1、 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式解决不等式问题时有着与问题时有着与乘法公式类似的重要乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题。作用呢？下面就来研究这个问题。问题问题1：在上一节，我们利用完全平方差公在上一节，我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式：对于任意实数式得出了一类重要不等式：对于任意实数a，b，有有a2+b22ab，当且仅当，当且仅当a=b时，等号成立。特时，等号成立。特别地，如果别地，如果a0，b0，我们用，我们用a，b分别代分别代替上式中
2、的替上式中的a，b，可以得到怎样的式子？，可以得到怎样的式子？基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。2abab代数解释：代数解释：叫做正数叫做正数a，b的的算术平均数算术平均数，叫做叫做a，b的的几何平均数几何平均数。基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。它们的几何平均数。2abab 事实上，基本不等式就是均值不等式事实上，基本不等式就是均值不等式“链链”中的一环。中的一环。之所以被称为之所以被称为“基本不等式基本不等式”，主要是因为，主要是因为“它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑它可以作为不等
3、式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石其他许多非常重要结果的基石”，同时它也是，同时它也是解决许多最值问题的有力工具。解决许多最值问题的有力工具。121212(,0)nnnnaaaa aaa aan 问题问题2：前面，我们通过考察前面，我们通过考察a2+b22ab的特的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？式的性质推导出基本不等式呢？追问追问1：上述证明中，每一步推理的依据是上述证明中，每一步推理的依据是什么？什么？追问追问2：上述证明方法叫做上述证明方法叫做“分析法分析法”。你能。你能归纳一下用分析法证明命题
4、的思路吗？归纳一下用分析法证明命题的思路吗？分析法是一种分析法是一种“执果索因执果索因”的证明方法，即从要证明的结论的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。定义、公理等）为止。能够用分析法证明的命题的证明过程必须具有推理的可逆能够用分析法证明的命题的证明过程必须具有推理的可逆性和推理结果的唯一性，基本不等式就具有这样的特点。分性和推理结果的唯一性，基本不等式就具有这样的特点。分析法
5、常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，析法常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体的情况。这时可以尝试证明中需要用哪些知识不太明确具体的情况。这时可以尝试从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件。立的充分条件。追问追问3：根据上述的证明过程，说说分析法根据上述的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？的证明格式是怎样的？分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须成立的充分条件，所以分析法
6、在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要要证证只要证只要证”的格式，当推导到一个明显的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出成立的条件之后，指出“显然成立显然成立”。问题问题3：在下图中，在下图中，AB是圆的直径，点是圆的直径，点C是是AB上一点，上一点，AC=a，BC=b。过点。过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接，连接AD，BD。你能利用这个图。你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？形，得出基本不等式的几何解释吗？圆的弦长的一半小于或等于圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆圆的半径长，当且仅当弦过圆心
7、时，二者相等心时，二者相等。（半径不小（半径不小于半弦）于半弦）课堂小结课堂小结：1基本不等式的使用条件：在基本不等式的使用条件：在中，中，a，b只能是只能是非负数非负数；在；在a2+b22ab中，中，a，b可以是可以是任意实数任意实数。2基本不等式成立的条件：一是当基本不等式成立的条件：一是当a=b时，时，不等式取等号；二是不等式取等号时，必有不等式取等号；二是不等式取等号时，必有a=b。2abab例例1：已知已知x0，求，求 最小值。最小值。1xx追问追问1：“求求 的最小值的最小值”的含义是什么？的含义是什么？1xx 追问追问2：本题中要求最小值的代数式有什么本题中要求最小值的代数式有什
8、么结构特点？是否可以利用基本不等式求结构特点？是否可以利用基本不等式求的最小值？如果能，如何求？的最小值？如果能，如何求？1xx 追问追问4：通过本例的解答，你能说说满足什通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？代数式是否能转化为两个正数的和或积的形代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说，就是中的等号是否能取到，通俗的说，就是“一正、一正、二定、三相等二定、三相等”。例例2：已知已知x，y都是正数，求证：都是正数，
9、求证：（1）如果积）如果积xy等于定值等于定值P，那么当，那么当x=y时，时，和和x+y有最小值有最小值 ；（2）如果和）如果和x+y等于定值等于定值S，那么当，那么当x=y时，时，积积xy有最大值有最大值 。2 P214S 追问：追问：通过本题，你能说说用基本不等式能通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？够解决什么样的问题吗？根据这两个数学模型可知，有两类最值问题根据这两个数学模型可知，有两类最值问题可以用基本不等式解决，即可以用基本不等式解决，即“两个正数的两个正数的积积为为定定值，当这两个数取什么值时，它们的值，当这两个数取什么值时，它们的和和有有最最小小值值”和和“两个
10、正数的两个正数的和和为为定定值，当这两个数取值，当这两个数取什么值时，它们的什么值时，它们的积积有有最大最大值值”。课堂练习课堂练习:课堂练习课堂练习:4已知已知-1x1，求求1-x2的最大值的最大值。5已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于50 cm2，当，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小和最小？最小值是多少最小值是多少？目标检测目标检测：1已知已知 x0，求，求 的最小值及相应的的最小值及相应的x值；值；2已知已知 0 x1，求，求 的最小值及相的最小值及相应的应的x值；值；12xx11xx 布置作业：布置作业：校本作业：基本不等式。校本作业：基本不等式。
