1、2.2 2.2 基本不等式基本不等式 2002 2002年国际数学家年国际数学家大会大会(ICM-2002)(ICM-2002)在北京在北京召开召开,会标是根据中国会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图古代数学家赵爽的弦图设计的设计的.该图形有何特点该图形有何特点?你能从这个图中找出一你能从这个图中找出一些不等关系吗？些不等关系吗？几何引入几何引入ab22ab ABCDE(FGH)ba重要不等式重要不等式222abab 一般地，对于一般地，对于任意实数任意实数a,b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立222abababa bab若若用用，分分别别代代替替上上式式的的,可可
2、得得到到什什么么结结论论？此此时时、应应满满足足思思考考：什什么么条条件件？222abab 变形变形重要不等式重要不等式2abab (0,0)ab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立注意：注意：(1)两个不等式的两个不等式的适用范围适用范围不同不同,而而等号成立的条件相同等号成立的条件相同;(2)称为称为正数正数 a、b 的算术平均数；的算术平均数；称为称为正数正数 a、b的几何平均数的几何平均数.2ab ab两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.（均值不等式）（均值不等式）变形变形22abab 基本不等式基本不等式2abab证明：要证
3、证明：要证 只要证只要证_ab要证要证，只要证，只要证_0ab要证要证，只要证，只要证2(_)0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法22(0,0,(),()abaabb2abab )0,0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba基本不等式的代数证明：基本不等式的代数证明：几何意义：几何意义：半弦不大于半径。半弦不大于半径。ABDCababO2ab探究探究:在右图中，在右图中，AB是圆的直径，点是圆的直径，点C是是AB上的一点，上的一点，AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接，连接AD、BD.你能利
4、用这个图形得出基本不等式的几何解释吗你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？E基本不等式的几何意义：基本不等式的几何意义：基本不等式几何意义.gsp例题讲解例题讲解 例例1.若若 ,求求 的最小值的最小值.40 xyxx00,1:100,.已已知知,求求的的最最小小变变值值xyxyxy 变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.0 baabyab结论结论1 1：两个正数积为定值两个正数积为定值,则和有最小值则和有最小值 (即积定和最小即积定和最小)00,2:2(),.已已知知,求求的的最最大大值值例例xyxyaxy 变变:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 结论
5、结论2 2：两个正数和为定值两个正数和为定值,则积有最大值则积有最大值 (即和定积最大即和定积最大)例题讲解例题讲解 练习练习：下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果 错了，错了，那么那么错错在哪里？在哪里？：.2原式有最小值12xxx,21:解x;,0)1(的最值求已知 1xxx基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用-求最值求最值各项皆为各项皆为正数正数21(2),1;2xx已知求的最小值222:1212,1,1,.xxxxx 解当且仅当即时 等号成立2122.xx有最小值为基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用-求最值求最值和或积为和或积为定值定值4(3)3,.x
6、xx已知求的最小值44:24,4.4,2,.xxxxxxx解原式有最小值当且仅当即时 等号成立基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用-求最值求最值注意注意等号等号成立的条件成立的条件各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时利用基本不等式求最值时,要注意要注意:结论结论1 1：两个正数两个正数积为定值积为定值，和有最小值和有最小值结论结论2 2：两个正数两个正数和为定值和为定值，积有最大值积有最大值【归纳总结归纳总结 】思考：思考：222abab 22(1)2abab变形变形22ab
7、ab (2)2abab 变形变形2abab变形变形常见变式常见变式 22222abab与与有有什什么么样样的的大大小小关关系系？22222ababab 的最大值求函数25212512xxxy练习：练习：22222ababab 变形变形222()2ababab 例例1：已知：已知a、b、c都是正数，都是正数，求证：（求证：（ab）（）（bc）（）（ca）8abc。练习练习：已知已知a、b、c都是正数都是正数,求证求证：cbacabbacabc题型一：不等式的证明题型一：不等式的证明 例例2:求函数求函数 的最小值的最小值)3(31xxxy的最大值求函数已知54124,45xxyx练习：练习：题型
8、二题型二:求最值问题求最值问题 凑项凑项 （法之一：构造积为定值）（法之一：构造积为定值）8204yxxx 求求函函数数的的最最大大值值.例例3：题型二：求最值问题题型二：求最值问题20(23)3xyxx 时时,求求函函数数的的最最大大值值.练习：练习：凑系数凑系数 （法之二：构造和为定值）（法之二：构造和为定值）27104:(1).1xxyxx 例例求求的的最最小小值值.1,12的最小值求已知xxyx9题型二题型二:求最值问题求最值问题练习：练习：分离分离 （法之三：分离法）（法之三：分离法）2,33abab例例5 5:若若实实数数满满足足求求的的最最小小值值.题型二题型二:求最值问题求最值
9、问题（法之四：条件求最值）（法之四：条件求最值）例例6:已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值11uxy “1”的替换的替换变式：变式：题型二题型二:求最值问题求最值问题（法之四：条件求最值）（法之四：条件求最值）课堂小结课堂小结 三是三是考虑考虑等号成立等号成立的条件的条件二是二是寻求定值寻求定值，（1 1）求和式最小值求和式最小值时应时应使积为定值使积为定值，（2 2）求积式最大值求积式最大值时应时应使和为定值使和为定值(恰当变形恰当变形，合理发现，合理发现拆分项拆分项或或配凑因式、配凑因式、“1”1”的代换的代换是常用的解题技巧是常用的解题技巧)；一是一是各项为正各项
10、为正；问题问题1.1.用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m100m的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.2xyxy2 100,xy 2()40 xy等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.结论结论1 1：两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两变量，当且仅当两变量值相等时取最值值相等
11、时取最值.简记简记“积定和最小积定和最小”.问题问题2.2.用段长为用段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，问的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？18922xyxy解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则 2（x+y）=36,x+y =18矩形菜园的面积为xym281xy当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2结论结论2 2：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两变量
12、值相，当且仅当两变量值相等时取最值等时取最值.简记简记“和定积最大和定积最大”.例1:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?3m4800z150120(2 3x2 3y)240000720(xy)3 240000720(xy)240000720 2 xy解解:设底面的长为设底面的长为xm,宽为宽为ym,水池总造价为水池总造价为z元元.根据题意根据题意,有有:由容积为由容积为4800m3,可得可得:3xy=4800 ，因此因此 xy=1600z240000720 2 1600z297600 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时,等号成立等号成立.所以所以,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形时总造价最低的正方形时总造价最低,最低总造价为最低总造价为297600297600元元.即：
