1、函数的基本性质函数的基本性质第三章3.2.1 3.2.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值学习目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解单调性、最值的作用和实际意义.核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象 新知学习实例探究 在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质.先研究二次函数 的单调性.画出图像，可以看到，当x0时，y随x的增大而减小，也就是说，任意取 ，得到 ，有 .这时我们就说函数 在区间(-，0上是单调递减的.同理，函数 在0,+)上是单调递增的.函数在(-，0上为减
2、函数，在0,+)上为增函数，但在(-,+)上不具有单调性.因为 ，所以实例探究【问题】如何判断本题中 的大小？【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到函数在(-，0上为减函数，在0,+)上为增函数，但在(-,+)上不具有单调性.【2】做差法：所以 在区间(-，0单调递减；在区间0，+)单调递增.【思考】函数 和函数 各有怎样的单调性？【解】作出两个函数的图像，由图像可知：函数 在区间(-，0单调递增；在区间0，+)单调递减.即时巩固 单调性的定义 一般地，设函数 的定义域为S，区间 ，如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调递增.特别地，若函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它
3、为增函数.如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调递减.特别地，若函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.函数具有单调性的的区间叫做单调区间.单调性的定义【探究】在函数单调性的定义中，对区间A有什么要求？（1）区间A可以是整个定义域S.如函数y=x，他在定义域上单调，A=S.（2）区间A可以是定义域S的真子集，如函数y=|x|，S=(-，+)，当A=(-，0时，函数单调递减.（3）区间A一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.单调性的定义函数单调性定义的等价形式(对于任意的 )：【1】在D上为增函数；【2】在D上为减函数；【3】在D
4、上为增函数；【4】在D上为减函数.即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；单调性定义的应用【1】判断(证明)单调性：【2】比较函数值大小：【3】已知函数值大小比较自变量：并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.单调性定义的应用【问题】书写函数的单调区间端点有何要求？函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+)，也可以写成0，+无穷大)反之，函数在区间端点处无定
5、义时，书写单调区间时就不能包括端点.单调性的应用【例题1】根据定义，研究函数 的单调性.【解】函数 的定义域是R，对于任意的 且 ，由 知 ，所以：当 时，即 ，这时，函数 是增函数；当 时，即 ，这时，函数 是减函数；且 ，有：单调性的应用【例题2】物理学中的玻意耳定律 (为正常数)告诉我们，对于一定量的 气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.【分析】根据题意，只要证明函数 是减函数即可.【证明】由 得 ；由 得又 ，所以 即所以函数 是减函数.问题得证.【观察】观察函数 的图像可以发现，二次 函数的图像上有一个最低点(0，0)，即：函数的最值(最大值和最小值)当一
6、个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值.【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有：，那么我们就称 是函数的最小值；反之，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有：，那么我们就称 是函数的最大值.【常用结论与表达方式】函数的最值(最大值和最小值)【1】若函数 在区间 上单调递增，那么函数的最小值 ，最大值【2】若函数 在区间 上单调递减，那么函数的最小值 ，最大值【3】函数的最大值和最小值可以有多个，如图：随堂小测A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值3.函数f(x)x2，x2,1的最大值、最小值分别为A.4,1 B.4,0C
7、.1,0 D.以上都不对A.10,6 B.10,8C.8,6 D.以上都不对6.若函数f(x)(4x)(x2)在区间(2a,3a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_.解析解析f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x3，课堂小结1.若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在AB上单调递减.2.对增函数的判断，对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：3.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).4.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
