1、第一章第一章 统计案例统计案例 2.2基 本 不 等 式高一数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式学习目标1.能够推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义,并掌握不等式中“”取等号的条件；2.掌握基本不等式 ；会应 用基本不等式求一些函数的最值能够解决一些简单的实际问题3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.(0,0)2ababab 一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当 a=b 时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,bR222abab一、回归旧知1.重要不等式：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?二、探究新知1.如果 ,我们用 分
2、别代替 可得 到什么结论?0,0ab,ab,a b222abab替换后得到:22()()2abab2abab即(0,0)2abab ab即(0,0)2abab ab2.证明不等式：:2abab证要证明，abab只要证2，0abab只要证2，20ab只要证，20ab只要证，,.ab显然成立，当且仅当时 上式的等号成立分析法特别地，若a0，b0，则_2abab通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当 a=b 时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数适用范围：a0,
3、b03.重要不等式：4.你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如何用a,b表示CD?CD=_如何用a,b表示OD?OD=_2ababOD与CD的大小关系怎样?OD_CD2abab几何意义：半径不小于弦长的一半.适用范围文字叙述“=”成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,bRa0,b0注意：从不同角度认识基本不等
4、式5.重要不等式与基本不等式的比较 三、巩固新知1.例11xx若x 0，求 的最小值.0:,x 解因 为所 以1122,xxxx21,1,12.xxxx当且即仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为(1).若x1，求 的最小值.2.变式:11xx1:11111xxxx解1,10 xx因 为所 以11112(1)1311xxxx 211,1)1,213.xxxx 当且即仅当即(时，等号成立，因此所求的最小值为配凑系数分析:x+(1-2x)不是 常数.2=1为 102x(2).若 ,求 x(1-2x)的最大值.2.变式:1,:0,2xx因0所以1-2解1()2(2),2xxxx所以1-21-212(
5、2)1,228xx1-121 2,4xxx 当且即仅当即时，等号成立，111 248xxx所以当时，的最大值.各项皆为正数；和或积为定值；注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意：2abab（a0,b0 ）,当且仅当a=b取“=”号3.总结:例2：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy2 10020,xy 2()40 xy当且仅当当且仅当 时，时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都
6、为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.xy此时此时x=y=10.x=yABDC1001010 xyxxyy解，可得若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.2 P22xyxyP4.例2：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则则 2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m22xyxy得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的
7、长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m21892即即x=y=9xyABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；214S21422xySxyxyS 4.变式:如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为x(242x)m2(242)yxx令因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2当x=6时，函数y取得最小值为72222422(6)72yxxx 则(
8、012)xABCDx5.变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m2xyABDC22xy得得 1442xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x+2y=24 x=2y2422xy2xy2241226xyxxyy解，可得5.变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为
9、多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x，BC=242x，x242xABDC矩形花园的面积为x(242x)m21(242)2(242)2xxxx(其中其中2x+(24-2x)=24 是定值是定值)212242()7222xx当且仅当当且仅当2x=242x,即即x=6时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m25.例3：某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？6.解：设贮水池池底的相邻两条边的
10、边长分别为 x m，y m，水池的总造价为 z 元，根据题意，有 4800150120(2 32 3)240000720()3zxyxy 34800,3=4800mxy由容积为可得，=1600 xy因此，240000720 2zxy所以，40297600.xyz当时，上式等号成立，此时所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时，总造价最低，最低总造价为297600元.2221R,(),abaa babb那那么么当当且且仅仅当当时时,等等号号成成立立(0,0(2)2abaababb当且仅当时，等号成立。求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知 x,y 都是正数,P,S 是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式作业:课本P48 习题2.2 1、3题 四、课堂小结
