1、 第三讲 导数的综合应用第三章第三章 导数及其应用导数及其应用考法帮 解题能力提升考法1 利用导数证明不等式考法2 不等式恒成立问题与有解问题考法3 利用导数解决零点问题高分帮 “双一流”名校冲刺数学探索1 极值点偏移问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题提能力 数学探索 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.利用导数证明不等式掌握2018全国,T21探索创新考法1数学运算逻辑推理2.不等式恒成立问题与有解问题掌握2020山,T21(2)探索创新考法2数学运算逻辑推理3.利用导数解决零点问题掌握2020全国,T20探索创新考法3数学运算逻辑推理直观想象
2、 考情解读命题分析预测从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.主要以导数为工具,通过研究函数的单调性、极值和最值求解不等式的证明问题、恒成立问题、有解问题和函数零点问题.考查形式以解答题为主,难度较大.预计2022年高考变化不大,但需注意函数形式创新及与其他知识的综合.考法帮解题能力提升考法1 利用导数证明不等式考法2 不等式恒成立问题与有解问题考法3 利用导数解决函数问题 考法1 利用导数证明不等式求什么想什么求函数f()在(0,+)上的最值,由于(0,+)为开区间,想到求f()的极值.给什么用什么给出f()的解析式,直接求f()在(0,+)上的极值即可.考法1 利用导数证明不等
3、式求什么想什么给什么用什么差什么找什么(2)考法1 利用导数证明不等式 考法1 利用导数证明不等式 考法1 利用导数证明不等式 考法1 利用导数证明不等式思路受阻分析证明本题第(2)问时,常规思维是两边直接作差构造函数,却无法求出所构造新函数的最值.另外,看不出第(2)问不等式与第(1)问中函数的关系,即不能准确挖掘隐含条件,导致无法求解.技法关键点拨(1)在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.(2)不等式里既有指数又有对数,求导后不好处理,通常是把指数和对数分开,使得不等式一边是指数,另一边是对数,分别计算它们的最值,利用最值来证明不等式.解后反思
4、考法3 对数函数的性质及应用 考法1 利用导数证明不等式方法技巧 1.证明含单变量的不等式问题的方法(1)利用单调性:若f()在,上单调递增,则,有f()f()f();1,2,且12,有f(1)f(2).减函数有类似结论.(2)利用最值:若f()在区间D内有最大值M(或最小值m),则D,有f()M(或f()m).考法3 对数函数的性质及应用 考法1 利用导数证明不等式 考法1 利用导数证明不等式(4)拆分函数:若直接求导比较复杂或无从下手或无法转化为一个函数的最值问题,可将待证不等式进行变形,构造两个函数,转化为两个函数的最值问题(或找到可以传递的中间量),完成证明的目标.对于一些不等式可转化
5、为f()g()的形式,证明f()ming()max即可,在转化中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.考法1 利用导数证明不等式2.解决含双变量的不等式证明问题的策略含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量,处理此类问题有两个策略:一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解;二是巧妙构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.考法1 利用导数证明不等式 考法1 利用导数证明不等式 考法1 利用导数证明不等式f()1时,f()0,故f()在,1)上单调递减,在
6、(1,+)上单调递增.易知f()在=处连续,综上所述,当1时,f()在(0,)上单调递减,在,+)上单调递增;当00或f()0恒成立f()min0;f()0恒成立f()max恒成立f()min;f()恒成立f()maxg()恒成立f()-g()min0;f()g()恒成立f()-g()maxg(2)f(1)ming(2)mx.(1)f()0有解f()max0;f()0有解f()min有解f()max;f()有解f()ming()有解f()-g()max0;f()g()有解f()-g()ming(2)f(1)maxg(2)min.考法2 不等式恒成立问题与有解问题注意 f()g()(f()g()
7、能成立等价于f()g()min(f()g()max),f()g()(f()g()恒成立等价于f()g()max(f()g()min),应注意区分,不要搞混.2.“恒成立问题”与“有解问题”的求解策略不等式恒成立问题和有解问题一般可通过分类讨论、分离参数、构造函数、数形结合等方法来处理.考法1 不等式恒成立问题与有解问题思维拓展 1.可化为恒成立问题的基本类型(1)函数f()在区间D上单调递增,可转化为f()0在区间D上恒成立;(2)函数f()在区间D上单调递减,可转化为f()0在区间D上恒成立;(3)1,2D,都有f(1)g(2),可转化为f()ming()max;(4)1D,2D,使得f(1
8、)g(2),可转化为f()ming()min;(5)1D,2D,使得f(1)g(2),可转化为f()max0在D上有解;(2)f()在区间D上存在单调递减区间,可转化为f()0在D上有解;(3)存在性探究问题可转化为“是否有解”问题;(4)图象有交点可转化为方程f()=g()有解或方程f()-g()=0有解.考法3 利用导数解决零点问题 考法3 利用导数解决零点问题求什么想什么求f()的极值,想到求f()=0的解,然后根据单调性求极值.思维导引（1）求什么想什么已知函数零点个数求参数取值范围,想到利用函数f()的图象与轴有两个交点求解,或分离参数,转化为图象的交点个数求解.(2)考法3 利用导
9、数解决零点问题(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f()+0-0+f()极小值-e 考法3 利用导数解决零点问题 考法3 利用导数解决零点问题 考法3 利用导数解决零点问题 考法3 利用导数解决零点问题 考法3 利用导数解决零点问题当-时,g()0;当-1时,g()-;当+时,g()+.故函数g()的图象如图3-3-1所示.作出直线y=,由图可知,当0),为常数,若函数f()有两个零点1,2(12).证明:12e2.数学探索1 极值点偏移问题数学探索1 极值点偏移问题数学探索1 极值点偏移问题数学探索1 极值点偏移问题数学探索1 极值点偏移问题数学探索1 极值点偏移问题则G(s)=(s-1
10、)es+1,G(s)=ses0(G(s)为G(s)的导函数),故G(s)在(0,+)上单调递增,所以G(s)G(0)=0,从而G(s)在(0,+)上单调递增,所以G(s)G(0)=0,所以式成立,故t1+t22,即12e2.数学探索1 极值点偏移问题点评 该解法的关键是巧妙引入变量s,然后利用等量关系,把t1,t2消掉,从而构造相应的函数,转化所证问题.解题要点如下.(1)取差构元:记s=t2-t1,则t2=t1+s,利用该式消掉t2.(2)巧解消参:利用g(t1)=g(t2),构造方程,解之,利用s表示t1.(3)构造函数:依据消参之后所得不等式的形式,构造关于s的函数G(s).(4)转化求
11、解:利用导数研究函数G(s)的单调性和最小值,从而证得结论.数学探索1 极值点偏移问题数学探索1 极值点偏移问题图3-3-2数学探索1 极值点偏移问题所以F()0对任意的(0,1恒成立,即g(1+)g(1-)对任意的(0,1恒成立,由0t11g(1-(1-t1)=g(t1)=g(t2),即g(2-t1)g(t2),又2-t1,t2(1,+),且g()在(1,+)上单调递减,所以2-t12,即12e2.数学探索1 极值点偏移问题点评 上述解题过程中用到的解法就是解决极值点偏移问题的最基本的方法,解题过程中有以下四个解题要点:(1)求函数g()的极值点0;(2)构造函数F()=g(0+)-g(0-
12、);(3)确定函数F()的单调性;(4)确定g(0+)与g(0-)的大小关系.数学探索1 极值点偏移问题核心素养考查途径素养水平数学建模通过观察分析,构造相关函数.一逻辑推理命题之间的等价转换.二数学运算数式运算,等式的恒等变换,不等式的等价变形等.二素养探源数学探索1 极值点偏移问题 极值点0函数值的大小关系图示0两侧函数值变化快慢极值点不偏移 相同数学探索1 极值点偏移问题极值点0函数值的大小关系图示0两侧函数值变化快慢极值点偏移左移峰口向上:(1)(20-2)数学探索1 极值点偏移问题极值点0函数值的大小关系图示0两侧函数值变化快慢极值点偏移右移峰口向上:f(1)f(20-2)左慢右快峰
13、口向下:f(1)f(20-2)数学探索1 极值点偏移问题数学探索1 极值点偏移问题3.极值点偏移问题的解法构造对称和(或差)对称变换主要用来解决与两个极值点之和或差相关的不等式的证明问题.解题要点如下.(1)定极值点:即利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值点0.(2)构造函数:即根据极值点构造对称函数F()=f(0+)-f(0-)或 F()=f()-f(20-).(3)比较大小:即利用导数讨论F()的单调性,判断函数F()在某段区间上的正负,进而得出f(0+)与f(0-)或f()与f(20-)的大小关系.数学探索1 极值点偏移问题3.极值点偏移问题的解法构造对称和(或差)数
14、学探索1 极值点偏移问题消参减元消参减元,主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点,进而建立参数与极值点之间的关系,消去参数或减少变元,从而简化目标函数.其解题要点如下.(1)建方程:求函数的导函数,令f()=0,建立极值点所满足的方程,抓住导函数中的关键导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式).(2)定关系:即根据极值点所满足的方程,利用方程的根的相关知识,建立极值点与方程系数之间的关系.数学探索1 极值点偏移问题消参减元(3)消参减元:即根据两个极值点之间的关系,利用和差或积商等运算,化简或转化所求解问题,消掉参数或减少变量的个数.(4)构造函数:即根据消参减元后的式子的结构特
15、征构造相应的函数.(5)求解问题:即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等,解决相关问题.比(差)值换元比(差)值换元的目的也是消参、减元,就是先根据已知条件建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.设法用t表示两个极值点的比值或差值,进而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解.数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题核心素养考查途径素养水平逻辑推理分类讨论及命题间的等价转换等.二数学运算代数式的运算及不等式的等价变换等.二素养提升数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
