是必然事件B.+是必然事件是必然事件C.与与 一定互斥一定互斥D.与与 一定不互斥一定不互斥AAABBB共 62 页59解析解析:A与与B互斥互斥,A与与B不一定对立不一定对立,故故A不正确不正确;当当A、B不是对不是对立事件时立事件时,与与 不互斥不互斥,C不正确不正确;当当A、B是对立事件时是对立事件时,与与 也是对立事件也是对立事件,当然也是互斥事件当然也是互斥事件,D不正确不正确.答案答案:BABAB共 62 页602.袋中有大小相同的红球袋中有大小
24、相同的红球6个个,白球白球5个个,从袋中每次不放回地从袋中每次不放回地任意取出任意取出1个球个球,直到取出的球是白球为止时直到取出的球是白球为止时,所需要取球的次所需要取球的次数为随机变量数为随机变量X,则则X的可能值为的可能值为()A.1,2,6B.1,2,7C.1,2,11D.1,2,3,答案答案:B共 62 页61.(),.91127A.1B.C.D.13131313XP Xiai i1 2 33a设随机变量 的分布列为则 的值为（）:,(),()Xa,P X1P X2P X31,()()a1,27a.13 2323aP X1P X2311Xa P X333a11a333解析由知答案答案
25、:D共 62 页62.,()3115A.B.C.D.1641616k14XP Xkk1 22P 2X4已知随机变量 的分布列为则等于（）3:().163411P 2X4P X3P X422解析答案答案:A共 62 页635.设某项试验的成功率是失败率的设某项试验的成功率是失败率的2倍倍,用随机变量用随机变量去描述一去描述一次试验成功的次数次试验成功的次数,则则P(=0)等于等于()112A.0B.C.D.233解析解析:设一次试验失败的概率为设一次试验失败的概率为P,则有则有P+2P=1,P=.即即P(=0)=.答案答案:C1313共 62 页64二、填空题二、填空题6.已知随机变量已知随机变
26、量B(6,),则则P(=4)=_.13:()().44261120P n4C133243解析:20243答案共 62 页657.某射手射击一次某射手射击一次,击中目标的概率是击中目标的概率是0.8,他连续射击三次他连续射击三次,且且各次射击是否击中目标相互之间没有影响各次射击是否击中目标相互之间没有影响,那么他前两次未击那么他前两次未击中中,第三次击中目标的概率是第三次击中目标的概率是_.解析解析:P=0.220.8=0.032.答案答案:0.032共 62 页668.位于坐标原点的一个质点位于坐标原点的一个质点P,按下列规则移动按下列规则移动:质点每次移动质点每次移动一个单位一个单位;移动的
27、方向为向上或向右移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的并且向上、向右移动的概率都是概率都是 ,质点质点P移动移动5次后位于点次后位于点(2,3)的概率为的概率为_.12:,.5()()().16223325535P32111CCC222解析 由题意知 质点 向上移动 次 向右移动 次故所求概率为5:16答案共 62 页679.某仪表内装有某仪表内装有m个同样的电子元件个同样的电子元件,其中任一个电子元件损其中任一个电子元件损坏时坏时,这个仪表就不能工作这个仪表就不能工作.如果在某段时间内每个电子元件如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是损坏的概率是p,计算在这段时间内这个仪表不能工作的
28、概率计算在这段时间内这个仪表不能工作的概率为为_.解析解析:一个电子元件损坏的概率为一个电子元件损坏的概率为p,则正常工作的概率为则正常工作的概率为1-p.该仪表正常工作的概率为该仪表正常工作的概率为(1-p)m.故不能正常工作的概率故不能正常工作的概率为为1-(1-p)m.答案答案:1-(1-p)m共 62 页68三、解答题三、解答题10.(2007江苏高考江苏高考)某气象站天气预报的准确率为某气象站天气预报的准确率为80%,计计算算:(结果保留到小数点后面第结果保留到小数点后面第2位位)(1)5次预报中恰有次预报中恰有2次准确的概率次准确的概率;(2)5次预报中至少有次预报中至少有2次准确
29、的概率次准确的概率;(3)5次预报中恰有次预报中恰有2次准确次准确,且其中第且其中第3次预报准确的概率次预报准确的概率.共 62 页69解解:(1)记预报一次准确为事件记预报一次准确为事件A,则则P(A)=0.8.5次预报相当于次预报相当于5次独立重复试验次独立重复试验,2次准确的概率为次准确的概率为P=0.820.23=0.05120.05,因此因此5次预报中恰有次预报中恰有2次准确的概率为次准确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有次预报中至少有2次准确次准确”的对立事件为的对立事件为“5次预报全次预报全部不准确或只有部不准确或只有1次准确次准确”,其概率为其概率为P=(0.2)5+0
30、.80.24=0.006720.01.所求概率为所求概率为1-P=1-0.01=0.99.25C05C15C共 62 页70(3)说明第说明第1,2,4,5次中恰有次中恰有1次准确次准确.概率为概率为P=C140.80.230.8=0.020480.02.恰有恰有2次准确次准确,且其中第且其中第3次预报准确的概率约为次预报准确的概率约为0.02.共 62 页7111.甲、乙、丙在同一办公室工作甲、乙、丙在同一办公室工作,办公室只有一部电话机办公室只有一部电话机,设设经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次是经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次是 、,若在一段时间内打进三个电话若在一段时
31、间内打进三个电话,且各个电话相互独立且各个电话相互独立.求求:(1)这三个电话是打给同一个人的概率这三个电话是打给同一个人的概率;(2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率这三个电话中恰有两个是打给甲的概率.161312共 62 页72共 62 页73.在一次购物抽奖活动中在一次购物抽奖活动中，假设某假设某张券中有一等奖券张券中有一等奖券张张，可获价值可获价值元的奖品元的奖品；有二等奖券有二等奖券张张，每张可获价每张可获价值值元的奖品元的奖品；其余其余张没有奖张没有奖某顾客从这某顾客从这张券中张券中任抽任抽张张，求求：（）该顾客中奖的概率该顾客中奖的概率；（）该顾客获得的奖品的总价值该顾客获得的奖品的总价值（元元）的概率分布列的概率分布列共 62 页74共 62 页75故的分布列为：故的分布列为：X010205060p1325115215115
