1、第七节 数学归纳法（理）一、数学归纳法的适用对象一、数学归纳法的适用对象 数学归纳法是用来证明关于与数学归纳法是用来证明关于与 有关命题的一种有关命题的一种方法，若方法，若n0是起始值，则是起始值，则n0是是 正整数正整数n使命题成立的最小正整数使命题成立的最小正整数二、数学归纳法的步骤二、数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：1当当n 时，验证命题成立；时，验证命题成立；2假设假设n 时命题成立，推证时命题成立，推证n 时时 命题也成立，从而推出命题对所有的命题也成立，从而推出命题对所有的 命命 题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递
2、推，二者题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者 缺一不可缺一不可k1从从n0开始的正整数开始的正整数nn0(n0N*)k(kn0，kN*)数学归纳法的两个步骤各有何作用？数学归纳法的两个步骤各有何作用？提示：提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推推的依据，也叫归纳递推.两者缺一不可两者缺一不可.1.数学归纳法适用于证明什么类型的命题数学归纳法适用于证明什么类型的命题 ()A.已知已知结论结论B.结论结论已知已知 C.直接证明比较困难直接
3、证明比较困难 D.与正整数有关与正整数有关答案：答案：D2.在应用数学归纳法证明凸在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为边形的对角线为 n(n3)条时，条时，第一步检验第一步检验n等于等于 ()A.1 B.2 C.3 D.0解析：解析：边数最小的凸多边形是三角形边数最小的凸多边形是三角形.答案：答案：C123.已知已知f(n)，则，则 ()A.f(n)中共有中共有n项，当项，当n2时，时，f(2)B.f(n)中共有中共有n1项，当项，当n2时，时，f(2)C.f(n)中共有中共有n2n项，当项，当n2时，时，f(2)D.f(n)中共有中共有n2n1项，当项，当n2时，时，f(2)解析：解析：项
4、数为项数为n2(n1)n2n1.答案：答案：D4.观察下列不等式：观察下列不等式：1 由此猜测第由此猜测第n个不等式为个不等式为(nN*).解析：解析：3221,7231,15241，可猜测：可猜测：答案：答案：1+5.记凸记凸k边形的内角和为边形的内角和为f(k)，则凸，则凸k1边形的内角和边形的内角和f(k1)f(k).解析：解析：由凸由凸k边形变为凸边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).答案：答案：1.用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其 关键点在于关键点在于“先看项先看项
5、”，弄清等式两边的构成规律，等式两，弄清等式两边的构成规律，等式两 边各有多少项，初始边各有多少项，初始n0是多少是多少.2.由由nk到到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利时，除等式两边变化的项外还要充分利 用用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的 步骤，从而使问题得以证明步骤，从而使问题得以证明.设设f(n)1+求证：求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).(N*).n 按数学归纳法的步骤进行证明即可按数学归纳法的步骤进行证明即可.【证明证明】(1)当当n2时，左边时，左边f(1)1，右边右边21 11，左边
6、右边，等式成立左边右边，等式成立.(2)假设假设nk时，结论成立，即时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当那么，当nk1时，时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当当nk1时结论仍然成立时结论仍然成立.f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明 224262(2n)2 (n1)(2n1).证明：证明：(1)当当n1时，左边时，左边224，右边，右边 1234，左边右边，即左边右边，即n1时，等式成立时，等式成立.(
7、2)假设当假设当nk(kN*，k1)时等式成立，时等式成立，即即224262(2k)2 k(k1)(2k1)，那么当那么当nk1时，时，2242(2k)2(2k2)2 k(k1)(2k1)4(k1)2 (k1)k(2k1)6(k1)(k1)(2k27k6)(k1)(k2)(2k3)(k1)(k1)12(k1)1，即即nk1时，等式成立时，等式成立.由由(1)、(2)可知，等式对所有的可知，等式对所有的nN*都成立都成立.用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；一是直接给出不等式，按要求进行证明；二
8、是给出两个式子，按要求比较它们的大小二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式对第二类形式往往要先对往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明归纳法证明.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1111.1(N*).22322nnn n利用假设后，要注意不等式的放大和缩小利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.【证明证明】(1)当当n1时，左式时，左式1 ，右式，右式 1，即命题成立即命题成立.(2)假设当假设当nk(kN*)时命
9、题成立，即时命题成立，即则当则当nk1时，时，1111.11,22322kkk 即即nk1时，命题成立时，命题成立.由由(1)(2)可知，命题对所有可知，命题对所有nN*都成立都成立.又又1+111.2(1),222kkkk2.设数列设数列an满足满足an1 nan1，n1,2,3，(1)当当a12时，求时，求a2，a3，a4，并由此猜想出，并由此猜想出an的一个通的一个通 项公式；项公式；(2)当当a13时，证明对所有的时，证明对所有的n1，有，有ann2.解：解：(1)由由a12，得，得a2 a113，由由a23，得，得a3 2a214，由由a34，得，得a4 3a315，由此猜想由此猜想
10、an的一个通项公式：的一个通项公式：ann1(n1).(2)证明：用数学归纳法证明：证明：用数学归纳法证明：当当n1时，时，a1312，不等式成立，不等式成立.假设当假设当nk时不等式成立，即时不等式成立，即akk2，那么，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当也就是说，当nk1时，时，ak1(k1)2.根据根据和和，对于所有，对于所有n1，都有，都有ann2.“归纳归纳猜想猜想证明证明”的模式，是不完全归纳法与数学的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是：通过观察有限其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的
11、结论，然后用数学归纳法证明个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公式其关键是归纳、猜想出公式.已知等差数列已知等差数列an的公差的公差d大于大于0，且，且a2，a5是方程是方程x212x270的两根，数列的两根，数列bn的前的前n项和为项和为Tn，且，且Tn1(1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式；(2)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，试比较，试比较 与与Sn1的大小，并说的大小，并说明理由明理
12、由.(1)求得求得a2、a5的值即可得的值即可得an的表达式，再利用的表达式，再利用Tn nTn n1bn n求出求出bn n的通项公式；的通项公式；(2)首先求出首先求出Sn n1与与 的表达式，先进行猜想，的表达式，先进行猜想，再进行证明再进行证明.【解解】(1)由已知得由已知得又又an的公差大于的公差大于0，a5a2.a23，a59.d12,1.a111111211,21,232111(1),22nnnnnnnnnTb bnTbbTTbb当当 时时,化简，得化简，得bnbn是首项为是首项为 ，公比为，公比为 的等比数列，的等比数列，nb 即即2221,.31(21)(2),2nnnnan
13、bnSnnSn1(n1)2以下比较以下比较 与与Sn1的大小：的大小：当当n1时时当当n2时，时，当当n3时，时，当当n4时，时，猜想：猜想：n4时，时，Sn1.22114,.SSb33219,.SSb443116,.SSb则则554125,.SSb得得下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：当当n4时，已证时，已证.假设当假设当nk(kN*，k4)时，时，Sk1，即即 (k1)2，那么，那么，nk1时，时，3k26k3(k24k4)2k22k1(k1)12S(k1)1，211313.33(1)22kkkkb nk1时，时，Sn1也成立也成立.由可知由可知nN*，n4时，时，Sn1成立成立
14、.综上所述，当综上所述，当n1,2,3时，时，Sn1，当当n4时，时，Sn1.3.设设Sn是数列是数列 的前的前n项的和项的和.是否存在关于正整数是否存在关于正整数n的函数的函数f(n)，使，使S1S2Sn1 f(n)(Sn1)对于大于对于大于1的正整数的正整数n都成立？并证明你的结论；都成立？并证明你的结论；解：解：假设存在假设存在f(n)，使等式成立，使等式成立.当当n2时，时，S1f(2)(S21)，即即1f(2)(1 1)，解得，解得f(2)2.当当n3时，时，S1S2f(3)(S31)，即即11f(3)(1 1)，f(3)3.猜想猜想f(n)n(n2).下面用数学归纳法证明：当下面用
15、数学归纳法证明：当n2时，等式时，等式S1S2Sn1n(Sn1)恒成立恒成立.当当n2时，由上面计算知，等式成立时，由上面计算知，等式成立.假设假设nk(k2)时，等式成立，即时，等式成立，即S1S2Sk k1k(Sk1)，则则S1S2Sk1Skk(Sk1)Sk(k1)Skk(k1)(Sk1 )k(k1)Sk11k(k1)(Sk11)即即nk1时，等式也成立时，等式也成立.由知，对一切由知，对一切n2，等式都成立，等式都成立.故存在故存在f(n n)n n，使，使S1S2Sn n1f(n n)(Sn n1)对大于对大于1的正整数的正整数n n都成立都成立.数学归纳法是证明关于正整数数学归纳法是
16、证明关于正整数n的命题的一种方法，的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一.纵观近几年的高考题，数学归纳法不可能在解答题中单独命纵观近几年的高考题，数学归纳法不可能在解答题中单独命题，往往与函数、不等式、数列结合命题题，往往与函数、不等式、数列结合命题.2009年安徽卷第年安徽卷第21题利用数学归纳法确定参数范围，代表了一种新的命题方题利用数学归纳法确定参数范围，代表了一种新的命题方向向.(2009安徽高考安徽高考)首项为正数的数列首项为正数的数列an满足满足an13)，n nN.(1)证明：若证明：若a1为奇数，则
17、对一切为奇数，则对一切n2，an都是奇数；都是奇数；(2)若对一切若对一切nN都有都有an1an，求，求a1的取值范围的取值范围.解解(1)证明：已知证明：已知a1是奇数，假设是奇数，假设ak2m1是奇数，其中是奇数，其中m为正整数，为正整数，则由递推关系得则由递推关系得ak1 m(m1)1是奇数是奇数.根据数学归纳法，对任何根据数学归纳法，对任何nN，an都是奇数都是奇数.(2)法一：法一：由由an1an (an1)(an3)知，知，an1an当当且仅当且仅当an1或或an3.若若0ak1，则，则0ak1若若ak3，则，则ak1根据数学归纳法，根据数学归纳法，0a110an1，nN，a13a
18、n3，nN.综合所述，对一切综合所述，对一切nN都有都有an1an的充要条件是的充要条件是0a11或或a13.法二：法二：由由a2 得得 4a130，于是于是0a11或或a13.因为因为a10，an1 ，所以所有的，所以所有的an均大于均大于0，因此，因此an1an与与anan1同号同号.根据数学归纳法，根据数学归纳法，nN，an1an与与a2a1同号同号.因此，对一切因此，对一切nN都有都有an1an的充要条件是的充要条件是0a11或或a13.21a1nnaa 本题不能算是一道难题，但考生临场发挥的并不理想，主要本题不能算是一道难题，但考生临场发挥的并不理想，主要存在以下问题存在以下问题.(
19、1)基础知识不扎实，应用数学归纳法解题的意识不强，本题基础知识不扎实，应用数学归纳法解题的意识不强，本题要解决的是要解决的是“对一切对一切n2”，对一切，对一切“nN”的情况的情况.符合用数学符合用数学归纳法解题的特征归纳法解题的特征.(2)数学归纳法的解题步骤掌握不好，如解数学归纳法的解题步骤掌握不好，如解(1)题时没有注明题时没有注明a1是奇数，而这一步是归纳奠基，是应用数学归纳法的前提是奇数，而这一步是归纳奠基，是应用数学归纳法的前提.(3)不能很好的应用归纳假设，特别是解不能很好的应用归纳假设，特别是解(1)题时很多考生没能题时很多考生没能想到令想到令ak2m1，并用，并用m表示出表示出ak1.
