1、1.5.1.5.全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.5.1 1.5.1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词下列语句是命题吗？（下列语句是命题吗？（1 1）与（）与（3 3），（），（2 2）与（）与（4 4）之间有什么关系？之间有什么关系？（1 1）；（2 2）是整数；是整数；（3 3）对所有的对所有的（4 4）对任意一个对任意一个 是整数。是整数。3x 21x,3;xR x,21xZx语句（语句（1 1）、（）、（2 2）不是命题，）不是命题，语句（语句（3 3）、（）、（4 4）是命题。）是命题。命题是可以判断真假的陈述句。命题是可以判断真假的陈述句。短语短语“所有的所有的”，“任意
2、一个任意一个”在逻辑中通常在逻辑中通常叫做叫做全称量词全称量词用符号用符号“”表示。表示。含有全称量词的命题，叫做含有全称量词的命题，叫做全称量词命题全称量词命题。常见的全称量词有常见的全称量词有“一切一切”“”“每一个每一个”“”“任给任给”“”“所有的所有的”.n nZ Z，2 2n n+1 1是是奇奇数数；例例如如，命命题题：对对任任意意的的所所正正方方形形有有的的都都是是矩矩形形 通通常常，将将含含有有变变量量x x的的语语句句用用p p(x x)、q q(x x)、r r(x x)表表示示，变变量量x x的的取取值值范范围围用用表表示示。全全称称量量词词命命题题“对对中中任任意意一一
3、个个x x，p p(x x)成成立立.简简记记为为：x xM M，p p(x x)MM读读作作“对对x x属属于于M M，有有P P(x x任任意意)成成立立”。短语短语“所有的所有的”，“任意一个任意一个”在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做全称量词全称量词用符号用符号“”表示。表示。含有全称量词的命题，叫做含有全称量词的命题，叫做全称量词命题全称量词命题。例例1 1：判断下列全称量词命题的真假：判断下列全称量词命题的真假：（1 1）所有的所有的素数都是奇数；素数都是奇数；（2 2）（3 3）对任意一个对任意一个无理数无理数x x，也是无理数。也是无理数。xR|x|11 ，；2x 要判断一个全称
4、量词命题为真，必须对给定集要判断一个全称量词命题为真，必须对给定集合的每一个元素合的每一个元素x x，使命题，使命题p(x)p(x)为真；但要判断一个为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素个元素x x，使命题，使命题p(x)p(x)为假。为假。假命题假命题假命题假命题真命题真命题下列语句是命题吗？（下列语句是命题吗？（1 1）与（）与（3 3），（），（2 2）与（）与（4 4）之间）之间有什么关系？有什么关系？（1 1）；（2 2）x x能被能被2 2和和3 3整除；整除；（3 3）存在一个存在一个 ，使，使 ；（4
5、4）至少有一个至少有一个 ，x x能被能被2 2和和3 3整除整除.213x xRxZ213x 语句（语句（1 1）、（）、（2 2）不是命题，）不是命题，语句（语句（3 3）、（）、（4 4）是命题）是命题短语短语“存在一个存在一个”，“至少有一个至少有一个”在逻辑中通常在逻辑中通常叫做叫做存在量词存在量词用符号用符号“”表示。表示。含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的命题，叫做存在量词命题存在量词命题。2例例如如：(1 1)有有的的平平行行四四边边形形是是菱菱形形。有有一一个个素素数数不不是是奇奇数数。()常见的存在量词还有常见的存在量词还有“有些有些”“”“有一个有一个”“”“对某些对
6、某些”“”“有的有的”存在量词命题：存在量词命题：“存在存在M中的元素中的元素x x，P P（x x）成立）成立”可用符号简记为：可用符号简记为：x x M，P P（x x）；）；读作读作“存在存在一个一个x x属于属于M，使，使P P（x x）成立）成立”例例2 2：判断下列存在量词命题的真假：判断下列存在量词命题的真假：（1 1）有一个有一个实数实数x x，使，使（2 2）平面内）平面内存在存在两条相交直线垂直于同一条直线；两条相交直线垂直于同一条直线；（3 3）有些有些平行四边形是菱形。平行四边形是菱形。2x2x30 ；假命题假命题假命题假命题真命题真命题短语短语“存在一个存在一个”，“
7、至少有一个至少有一个”在逻辑中通常在逻辑中通常叫做叫做存在量词存在量词用符号用符号“”表示。表示。含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的命题，叫做存在量词命题存在量词命题。请看课本请看课本P28P28：练习：练习全全称称量量词词命命题题“对对中中任任意意一一个个x x，p p(x x：x x)成成M M立立.简简记记)为为，p p(x xM读读 作作“对对x x属属 于于 M M，有有 P P(x x)任任 意意 的的成成 立立”。存在量词命题存在量词命题“存在存在M中的元素中的元素x x，P P（x x）成立）成立”简记为：简记为：x x M，P P（x x）；）；读作读作“存在存在一个一个
8、x x属于属于M，使，使P P（x x）成立）成立”温故知新：温故知新：1.5.2 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题和存在量词命题的否定 设命题设命题p p：“矩形矩形都是都是平行四边形平行四边形”情景引入：情景引入：你能否用你能否用“全称量词和存在量词全称量词和存在量词”来描述这个命题？来描述这个命题？在在“矩形矩形都是都是平行四边形平行四边形”的前面加上的前面加上全称量词全称量词，变，变为命题为命题p:“p:“所有的所有的矩形矩形都是都是平行四边形平行四边形”p p命题：命题：也就是说也就是说“至少存在一个至少存在一个矩形矩形不是不是平行四边形平行四边形”所以，所以
9、，p p命题：命题：“存在一个存在一个矩形矩形不是不是平行四边形平行四边形”真命题真命题 假命题假命题“并非并非所有的所有的矩形矩形都是都是平行四边形平行四边形”注：注：原命题和原命题的否定一真一假。原命题和原命题的否定一真一假。p p与与 p p真假性相反真假性相反2 每每一一个个素素数数都都是是奇奇数数；()1写写出出下下列列命命题题的的否否定定：()所所有有的的矩矩形形都都是是平平行行四四边边形形；(3 3)x xR R，x x+|x x|0 0这这些些命命题题和和它它们们的的否否定定在在形形式式上上有有什什么么变变化化？（1 1）存存在在一一个个矩矩形形不不是是平平行行四四边边形形；否
10、否 定定 为为:x xM M，p p(x x)x xM Mp p(x x)，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题。这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题。全称量词命题全称量词命题存在量词命题存在量词命题x xM M，p p(x x)x xM M，p p(x x)x xM Mp p(x x)，x xM Mp p(x x)，(2 2)存存在在一一个个素素数数不不是是奇奇数数；(3 3)x xR R，x x+|x x|0 0 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：有下面的结论：全称量词命题全称量词命题p p：xM,P(x),xMxM，
11、p p（x x）.它它的的否否定定p p：全称量词命题的否定是存在量词命题全称量词命题的否定是存在量词命题.（对对任意的任意的x x属于属于M，有，有p(x)p(x)成立）成立）（存在（存在一个一个x x属于属于M，使，使p(x)p(x)不成立）不成立）含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：例例3 3：写出下列全称量词命题的否定：写出下列全称量词命题的否定：（1 1）所有能被）所有能被3 3整除的整数整除的整数都是都是奇数；奇数；（2 2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3 3）对任意）对任意
12、 ，的个位数字的个位数字不等于不等于3 3。xZ 2x全称量词命题全称量词命题p p：xM,P(x),x xM M，p p（x x）.它它 的的 否否 定定p p：全称量词命题的否定是存在量词命题全称量词命题的否定是存在量词命题.（对对任意的任意的x x属于属于M，有，有p(x)p(x)成立）成立）（存在（存在一个一个x x属于属于M，使，使p(x)p(x)不成立）不成立）这这些些命命题题和和它它们们的的否否定定在在形形式式上上有有什什么么变变化化？1)1)所有实数的绝对值都不是正数所有实数的绝对值都不是正数;xMxM，p(x)p(x)xMxM，p(x)p(x)2)2)每一个平行四边形都不是菱
13、形每一个平行四边形都不是菱形;2xR,x2x30 3)3)写写出出下下列列命命题题的的否否定定1 1)存存在在一一个个实实数数的的绝绝对对值值是是正正数数；2)某某些些平平行行四四边边形形是是菱菱形形；否定：否定：探究探究全称量词命题全称量词命题 存在量词命题存在量词命题这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题。这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题。)x xR R，x xx x=2323 0 x xM M，p p(x x)xMxM，p(x)p(x)xMxM，p(x)p(x)xMxM，p(x)p(x)对含有一个量词的存在量词命题的否定，对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论
14、有下面的结论:它它的的否否定定 p p：x xM M，p p(x x)存在量词命题的否定是全称量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题.存存在在量量词词命命题题P P：x xM M，p p(x x)（存在（存在一个一个x x属于属于M M，使，使p(x)p(x)成立）成立）（对对任意的任意的x x属于属于M M，有，有p(x)p(x)不成立）不成立）对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：的结论：它它的的否否定定 p p：x xM M，p p(x x)存在量词命题的否定是全称量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题.存存 在在 量量 词词 命
15、命 题题 P P：x xM M，p p(x x)（存在（存在一个一个x x属于属于M M，使，使p(x)p(x)成立）成立）（对对任意的任意的x x属于属于M M，有，有p(x)p(x)不成立）不成立）例例4 4、写出下列存在量词命题的否定：写出下列存在量词命题的否定：（1 1）（2 2）有的三角形是等边三角形；）有的三角形是等边三角形；（3 3）有一个偶数是素数。）有一个偶数是素数。xRx20 ，；1.1.全称量词命题全称量词命题“对集合对集合M M中中任意的任意的一个一个x x，有，有p(x)p(x)成立成立”xMxM，p(x)p(x)读作：读作：对对任意的任意的x x属于属于M M，有，
16、有p(x)p(x)成立成立2.2.存在量词命题存在量词命题“存在存在集合集合M M中的一个中的一个x x，使，使p(x)p(x)成立成立”简记为：简记为：读作读作：存在存在一个一个x x属于属于M M，使，使p(x)p(x)成立成立 含有全称量词的命题，叫做含有全称量词的命题，叫做全称量词命题全称量词命题 含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的命题，叫做存在量词命题存在量词命题简记为：简记为：常见的全称量词有常见的全称量词有“一一切切”“”“每一个每一个”“”“任任给给”“”“所有的所有的”等。等。常见的存在量词有常见的存在量词有“有些有些”“”“有一有一个个”“”“对某些对某些”“有的有的”
17、等等.小结：小结：x xM M，p p(x x)3.3.含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定(3)(3)结论：结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题.它它的的否否定定 p p:xM,p(x)xM,p(x)(2)(2)存存在在量量词词命命题题P PxMxM，x)x)：p(p(x xM M，p p(x x)它它的的否否定定p p:(1 1)全全称称量量词词命命题题P P：x xM M，p p(x x)（对对任意的任意的x x属于属于M M，有，有p(x)p(x)成立）成立）（存在（存在一个一个x x属于属于M M，使，使p(x)p(x)不成立）不成立）（存在（存在一个一个x x属于属于M M，使，使p(x)p(x)成立）成立）（对对任意的任意的x x属于属于M M，有，有p(x)p(x)不成立）不成立）请看课本请看课本P31P31：练习：练习
