1、1.理解直线与平面的位置关系，理理解直线与平面的位置关系，理解线面平行、线面垂直的定义解线面平行、线面垂直的定义.2.掌握线面平行、线面垂直的判定掌握线面平行、线面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活运用定理及性质定理，并能灵活运用.3.掌握空间的平行关系、垂直关系掌握空间的平行关系、垂直关系的互相转化定理，并能灵活应用的互相转化定理，并能灵活应用.4.规范推理、论证等解题程序，培规范推理、论证等解题程序，培养并提升逻辑推理能力养并提升逻辑推理能力.1.对任意直线对任意直线l和给定平面和给定平面，在平面，在平面内内必存在直线必存在直线m,使得直线使得直线m与与l()CA.平行平行 B.相交相交C
2、.垂直垂直 D.互为异面直线互为异面直线 若若l,则选项则选项D错误错误;若若l,则选则选项项B错误错误;若若l=P,则选项则选项A错误错误;而对于而对于任意直线任意直线l，平面，平面内必存在直线内必存在直线m与与l或或相交垂直或异面垂直，故选相交垂直或异面垂直，故选C.2.已知直线已知直线a，直线，直线b，则，则“ab”是是“a”的的()AA.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 由线面平行的判定定理可知充分条件由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但成立，但a时，时，a与与b的位置关系是平行的位
3、置关系是平行或异面，即必要条件不成立，故选或异面，即必要条件不成立，故选A.3.设设l、m、n均为直线均为直线,为平面为平面,且且m，n,则则“l”是是“lm且且ln”的的()AA.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 由线面垂直的定义可知由线面垂直的定义可知l lm，ln，但，但lm，ln，当，当mn时，时，l与与可能可能斜交，即斜交，即lm且且ln /l，故选，故选A.4.设设m、n是两条不同的直线，是两条不同的直线，、是三是三个不同的平面个不同的平面.给出下列四个命题：给出下列四个命题：若若m
4、,n,则则mn;若若,m,则则m;若若m,n,则则mn;若若m，n，则，则mn.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是()AA.B.C.D.正确，故排除答案正确，故排除答案B、C，又知，又知正确，故选正确，故选A.1.直线与平面平行直线与平面平行 定义：直线定义：直线a与平面与平面没有公共点，称直没有公共点，称直线线a平行于平面平行于平面，记作，记作a.判定定理判定定理:若若 外一条直线与此平面外一条直线与此平面内的一条直线平行内的一条直线平行,则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行.性质定理：如果一条直线与一个平面平性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任意一个平面与已知
5、行，那么经过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平面的交线与该直线 .平面平面平行平行2.直线与平面垂直直线与平面垂直定义定义:直线直线a与平面与平面内的任意一条直线垂内的任意一条直线垂直直,称直线称直线a垂直于平面垂直于平面,记作记作a.判定定理：如果一条直线与一个平面内判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条的两条 垂直，则该直线与此平垂直，则该直线与此平面垂直面垂直.性质定理性质定理:如果两条直线同如果两条直线同 一一个平面个平面,那么这两条直线平行那么这两条直线平行.相交直线相交直线垂直于垂直于3.空间平行关系及空间垂直关系的空间平行关系及空间垂直关系的转化，是立体几何证明中常
6、用思路转化，是立体几何证明中常用思路以下是平行关系转化图：以下是平行关系转化图：例例1 已知正方形已知正方形ABCD、ABEF构成如构成如图的一个空间图形，图的一个空间图形，M、N分别是分别是AE、DB上的点，且上的点，且AM=DN.证明：证明：MN平面平面EBC.证明线面平行常用的方法证明线面平行常用的方法:一是判定一是判定定理，关键是在平面定理，关键是在平面EBC上找一条直线与上找一条直线与MN平行；二是先证明面面平行，再证明平行；二是先证明面面平行，再证明线面平行线面平行.(方法一方法一)过过M作作MM1BE于于M1,过过N作作NN1BC于于N1，连接，连接M1N1，则有则有MM1AB,
7、且且 =,NN1CD,且且 =.又又AB CD，AMDN,故故MM1NN1，所以所以MNM1N1.又又MN平面平面EBC,M1N1平面平面EBC，所以所以MN平面平面EBC.1MMABEMEA1NNCDBNBD(方法二方法二)如图，连接如图，连接AN并延长与并延长与BC(或或BC的延长线的延长线)交于点交于点Q，连接，连接EQ.因为因为ADBQ，所以所以 =.而而AM=DN,ME=NB，所以所以 =.在在AEQ中，中，=,所以所以MNEQ.又又MN平面平面EBC,EQ平面平面EBC，所以所以MN平面平面EBC.ANNQDNNBANNQDNNBAMMEANNQAMME(方法三方法三)如图，过如图
8、，过M作作MKAB于于K,过过N作作NK1AB于于K1，则有则有MKEB，故，故 =,NK1AD，故，故 =.而而AM=DN,AE=DB，所以所以 =，所以所以K与与K1重合重合.AKABAMME1AKABDNBDAKAB1AKAB考虑平面考虑平面MNK与平面与平面EBC.由由MKEB,MK平面平面EBC,EB平面平面EBC,得得MK平面平面EBC.由由NKAD，得，得NKBC.又又NK平面平面EBC,BC平面平面EBC，所以所以NK平面平面EBC.又又MKNK=K,所以平面所以平面MNK平面平面EBC,而而MN平面平面MNK，所以，所以MN平面平面EBC.本题呈现了证明线面平行的一般方本题呈
9、现了证明线面平行的一般方法，前两种证法本质上都是利用判定定理，法，前两种证法本质上都是利用判定定理，但找与但找与MN平行的直线操作不一样，证法二平行的直线操作不一样，证法二是先证面面平行，再利用面面平行的性质是先证面面平行，再利用面面平行的性质来说明线面平行来说明线面平行.本题证明平行关系用的是本题证明平行关系用的是比例关系，更有一般性比例关系，更有一般性.若若M、N是所在边的是所在边的中点，直接利用中位线定理更简捷中点，直接利用中位线定理更简捷.本题的本题的背景是几何体中的局部背景是几何体中的局部“场景场景”，但所用，但所用的证明方法非常有代表性的证明方法非常有代表性.如图，已知四棱锥如图，
10、已知四棱锥P-ABCD的底面的底面ABCD是平行四边形是平行四边形,点点M是是PC的中点的中点,点点G是是DM上的任意一点上的任意一点,过点过点G和直线和直线AP的平面的平面交平面交平面BDM于于GH,求证：求证：APGH.连接连接AC、BD，ACBD=O，则，则O为为AC中点，连接中点，连接OM.又又M为为PC的中点，所以的中点，所以MOPA.又又PA平面平面MDB，MO平面平面MDB，所以所以PA平面平面MDB.又又PA平面平面PAHG，平面，平面PAHG平面平面MDB=HG，故故PAHG.例例2 如右图，四面体如右图，四面体P-ABC中，已知中，已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC
11、=8,PB=2 ,F是是线段线段PB上一点上一点,CF=,点点E在线段在线段AB上上且且EFPB，求证：，求证：(1)BC平面平面PAC；(2)PB平面平面CEF.3415 3417 证明线面垂直只需转化为证证明线面垂直只需转化为证BC与与平面平面PAC中两条相交直线垂直中两条相交直线垂直.(1)在在PBC中，中，PC2+BC2=102+62=136=PB2,所以所以BCPC.而在而在ABC中中,BC2+AC2=62+82=100=AB2，所以所以BCAC.又因为又因为PC、AC平面平面PAC且且PCAC=C，所以所以BC平面平面PAC.(2)在在RtPCB中，设斜边中，设斜边PB上的高为上的
12、高为h,所以所以SRtPCB=610=h2 ，所以所以h=.又因为又因为CF=,所以斜边上的高为所以斜边上的高为CF,所以所以CFPB.又又EFPB且且EFCF=F,故故PB平面平面CEF.341212153417153417 1.证明线面垂直常转化为证明证明线面垂直常转化为证明“线线垂直线线垂直”或或“面面垂直面面垂直”.2.巧妙运用巧妙运用“等面积法等面积法”或或“等体积法等体积法”求解立体几何问题，有求解立体几何问题，有时会收到意想不到的效果时会收到意想不到的效果.在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=BB1=1，AB1=.（1）求证：求证：BC1AB1；（2）求三
13、棱锥求三棱锥A1-AB1C的体积的体积.3 (1)证明证明:在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中中,CC1底面底面ABC，所以，所以CC1AC.AB2=AB12-BB12=()2-12=2=AC2+BC2，所以所以ACCB，所以，所以AC平面平面BCC1B1.而而BC1 平面平面BCC1B1，所以，所以ACBC1.又又BC=BB1,所以四边形所以四边形BCC1B1为正方形，为正方形，所以所以BC1B1C，所以所以BC1平面平面ACB1.又又AB1平面平面ACB1，所以所以BC1AB1.3(2)V锥锥A1-AB1C=V柱柱ABC-A1B1C1-V锥锥C-A1B1C1-V锥锥B1-ABC=S
14、ABCBB1-SA1B1C1CC1-SABCBB1=SABCBB1=11=.1313131312336 如图，已知点如图，已知点P是三角形是三角形ABC所在平所在平面外一点，且面外一点，且PA=BC=1,截面截面EFGH分别分别平行于平行于PA、BC(点点E、F、G、H分别在分别在棱棱AB、AC、PC、PB上上).(1)求证：四边形求证：四边形EFGH 是平行四边形且周长为定值；是平行四边形且周长为定值；(2)设设PA与与BC所成的角所成的角 为为，求四边形，求四边形EFGH的面的面 积的最大值积的最大值.已知线面关系已知线面关系,可联想线面平行的可联想线面平行的性质定理性质定理.(1)证明：
15、因为证明：因为PA平面平面EFGH，平面平面PAB平面平面EFGH=HE,平面平面PAC平面平面EFGH=GF,所以所以HEPAGF.同理，同理，HGBCEF,所以四边形所以四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.设设EH=x(0 x1),则则 =x,所以所以 =1-x=，故得，故得HG=1-x.所以周长所以周长=2(EH+HG)=2(x+1-x)=2，为定值，为定值.BHBPEHAP1xPHPBHGBC(2)由由(1)知知,PAHE,BCEF.所以所以HEF(或其补角或其补角)是是PA与与BC所成的角所成的角.因为因为HE=x(0 x1),EF=1-x，所以所以SEFGH=HEEFsinHE
16、F=x(1-x)sin=sin -(x-)2.所以所以,当当x=,即即E、F、G、H为所在边的中点为所在边的中点时，四边形时，四边形EFGH的面积有最大值的面积有最大值 sin.14121214 立体几何中的最值问题往往要立体几何中的最值问题往往要借助函数来求解借助函数来求解.1.解决线面平行、面面平行解决线面平行、面面平行(或线面垂或线面垂直、面面垂直直、面面垂直)问题，要切实把握转化的问题，要切实把握转化的思想和方法思想和方法.同时，要注意平行与垂直间的相互关系：同时，要注意平行与垂直间的相互关系：两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂
17、直；同时垂直于一个平面直线也与该平面垂直；同时垂直于一个平面的两条直线相互平行；同时垂直于一条直线的两条直线相互平行；同时垂直于一条直线的两个平面平行的两个平面平行.2.证明直线和平面平行的方法有：证明直线和平面平行的方法有：依定义采用反证法；判定定理法依定义采用反证法；判定定理法(线线线线线线面面)；面面平行的性质；面面平行的性质(面面面面线线面面).3.线面垂直最常用的证明方法是判定线面垂直最常用的证明方法是判定定理法定理法(线线线线线线面面).其中三垂线定理、其中三垂线定理、向量法是证线线垂直的常用方法向量法是证线线垂直的常用方法.4.作辅助线作辅助线(面面)是立体几何中证明的是立体几何
18、中证明的常用技巧，如用线面平行的性质定理作平常用技巧，如用线面平行的性质定理作平行线的方法和运用中位线、平行四边形作行线的方法和运用中位线、平行四边形作(证证)平行线的方法；又如用构造平面作平行线的方法；又如用构造平面作(证证)平行平面的方法等平行平面的方法等.学例1 (2008天津卷天津卷)设设a、b是两条是两条直线，直线，、是两个平面，则是两个平面，则ab的一的一个充分条件是（个充分条件是（）CA.a，b，B.a，b，C.a，b，D.a，b，a a或或a b 成任意角，故成任意角，故A错错;a a b b b a b b与与成任意角成任意角 a角，故角，故D错误错误.a与与bab，故，故B
19、错；错；ba，故，故C对对;a与与b成任意成任意学例2 (2 0 0 9 广 东 卷广 东 卷)已 知 正 方 体已 知 正 方 体 A B C D-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2,点点E是正方形是正方形BCC1B1的中的中心心,点点F、G分别是棱分别是棱C1D1、AA1的中点的中点.设点设点E1、G1分别是点分别是点E、G在平面在平面DCC1D1内的正投影内的正投影.(1)求以求以E为顶点为顶点,以四边形以四边形FGAE在平面在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积内的正投影为底面边界的棱锥的体积;(2)证明：直线证明：直线FG1平面平面 FEE1；(3)求异面直线求异面直线E
20、1G1与与EA 所成角的正弦值所成角的正弦值.(1)依题作点依题作点E、G在平面在平面DCC1D1内的内的投影投影E1、G1，则则E1、G1分别为分别为CC1、DD1的中点，连接的中点，连接EE1、E1G1、BE、EG1、ED、DE1，则所求为四棱锥则所求为四棱锥E-DE1FG1的体积，其的体积，其底面底面DE1FG1面积为面积为SDE1FG1=SRtE1FG1+SRtDG1E1 =12+12=2，又又EE1平面平面DE1FG1，EE1=1，所以所以VE-DE1FG1=SDE1FG1EE1=.12121323(2)证明：在正方形证明：在正方形DCC1D1中，中，FG1=FE1=，G1E1=2,所以所以FG12+FE12=G1E12,故故FG1FE1.易知易知EE1平面平面DCC1D1.而而FG1平面平面DCC1D1,从而从而EE1FG1.因为因为EE1FE1=E1,所以所以FG1平面平面FEE1.2(3)因为因为E1G1CD,ABCD,所以所以E1G1AB,所以所以EAB为异面直线为异面直线E1G1与与EA所成的角所成的角(或或其补角其补角).在在RtABE中中,AB=2,BE=,则则AE=,所以所以sinEAB=.所以异面直线所以异面直线E1G1与与EA所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .26BEAE263333本节完，谢谢聆听高考资源网，您的高考专家高考资源网，您的高考专家
