1、第三章 函数的概念与性质高一年级 客观世界中有各种各样的运动变化现象客观世界中有各种各样的运动变化现象.变量间的对应关系常常变量间的对应关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律变化规律.本章引言 随着学习的深入你会发现随着学习的深入你会发现,函数是贯穿高中数学的一条主线函数是贯穿高中数学的一条主线,是是解决数学问题的基本工具解决数学问题的基本工具;函数概念及其反映的数学思想方法已渗透函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础是进一步学习数学的重要
2、基础.同时同时,函数知识有函数知识有广泛的实际应用广泛的实际应用,并且是学习其他学科的重要基础。并且是学习其他学科的重要基础。本章我们将在初中的基础上本章我们将在初中的基础上,通过具体实例学习用集合语通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念言和对应关系刻画函数概念,通过函数的不同表示法加深对通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识函数概念的认识,学习用精确的符号语言刻画函数性质的方学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法法,并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法方法.在此基础上在此基础上,学习运用函数理解和处理问题的方法学习运
3、用函数理解和处理问题的方法.本章引言3.1.1.1 函数的概念温故知新问题1 某复兴号高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为 这里,t和S是两个变量,而且对于t的每一个确定的值,S都有唯一确定的值与之对应,所以S是t的函数.S=350t.有人说:根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350 km/h后,运行1h就前进了350 km.你认为这个说法正确吗?列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是其中,t的变化范围是数集A1=t|0t0.5,S的变化范围是数集 B1=S|0S175.对于数集A1中的任
4、一时刻t,按照对应关系,在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应.S=350t.思考问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资 w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?显然,工资 w 是一周工作天数d 的函数,其对应关系是w=350d 其中,d的变化范围是数集A2=1,2,3,4,5,6,w的变化范围是数集B2=350,700,1050,1400,1750,2100.对于数集A2中的任一个工作天数d,按照对应关系,在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应.问题
5、问题1 1和问题和问题2 2中的函数有中的函数有相同的对应相同的对应关系，你认关系，你认为它们是同为它们是同一个函数吗一个函数吗?为什么为什么?你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数?年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r(100%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57这里,y的取值范围是数集 A4=2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015);根据恩格尔系数
6、的定义可知,r的取值范围是数集B4=rl0.对于数集A4中的任意一个年份y,根据上表所给定的对应关系,在数集 B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.所以r是y的函数.年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r(100%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57 上述问题14中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数概念的本质特征吗？上述问题的共同特征有:(1)都包含两个非空数集,用A,B来表示;(2)都有一个对应关系;(3)尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于
7、数集 A 中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B 中都有唯一确定的数y和它对应.归纳总结 事实上,除解析式、图象、表格外,还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便,我们引进符号f统一表示对应关系.一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:AB为从集合A 到集合B的一个函数(function),记作其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)xA叫做函数的值域(range).定义 y=f(x),xA.显然,值域是集
8、合B的子集.在问题1与问题2中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的真子集;在问题4中,值域C4=0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857,是数集 B4=rl0r1的真子集.现学现用我们所熟悉的函数：从新认识 一次函数y=ax+b(a0)的定义域是R,值域也是R.对应关系f把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a0).例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个量之间的对应关系,可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如,正比例函数y=kx
9、(k0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.例题分析试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.解解:把把y=x(10-x)y=x(10-x)看成二次函数看成二次函数,那么它的定义域是那么它的定义域是R,R,值域是值域是B=y|y25.B=y|y25.对应关系对应关系f f把把R R中的任意一个数中的任意一个数x,x,对应到对应到B B中唯一确定的数中唯一确定的数x(10-x).x(10-x).如果如果对对x x的取值范围作出限制的取值范围作出限制,例如例如xxx x|0 x10|0 x10,那么可以构
10、建如下情境那么可以构建如下情境:长方形的周长为长方形的周长为20,20,设一边长为设一边长为x,x,面积为面积为y,y,那么那么y=x(10-x).y=x(10-x).其中其中,x,x的取的取值范围是值范围是A=xA=x|0 x10,y0 x10,y的取值范围是的取值范围是B=yB=y|0y25.0y25.对应关系对应关系f f把每把每一个长方形的边长一个长方形的边长x,x,对应到唯一确定的面积对应到唯一确定的面积x(10-x).x(10-x).试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.构建其他可用解析式 y=x(10-x)描述其中变量关系的问题情境.探究1.一
11、枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间(单位:s)的关系 h=130t-5t2,求所表示的函数的定义域与值域,并用函数的定义描述这个函数.2.2016年11月2日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)北京的温度走势如图所示.(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域;(2)根据图象,求这一天12时所对应的温度.当堂检测3812974323-33915218时11时14时17时20时23时02时05时08时2016年11月2日8时3日8时北京的温度走势图3.集合A,B与对应关系f如下图所示：f:AB是否为从集合A 到集合B的函数?如果是,那么定义域、值域与对应关系各是什么?AB1122334455用你喜欢的方式总结本节课的知识，并准备展示给大家小结：1、课本P63、练习1、2、3、4题 2、写个小作文，谈谈你对函数的认识.作业祝你学习进步祝你学习进步
