1、3.2.1函数的单调性函数的单调性T()T()气温气温T T是关于时间是关于时间t的函数曲线图的函数曲线图4812162024to-2248610思考思考:气温发生了怎样的变化气温发生了怎样的变化？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？2、在区间在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的的值随着值随着 _ 画出函数画出函数f(x)=xf(x)=x的图象，观察其变化规律：的图象，观察其变化规律：1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降?(-,+)增大增大上升上升1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而
2、_2、在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _(-,00,+)增大增大减小减小画出函数画出函数f(x)=xf(x)=x2 2的图象，观察其变化规律：的图象，观察其变化规律：如何利用符号语言来描述这种变化规律如何利用符号语言来描述这种变化规律?在区间在区间(0,+)上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而增大增大 判断：判断：定义在区间定义在区间1,21,2上的函数上的函数 f(x)满足满足 f(2)(2)f(1)(1)，则函数则函数 f(x)在区间在区间1,21,2上一上一定是随着定是随着x x的增大而增大的吗的增大而增大的吗?yxO12f(1)f(2
3、)一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上单调递增上单调递增 1单调递增单调递增特别地特别地，当函数，当函数f(x)在它的在它的定义域上单调递增定义域上单调递增时，我们就称它为增函数。时，我们就称它为增函数。一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对如果对于定义域于定义域I
4、内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上单调递减上单调递减 2单调递减单调递减特别地特别地，当函数，当函数f(x)在它的在它的定义域上单调递减定义域上单调递减时，我们就称它为减函数。时，我们就称它为减函数。函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，是函数的一个的，是函数的一个局部性质局部性质；注意：例如：例如：y=xy=x在整个定义域在整个定义域(-,+)上单调递增上单调递增;y=xy=x2 2在在0,+)单调递增单调递增,在在(-,0单调递减单调递减.例
5、1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出在哪些区间是单调递增的或单调递减的？函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2,-2,1,1,3,3,5 解：解：y=f(x)在区间在区间-5,-2,1,3上是单调递减的，上是单调递减的，在区间在区间-2,1,3,5 上是单调递增的。上是单调递增的。如果函数如果函数y=f(x)在某个区间在某个区间D上是单调上是单调递增或是单调递减，那么就说函数递增或是单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.二、函数单调区间定义二
6、、函数单调区间定义 yxoy(1)f(x)=2x+1xo(2)f(x)=(x-1)2-112-1yOxxy1)3(单调递增区间单调递增区间为为(,)单调递增区间单调递增区间为为1,)单调递减区间单调递减区间为为(,1单调递减区间单调递减区间为为(,0),(0,)(4)f(x)=2无单调性无单调性Oyx练习：分别指出下列函数的单调区间。（1）单调区间的端点处“开”还是“闭”函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，在区间端点讨论单调性是毫无意义的。但是要注意，如果函数在区间端点处没有定义，则区间端点必须是“开”的，有定义则“可开可闭”（2）单调区间能否写成并集的形式单调区间注意事项：单调区间注
7、意事项：yOxxy1)3(单调递减区间单调递减区间为为(,0),(0,)不能说 的单调递减区间为(-,0)(0,+)xy1两个集合的并集相当于是进行集合的运算，结果是一个集合，而显然 函数在集合(-,0)(0,+)图象不是一直下降的，所以不能写成并集的形式，应使用“，”隔开或用“和”连接2(x)3x2,f 例、证明函数在上是增函数。证明：（作差变形）三、证明三、证明函数单调性的方法步骤函数单调性的方法步骤 取值变形作差定号下结论12121212(x)(x)(3x2)(3x2)3x3x3(xx),ff则 1212,()xxxx 设是上的任意实数，且取值1212120由 xx,得 x-x,于是 f
8、(x)-f(x)0 (定号)12()32,即 f(x)f(x)fxx在上是增函数。（判断结论）三、证明三、证明函数单调性的方法步骤函数单调性的方法步骤 1 取值取值:任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差:f(x1)f(x2)；3 变形变形:（通常是因式分解或配方等）；（通常是因式分解或配方等）；4 定号定号:（即判断差（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 结论结论:（即指出函数（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的单调性）单调性）利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：1.任取任
9、取x1，x2D，且，且x1x2；2.作差作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5.下结论下结论并给出证明并给出证明三、证明三、证明函数单调性的方法步骤函数单调性的方法步骤 证明函数证明函数f(x)在给定区间在给定区间D上单调性的一般步骤：上单调性的一般步骤：例例3.3.判断函数判断函数 在定义域在定义域 上的单调性上的单调性 0,设设x1,x2是是上任意两个实数，且上任意两个实数，且x10,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2),0因此因此 f(x)=在在(0，+)上是单调递减上是单调递减取值定号变形作差下结论x1返回例例3.3.判断函数判断函数 在定义域在定义域 上的单调性，并给出证明上的单调性，并给出证明 0,证明：函数证明：函数 在定义域在定义域 上是单调递减的，理由如下：上是单调递减的，理由如下：0,四、归纳小结四、归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断根据图象判断，再利用再利用定义证明定义证明 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域.单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论
