1、学习本节内容时要学会借助图形解决抽象问题,逐步形成直观想象的数学素养.学习时还应注意以下几点:1.理解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念;在具体情境中,了解空集的含义.2.能识别给定集合的子集,掌握列举有限集的所有子集的方法.3.能用符号和Venn图表示集合间的关系.1.2集合间的基本关系知识点|子集、集合相等、真子集 概念图示性质子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个 元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的 子集 ,记作 AB (或 BA ),读作“A包含于B”(或“B包含A”)任何一个集合是它本身的子集,即A A;对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么
2、A C概念图示性质集合相等一般地,如果集合A的任何一 元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作 A=B AB,且BAA=B;A=B,且B=C,则A=C真子集如果集合 AB ,但存在元素xB,且 x A ,就称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)AB,且BC,则AC;AB,且AB,则AB续表知识点|空集的概念定义 不 含 任 何 元 素 的 集 合 叫 做 空 集符号 规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部 代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间
3、的关系如图所示.知识点|Venn图1.和表示的意义相同.()2.任何集合都有子集和真子集.()提示:空集没有真子集.3.若aA,则a A.()提示:当A中仅含一个元素a时,A=a,a不是A的真子集.4.已知集合BA,如果元素a A,那么元素a B.()5.任何一个集合都至少有2个子集.()判断正误，正确的画“”，错误的画“”.疑难突破疑难1|集合间关系的判断归纳总结：判断集合间关系的方法1.列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将两个(或多个)集合表示出来,再通过对比两个(或多个)集合中的元素来判断其关系.2.元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关系.即若x
4、是集合A中的元素,则x满足集合A中的限制条件,由限制条件推断x是否满足集合B中的限制条件,若能推出则A是B的子集,否则A不是B的子集;同理可判断B是不是A的子集.3.图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断两个(或多个)集合间的关系.疑难2|0,0,之间的关系(1)不含任何元素,所以0不是它的元素.(2)0表示只含有一个元素0的集合,所以00.(3)并不是空集,中有一个元素,这个元素就是,即.又因为是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以.练习：判断下列集合的关系:(1)A=1,2,3,B=x|(x-1)(x-2)(x-3)=0;(2)A=x|02x-11,B=x|13x+14
5、;(3)A=x|x是文学作品,B=x|x是散文,C=x|x是叙事散文;(4).2n思路点拨思路点拨(1)先确定集合先确定集合B中的元素中的元素,再与集合再与集合A中的元素对比中的元素对比.(2)先确定集合先确定集合A,B,再用数轴表示再用数轴表示,即可得结果即可得结果.(3)利用利用Venn图表示集合图表示集合A,B,C间的关系间的关系,即可得结果即可得结果.(4)先分析集合先分析集合M,N,P的元素特征的元素特征(也可用列举法也可用列举法),再判断集合再判断集合M,N,P的关系的关系.解析解析(1)B=x|(x-1)(x-2)(x-3)=0=1,2,3=A.(2),B=x|13x+14=x|
6、0 x2.3.在问题2中,将条件改为“BA”,又如何求a的取值范围?提示:若BA,画出数轴:则由数轴可知1a2.总结：根据集合间的关系总结：根据集合间的关系,求参数的值或取值范围的方法求参数的值或取值范围的方法1.若集合是用列举法表示的若集合是用列举法表示的,则根据集合间的关系则根据集合间的关系,转化为方程转化为方程(组组)求解求解,同时注意同时注意考虑元素的互异性考虑元素的互异性;若集合是用不等式描述的若集合是用不等式描述的,则利用数轴转化为不等式则利用数轴转化为不等式(组组)求求解解,同时还要注意验证端点值的取舍同时还要注意验证端点值的取舍.2.涉及涉及“AB”或或“A B”的问题的问题,
7、若集合若集合A中含有参数中含有参数,通常要分通常要分A=和和A两种情况进行讨论两种情况进行讨论,其中其中A=的情况容易被忽略的情况容易被忽略,应引起足够的重视应引起足够的重视.例题：求满足下列条件的实数a的值或取值范围:(1)已知集合M=a-3,2a-1,a2+1,N=-2,4a-3,3a-1,M=N;(2)已知集合M=x|ax+2=0,N=x|x2-5x+6=0,MN;(3)已知集合M=x|-3x4,N=x|2a-1x0,所以所以a-3=-2或或2a-1=-2.当当a-3=-2,即即a=1时时,M=-2,1,2,N=-2,1,2,满足满足M=N;当当2a-1=-2,即即a=-时时,M=,N=
8、,不满足不满足M=N,舍去舍去.故实数故实数a的值为的值为1.(2)由题意知由题意知N=2,3.当当M=时时,a=0,满足满足MN.当当M,即即a0时时,M=.因为因为MN,所以所以-=2或或-=3,即即a=-1或或a=-.综上所述综上所述,a的取值范围为的取值范围为.1275,2,2452,5,22a2a2a2320,1,3(3)当N=,即2a-1a+3时,a4,满足N M.当N时,因为N M,所以或解得-1a1.综上所述,a的取值范围是a|-1a1或a4.(4)因为M=x|x2-3x+2=0=1,2,NM,所以N=或1或2或1,2.当N=时,=4(a+1)2-4(a2-5)0,解得a-3.
9、当N=1时,无解.当N=2时,213,213,34aaaa 213,213,34,aaaa 21 12(1),1 15,aa 2222(1),225,aa 解得a=-3.当N=1,2时,无解.综上所述,a的取值范围是a|a-3.2122(1),1 25,aa 疑难4|探究已知集合的子集个数如果一个集合有n(nN*)个元素,那么如何研究它的子集个数?问题问题1.已知集合已知集合A=a,b,c,集合集合A有几个子集有几个子集?提示提示:集合集合A有有8个子集个子集.2.已知集合已知集合A=a,b,c,如何写出集合如何写出集合A的所有子集的所有子集?提示提示:对于有限集的子集对于有限集的子集,通常按
10、子集中元素个数的多少及集合中元素的先后顺通常按子集中元素个数的多少及集合中元素的先后顺序来写序来写.3.已知集合已知集合A=a,b,c,集合集合A的真子集有几个的真子集有几个?非空真子集有几个非空真子集有几个?提示提示:集合集合A的真子集有的真子集有23-1=7个个,非空真子集有非空真子集有23-2=6个个.总结1.假设集合A中含有n(nN*)个元素,则:(1)A的子集个数是2n;(2)A的非空子集个数是2n-1;(3)A的真子集个数是2n-1;(4)A的非空真子集个数是2n-2.2.设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,nN*,mn),且ACB,则符合条件的有限集C的个数为2n-m.
11、3.求给定集合的子集的两个注意点:(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;(2)在写子集时要注意空集和集合本身也是该集合的子集.练习已知集合A=2,4,6,8,9,B=1,2,3,5,8,存在非空集合C,使C中每个元素都加上2就变成了A的一个子集,且C中的每个元素都减去2就变成了B的一个子集,则集合C的个数是多少?解析解析假设存在满足条件的集合假设存在满足条件的集合C,则则C,将将A中元素都减中元素都减2得得0,2,4,6,7,B中元中元素都加素都加2得得3,4,5,7,10,于是于是C0,2,4,6,7,且且C3,4,5,7,10.注意到两个集合的注意到两个集合的共同元素构成的集合为共同元素构成的集合为4,7,故非空集合故非空集合C是是4,7的子集的子集,即即C=4,7或或C=4或或C=7,故集合故集合C的个数为的个数为3.
