1、高中数学必修第一册2.2基本不等式与最大（小）值 请同学们准备好笔、草稿纸、笔记本哦Qzzkoy复习引入复习引入221.,2a babababR若，则，当且仅当时，等号成立；2.,02aba babab若，则，当且仅当时，等号成立；222,0)1122.abababa babab，(当 且 仅 当时，等 号 成 立不等式链：重要不等式基本不等式适用条件：“一正，二定，三相等”调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数Qzzkoy二、探究Qzzkoy二、探究Qzzkoy简记：积定和最小，和定积最大用基本不等式求最值的结论Qzzkoy1()(0)()f xxxf xx求的最小值2()f xxx
2、3()f xxx1()2f xxx1()3f xxx1()2f xxx1()3f xxx1()23f xxx2()43f xxx4()33f xxx3()24xf xx3()2xf xx33()22xf xx以下函数的定义域都是（0，+）,根据例1解法，直接说出以下函数的最小值()(0)(0)bf xaxxabx类型一：10,0111()221()2xxf xxxxxxxxf x当且仅当，即时等号成立的最小值为例1：解：2 1 22 22 1 32 32 2 12 2 2 3 12 3 12 12212 32 133162 23324 62 43342 34312362136224233232
3、22()(0)baxcxbf xaxcabxx 知识点一：拼凑法Qzzkoy12()(0)f xxxx 例：2()f xxx 3()f xxx 1()2f xxx 1()3f xxx 1()2f xxx 1()3f xxx 1()23f xxx 2()43f xxx 4()33f xxx 3()24xf xx 3()2xf xx 33()22xf xx 10,0111()()221()2xxf xxxxxxxxf x 当且仅当，即时等号成立的最大值为-2 1 22 2 2 1 32 3 2 2 12 2 2 3 12 3 以下函数的定义域都是（0，+）,根据例2的解法，直接说出下列函数的最大值
4、12 122 12 32 133 162 233 24 62 433 42 343 12362 1362242 332322 解：Qzzkoy()(0)(0)bf xaxxabx类型一：()(0,0)2bf xaxababx的最小值为()(0,0)2bf xaxababx的最大值为-系数都为负的时候要提个“-1”之后括号里面就都为正的，再用基本不等式2()(0)baxcxbf xaxcabxx()(0,0)2bf xaxc ababcx的最小值为()(0,0)2bf xaxababcx的最大值为-（最基础的，不需要拼凑）Qzzkoy2()1(1)1f xxxx3()1(1)1f xxxx1()
5、21f xxx2()21f xxx3()21f xxx1132 1351xx 2132 231xx 3132 331xx()()(0,0)eaeadf xaxbcxdbaccxdccxdc类型二：求下列函数的最小值1()(1)(1)1f xxxx1()(0)f xxxx2()(0)f xxxx3()(0)f xxxx1()(1)1f xxxx2()(1)1f xxxx3()(1)1f xxxxQzzkoy1()2f xxx2()3f xxx3()4f xxx1()(1)2(1)f xxx2()(1)3(1)f xxx3()144f xxx 1()122f xxx 2()133f xxx 3()
6、(1)4(1)f xxx3()143f xxx 1()121f xxx 2()132f xxx 1()121f xxx 针对这种类型 我们以为例11()1()()212f xxxf xx 求的最小值难度升级a littleQzzkoy1111112 21()12 1121222222()2f xxxxx 1111112 21()1(21)21212212222f xxxxx 3()131f xxx 123124(31)233331333xx1344(31)()33133xxf xx当且仅当即当时取等号，故的最小值为第一种变形：第二种变形：无论是哪种变形，都是为了拼凑出同样的整体，达到两者的积是
7、定值，从而可以利用基本不等式去求最值。11()1()()212f xxxf xx 求的最小值能不能凑出定值？如何凑呢？()()()f x 常数常数常数1()121f xxx 如何变形？()(21)21f xxx1常数常数11(21)221xx常数哪个常数乘以2会等于1？111(21)2212xx112 常数趁热打铁：31()1()313f xxxf xx（）求的最小值11122 211()22122xxf xx当且仅当（2）=即时，等号成立，故的最小值为Qzzkoy233()(1)()1xxf xxf xx求最小值2233(1)(1)11()112 1 11111xxxxf xxxxx 112
8、1xxx 当且仅当即当时取等号2710()(1)1xxf xxx 22710(1)5(1)44()152 459111xxxxf xxxxx 4111xxx 当且仅当即当时取等号229()(2)2xxf xxx2229(2)2(2)99()222 928222xxxxf xxxxx9252xxx当且仅当即当时取等号2()()()()()(0,0)A axbB axbCCbf xA axbBxaACaxbaxba 特征：分母是二次函数式，分子是一次函数式，通过拼凑法（分离常数）化成类型二。拼凑的技巧：从高次往低次配，先看最高次数（即二次项的系数）类型三：211()1a xb xcf xx（）（）
9、如何变形？Qzzkoy能用拼凑法利用基本不等式求最值的函数：()(0)(0)bf xaxxabx类型一：2()()()()()(0,0)A axbB axbCCbf xA axbBxaACaxbaxba 类型三：2()(0)baxcxbf xaxcabxx 特征：分母是二次函数式，分子是一次函数式，通过拼凑法（分离常数）化成类型二。（并不是长这样子的都可以）()()(0,0)eaeadf xaxbcxdbaccxdccxdc类型二：“拼凑法”方法点睛：（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形。（2）代数式的变形以拼凑出和或积为定值为目标（3）拆项、添
10、项应注意检验利用基本不等式的三大前提课堂小结课堂小结IQzzkoy110,0,1.ababab已知则的最小值1111)112224ababb aabababbabaa b =()(190,0,2.ababab已知则的最小值1 191919()()(19)(210)8222babaababababab,35,34x yxyxyxy若正实数满足则的最小值为131 13355()15xyxyyxyx1 131 312134()(34)(49)(2 3 1213)5555xyxyxyyxyx191 192()12abab知识点二：常数代换法（乘“1”变换法）Qzzkoy常数代换法（乘“1”变换法）求最
11、值的步骤：（1）根据已知条件将其变形为确定值（常数）；（2）把确定值变形为1；（3）把1的表达式与所求最值的表达式相乘或者相除进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式计算最值课堂小结课堂小结IIQzzkoy,24x yxyxyxy例1：若正实数满足，则的最小值为4224(1)421xxyxyy xxyx422(1)6662(1)32 631111xxxyxxxxxxxx,393x yxyxyxy例2：若正实数满足，则的最小值为939(3)93xxyxyyxxyx3(9)2733(3)36363633362 366633333xxxxyxxxxxxxxxx 知识点三：主元法（消元法）解：解：Q
12、zzkoy通过主元法（消元法）利用基本不等式求最值时：主元法即根据题干条件所给的两个变量之间的关系，以一个变量为主元，建立起关于主元的函数关系式，进而将多元（通常是双元）转化成单元问题处理。课堂小结课堂小结IIIQzzkoy课后作业课后作业1、用拼凑法求下列函数的最值，并指出何时取到，是最大还是最小值。2(1)()(3)3f xxxx3(2)()2(1)1f xxxx21(4)()(1)35xf xxxx223(3)()(1)1xxf xxx2、用乘“1”变换法求下列代数式的最值，并指出何时取到，是最大还是最小值。23,21,x yxyxy（1）已知正实数满足则的最值为11,5,x yxyxy（2）已知正实数满足4则的最值为,230,34x yyxxyxy（3）已知正实数满足4则的最值为3、用主元法求下列代数式的最值，并指出何时取到，是最大还是最小值。,242x yxyxyxy(1)若正实数满足，则的最值为2,6102x yxxyxy(2)若正实数满足，则的最值为Qzzkoy
