1、1.4.2 1.4.2 充要条件充要条件什么是充分条件和必要条件？如何判断？思考下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则ac0，q:x0，y0；（4）p:是一元二次方程 的一个根，q：解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以 ，所以p不是q的充要条件.1x02cbxax).0(0acba（2）因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，
2、所以它们均为真命题，即 ，所以p是q的充要条件.（3）因为xy0时，x0，y0不一定成立（为什么），所以 ,所以p不是q的充要条件.（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即 ，所以p是q的充要条件.pq/qp qp/qp 探究：通过上面的学习，你能给出四边形是平行四边形的充要条件吗？另外，我们在看平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，能，可以发现“四边形的两组对角分别相等”，“四边形的两组对边分别相等”，“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”，既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件.
3、它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件.思考：可以给出平行四边形的其他定义形式吗？上面这些充要条件从不同角度刻画了平行四边形这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式，例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的，等等.例4 已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证d=r是直线l与O相切的充要条件.图
4、1.4-2分析 设设p p：d=rd=r，q q：直线：直线l l与与O O相切相切.要证要证p p是是q q的充要条件，只需分别证明充分性的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）和必要性（）即可）即可.qp pq 证明：设p：d=r，q：直线l与O相切.（1）充分性（）：如图1.4-2，作OPl于点P，则OP=d.若d=r，则点p在O上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在RtOPQ中，OQOP=r，所以，除点P外，直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P.所以直线l与O相切.qp（2）必要性（）：若直线l与O相切，不妨设切点为P，则OPl.因此d=OP=r.由
5、1 2可得d=2是直线l与圆o相切的充要条件pq 由（1）（2）可得d=r是直线l与O相切的充要条件.拓展：充分条件与必要条件的几种判断方法1、定义法：定义法是判断充要条件最根本，最适用的方法，步骤如下：（1）分清条件与结论（p与q）；（2）找推式：即判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）下结论：.qqp.qqp.qqp.qqp件的既不充分也不必要条是的充要条件是的必要不充分条件是的充分不必要条件是pqppqppqppqp/拓展：充分条件与必要条件的几种判断方法2、集合法：若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件（）p是q的必要条件（）P是q的
6、充分不必要条件（，）A Bp是q的必要不充分条件（，）B Ap是q的充要条件（）A=BBABAqp pq qp pq/pq qp/qp 3、特殊值法：对于选择题可以取一些特殊值或特殊情况来说明由条件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题.练习1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）p：O内两条弦相等，q：O内两条弦所对的圆周角相等；（3）p：AB为空集，q：A与B之一为空集.2.分别写出两个三角形全等和两个三角相似的几个充要条件.（1）p是q的充要条件（2）p是q的充要条件（3）p不是q的充要条件两个三角形全等的充要条
7、件:两个三角形三边对应相等，两个三角形两边及其夹角对应相等，两个三角形两角与一边对应相等。两个三角形相似的充要条件:有两个三角形三角分别相等，两个三角形三边对应成比例，两个三角形两边对应成比例，且夹角相等。练习3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.证明：设p：AC=BD，q:梯形ABCD为等腰梯形.（1）充分性（）:过点D作DE/AC，与BC的延长线交于点E.如图所示，已知AD/CE，四边形ACDE为平行四边形，AC=ED，又AC=BD，BD=ED，E=ACB，ACB=DBC，又AC=DB，BC=CB，ACB DBC，AB=DC，梯形ABCD为等腰梯形.qp（2）必要性（）：在等腰梯形ABCD中，易知AB=DC，ABC=DCB，又BC=CB，ABC DCB，AC=DB.pq 由（1）（2）可得梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.小结作业习题1.4 第4题、第5题
