1、空白演示单击输入您的封面副标题第第三三章章 函数的概念与性质函数的概念与性质学习新知学习新知观察函数f(x)=x2和g(x)=|x|的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称.学习新知学习新知 思考：如何研究函数的对称性?上一节我们用符号语言精确地描述了函数图象，在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，即单调性.图形特征上升（或下降）数量特征函数值随自变量的增大而增大（或减小）符号语言 学习新知学习新知.-3-2-10123.-3-2-10123.9410149.-101210-1.-3-2-10123.9410149.-101210-1
2、.观察表格和函数图象你有什么发现？学习新知学习新知学习新知学习新知.-3-2-10123.9410149.发现：猜想：.-3-2-10123.9410149.y=f(-x)y=f(x)f(-x)=f(x)学习新知学习新知偶函数偶函数定义：设函数f(x)的定义域为D，如果xD，都有-xD，且f(-x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.变形：变形：f(-x)-f(x)0图象（几何）特征：关于y轴对称.代数特征：f(-x)f(x).函数函数f(x)=x2,x-2,2是偶函数吗？是偶函数吗？函数函数g(x)=x2,x-1,2是偶函数吗？是偶函数吗？是偶函数不是偶函数学习新知学习新知偶函数的定义域
3、关于原点对称判断函数为偶函数的前提条件可以发现，这两个函数的图象都关于原点对称.学习新知学习新知相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？思考x-3-2-10123f(x)x-3-2-1123g(x)-3-2-10123-11学习新知学习新知x-3-2-10123f(x)x-3-2-1123g(x)-3-2-10123-11请用请用符号语言符号语言表示这种特征？表示这种特征？思考？学习新知学习新知定义：设函数f(x)的定义域为D，如果xD，都有-xD，且f(-x)-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.变形：变形：f(-x)+f(x)0图象特征：
4、关于原点对称.定义域关于原点对称奇函数奇函数代数特征：f(-x)-f(x).判断函数为奇函数的前提条件函数函数f(x)=x,x-2,2是奇函数吗？是奇函数吗？是奇函数函数函数g(x)=x,x-1,3是奇函数吗？是奇函数吗？不是奇函数学习新知学习新知思考：若函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)的值是多少？因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即f(-x)+f(x)=0，当x=0时，f(0)+f(0)=0,即f(0)=0.f(x)为奇函数为奇函数且且x=0处有定义，则处有定义，则f(0)=0学习新知学习新知根据奇偶性，函数分为四类：1.奇函数2.偶函数3.既奇又偶（f(x)
5、=0，定义域关于原点对称）4.非奇非偶归纳小结归纳小结1.根据函数的图象判断函数奇偶性：偶函数 图象关于y轴对称奇函数 图象关于原点对称2.根据定义判断函数的奇偶性：（1）先求定义域，看是否关于原点对称；（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立；（3）根据定义下结论如何判断函数的奇偶性？归纳小结归纳小结例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x4（2）f(x)=x5例题讲解例题讲解-题型一判断函数的奇偶性题型一判断函数的奇偶性解：解：(1)(1)函数函数f(x)定义域为定义域为R R，xR，都有，都有-xR，且且f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函数所以
6、函数f(x)是偶函数是偶函数.（2 2）函数）函数f(x)定义域为定义域为x|x0，xx|x0，都有，都有-xx|x0，且且 ，所以函数所以函数f(x)是奇函数是奇函数.11fxxxfxxx 例1 判断下列函数的奇偶性：例题讲解例题讲解-题型一判断函数的奇偶性题型一判断函数的奇偶性（3 3）函数）函数f(x)定义域为定义域为x|x0，x0 x|x0，-x x|x0，所以函数所以函数f(x)是既不是奇函数也不是偶函数是既不是奇函数也不是偶函数.（4 4）函数）函数f(x)定义域为定义域为R R，xR，都有，都有-xR，且且f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函数所以函数f(x)既是奇函数也
7、是偶函数既是奇函数也是偶函数.例题讲解例题讲解-题型一判断函数的奇偶性题型一判断函数的奇偶性【解解】方法一：方法一：作出函数作出函数f(x)的图象如图的图象如图此函数的图象关于此函数的图象关于y轴对称，轴对称，所以函数所以函数f(x)是偶函数是偶函数方法二：方法二：f(x)的定义域是的定义域是(，0)(0，)，对对 x(，0)(0，)，都有，都有x(，0)(0，).当当x0时，时，x0，f(x)(x)1x1f(x)；当当x0时，时，x0，f(x)(x)1x1f(x).综上可知，对于综上可知，对于x(，0)(0，)，都有都有f(x)f(x)，故，故f(x)为偶函数为偶函数例题讲解例题讲解-题型一
8、判断函数的奇偶性题型一判断函数的奇偶性归纳小结归纳小结判断函数奇偶性的两种方法判断函数奇偶性的两种方法(1)定义定义法法(2)图象图象法法提醒提醒对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围代的范围代入相应的函数解析式入相应的函数解析式归纳小结归纳小结习题演练习题演练1.判断下列函数的奇偶性.（4 4）f(x)=0（5 5）f(x)=2偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数既奇又偶函数既奇又偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数归纳小结归纳小结偶偶偶偶奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶奇2 若函数yf(x)，x2，a是偶函数
9、，则a的值为()A2 B2C0 D不能确定B习题演练习题演练例题讲解例题讲解-题型二奇偶函数的图像题型二奇偶函数的图像例2(p85)：已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.例题讲解例题讲解-题型二奇偶函数的图像题型二奇偶函数的图像例例3（优化（优化P79）已知已知函数函数yf(x)是定义在是定义在R上的偶函数，且当上的偶函数，且当x0时，时，f(x)x22x.现已画出函数现已画出函数f(x)在在y轴左侧的图象，如图所示轴左侧的图象，如图所示(1)请补全函数请补全函数yf(x)的图象；的图象；【解解】由由题意作出函数图象如图所示题意作出函数图象如图所示(2)根据图象写出函数根
10、据图象写出函数yf(x)的单调递增区间的单调递增区间【解解】由图可知，函数由图可知，函数yf(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(1，0)，(1，).变式变式(变条件变条件)若将本例中的若将本例中的“偶函数偶函数”改为改为“奇函数奇函数”，其他条件不变，其他条件不变，如何解答本题？如何解答本题？解：解：(1)由题意作出函数图象如图所示由题意作出函数图象如图所示(2)由图可知，函数由图可知，函数yf(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(1，1).例题讲解例题讲解-题型二奇偶函数的图像题型二奇偶函数的图像奇偶函数的单调性：奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果奇函数在区间a,b
11、上的单调增函数，那么在区间-b,-a上就是单调增函数.偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果 偶函数在区间a,b上的单调增函数，那么在区间-b,-a上就 是单调减函数.归纳小结归纳小结3奇函数奇函数yf(x)的局部图象如图所示，则的局部图象如图所示，则f(2)与与f(4)的大小关系为的大小关系为_解析：解析：因为奇函数的图象关于原点因为奇函数的图象关于原点对称对称,所以所以f(2)f(2)，f(4)f(4)，由函数图象可知由函数图象可知f(2)f(4)，即，即f(2)f(4).答案答案：f(2)f(4)习题演练习题演练4 设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x
12、)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是_习题演练习题演练解析：解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域5,5上的图象如图，由图可知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5习题演练习题演练5若函数若函数f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，在上的偶函数，在(，0上是减函数，且上是减函数，且f(2)0，则使得则使得f(x)0的的x的取值范围是的取值范围是_解析：解析：由由f(x)在在(，0上是减函数，又偶函数的图象关于上是减函数，又偶函数的图象关于y轴对称知，轴对称知，f(x)在在0，)上是增函数上是增函数又由又由f(2)0知，函数图象过点知，函数图象过点(2，0)和和(
13、2，0).结合图象知使结合图象知使f(x)0的的x的的取值范围为取值范围为(2，2).答案答案：(2，2)【解析解析】(1)因为因为f(x)是定义域为是定义域为R的奇函数，所以的奇函数，所以f(1)f(1)(2121)1.例题讲解例题讲解-题型三利用函数的奇偶性求值题型三利用函数的奇偶性求值（2）4（3）-26利用奇偶性求值的常见类型利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：求参数值：若解析式含参数，则根据若解析式含参数，则根据f(x)f(x)或或f(x)f(x)列式，列式，比较系数利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原比较系数利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域
14、关于原点对称，利用区间的端点和为点对称，利用区间的端点和为0求参数求参数(2)求函数值：求函数值：利用利用f(x)f(x)或或f(x)f(x)求解，有时需要构造奇函数求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值或偶函数以便于求值归纳小结归纳小结6若函数若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为是偶函数，且定义域为a1，2a，则，则a_，b_习题演练习题演练7已知已知f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)x2mx1，若，若f(2)3f(1)，则，则m_习题演练习题演练例题讲解例题讲解-题型四利用函数的奇偶性求解析式题型四利用函数的奇偶性求解析式例题讲解例
15、题讲解-题型四利用函数的奇偶性求解析式题型四利用函数的奇偶性求解析式(2)若若函数函数f(x)是定义在是定义在R上的上的奇奇函数，当函数，当x0时，时，f(x)x22x1，求函数，求函数f(x)的解析式的解析式(变条件变条件)将本例中的将本例中的“奇函数奇函数”改为改为“偶偶函数函数”，其他条件不变，求当，其他条件不变，求当x0时，函数时，函数f(x)的解析式的解析式解：解：当当x0时，时，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1，因为函数因为函数f(x)是偶函数，是偶函数，所以所以f(x)f(x).所以所以f(x)x22x1.即即x0时，时，f(x)x22x1.例题讲解例题讲解-题型四利用
16、函数的奇偶性求解析式题型四利用函数的奇偶性求解析式(3)已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=3x2-x+1，试求f(x)和g(x)的表达式.例题讲解例题讲解-题型四利用函数的奇偶性求解析式题型四利用函数的奇偶性求解析式解析：因为 f(x)+g(x)=3x2-x+1，用-x 代替中的 x，得f(-x)+g(-x)=3x2+x+1，因为 f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，所以 f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，所以-f(x)+g(x)=3x2+x+1，联立得，f(x)=-x，g(x)=3x2+1利用奇偶性求函数解析式的思路利用奇偶性求函数
17、解析式的思路(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内就设在哪个区间内(2)利用已知区间的解析式代入(3)利用利用f(x)的奇偶性写出的奇偶性写出f(x)或或f(x)，从而解出，从而解出f(x).归纳小结归纳小结例题讲解例题讲解-题型五综合问题题型五综合问题比较大小的求解策略比较大小的求解策略(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小(2)若自变量若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小，然后利用单调性比较大小归纳小结归纳小结角度角度2解不等式解不等式例例7设定义在设定义在3，3上的奇函数上的奇函数f(x)在区间在区间0，3上是减函数，若上是减函数，若f(1m)f(m)，则实数，则实数m的取值范围是的取值范围是_例题讲解例题讲解-题型五综合问题题型五综合问题例题讲解例题讲解-题型五综合问题题型五综合问题若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)习题演练习题演练例题讲解例题讲解-题型五综合问题题型五综合问题
