1、函数的基本性质因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征，是认识客观规律的重要方法观察下图中各个函数图象，你能说说它们有什么样的几何特征，分别反映了相应函数的哪些性质？我们可以通过研究函数的这些变化规律来把握客观世界中事物的变化规律函数在变化过程之中，有一些是永远不变的，有一些是规律性地变化着()()yf xxA函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系一、函数的单调性()性函数值随自变量的增加而增大 或减小 的性质，叫做函的单调数1.y如图，图象在 轴左侧的从左到右分是下降部0,xyx即当时随 增大而减小22121122(,0()(
2、)xxf xxf xx 即，1212()()xxf xf x当时，有成立2()(,0f xx递减这时我们就说函数在区间上单调2()f xx先研究二次函数的单调性2.y图象在 轴右侧部的从左到右是上升分0,xyx即当时随 增大而增大221211220,)()()xxf xxf xx即，1212()()xxf xf x当时，有成立2()0,)f xx递增这时我们就说函数在区间上单调(0,)在区间上单调递减(0,)在区间上单调递增|(,0)yx函数在区间上单调递减2(,0)yx 函数在区间上单调递增212121(),()()f xIfDIxxDxxxxff xD单调递增一般地，设函数的定义域为，区间
3、如果，那么就当时，称函数在区间都有上(1)()Df xI单调区间是函数定义域 的子区间12(2),xxD是区间上的任意两个自变量取值1212()()f xf xxx0 恒成立()Df x区间 就称为函数的单调递增区间1212()()()0 xxf xf x恒成立1212)(3)(xxf xf x当时，都有(7)()f x增函数当函数在它的上单调递增时，我们就称域是定义它212121()4(),f xDxxf xf xxxD如果在区间 上那么，成立单调当时，递恒增，(6)()()f xDf xD函数在区间 上函数的图象在区间 上呈趋势单增上升调递121212()()5),f xxDxffDxxx
4、x如果在区间 上那么，当时，都有增，单调递()()(0,2)(0,2)()()f xx xRf xx xR在上单调递增，你能说区间是函数的单调递增区间吗？思考：212121(),()()f xIfDIxxDxxxxff xD单调递减一般地，设函数的定义域为，区间如果，那么就当时，称函数在区间都有上(1)()Df xI单调区间是函数定义域 的子区间12(2),xxD是区间上的任意两个自变量取值1212()()f xf xxx0 恒成立()Df x区间 就称为函数的单调递减区间1212()()()0 xxf xf x恒成立1212)(3)(xxf xf x当时，都有(7)()f x减函数当函数在它
5、的上单调递减时，我们就称域是定义它212121()4(),f xDxxf xf xxxD如果在区间 上那么，成立单调当时，递恒减，(6)()()f xDf xD函数在区间 上函数的图象在区间 上呈趋势单减下降调递121212()()5),f xxDxffDxxxx如果在区间 上那么，当时，都有减，单调递2()(1,2)f xx函数在区间上是单调函数吗？思考：(8)()()()()()f xDf xDf xD当函数在区间上单调递数减 或者单调递增 时，我们就称函数在区间上具有 严格的 单调性,函数在区间是单调函上1.()(0)f xkxb k例 研究函数的单调性()f xkxb是减函数此时，12
6、()00kk xx当时，12120 xxxx()f xkxb是增函数此时，()(0)f xkxb kR解：函数的定义域是12()()f xf x即12()00kk xx当时，1212()()()()f xf xkxbkxb则1212,xxRxx，且12()k xx12()()0f xf x12()()f xf x即12()()0f xf x2.()kpkVVp例 物理学中的玻意耳定律为正常数 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强 将增大。试对此用函数的单调性证明Vp即当体积减小时，压强 将增大0k 210VV120VV2112VVkVV1212,(0,)VVVV证明：，且(0,)k
7、pVV函数，是减函数12pp即12,(0,)VV 12VV120pp1212kkppVV则1yxx例3.讨论函数的单调性(1,)y函数 在上递增121212()(1)xxx xx x12xx|0 x xRx解：函数的定义域为，211212xxxxx x121211xxxx12121211()yyxxxx12121()(1)xxx x12yy120 x x 12(1)1xx当时1210 x x ，120 xx，1yxx例3.讨论函数的单调性(0,1)y函数 在上递减(1,0)y函数 在递减(,1)y 函数 在上递增12yy120 x x 12(2)01xx当时12yy120 x x 12(3)1
8、0 xx 当时12yy120 x x 12(4)1xx 当时1210 x x ，120 xx，120 xx，1210 x x ，1210 x x ，120 xx，(0)ayxxx函数的单调性探究：(0,)y函数 在递增121212()()xxx xax x120 x x 1212()()aaxxxx121212()()aayyxxxx120 xx 解：1212()(1)axxx x211212()()a xxxxx x(1)0a 当时12yy120 xx120 x xa，120 xx，(0)ayxxx函数的单调性探究：(0,)ya函数 在递减12yy120 x x 120 xxa若(2)0a
9、当时(+)ya函数 在，递增12yy120 x x 12axx若120 x xa，120 xx则，120 x xa，120 xx则，练习：由此可见，并非是工人越多，生产效率越高1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低。当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，解：在一定范围内，生产效率随工人数的增加而提高，2.()32f xx根据定义证明函数是增函数()32f xx函数是增函数12()()f xf x即12()()0f xf x123()xx1212xxRxx证明：，,且12xx120 xx1212()()32(32)f
10、 xf xxx则23.()(,0)f xx 证明函数在区间上单调递增1212(,0)xxxx 证明：，,且12122()xxx x12()()0f xf x12()()f xf x即2()(,0)f xx 函数在区间上单调递增120 x x 120 xx120,xx121222()()f xf xxx 则(1)(2)kyIxI4.画出反比例函数的图象求这个函数的定义域它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论0(,0)(0,)kkyx当时，在区间和上单调递增120 x x 且(2)0(,0)(0,)kkyx当时，在区间和上单调递减(1)(,0)(0,)I 解：定义域21121212()()(
11、)k xxkkf xf xxxx x则1212(,0),xxxx，且0(1)0k 当时，210 xx，120 xx(0,)kyx在区间上单调递减12()()0f xf x120 x x 且2112()k xxx x1212(0),xxxx，且(,0)kyx在区间上单调递减12()()f xf x12()()0f xf x12()()f xf x0(2)0(,0)(0,)kkyx同理可证：当时，在区间和上单调递增210 xx，120 xx1212()()kkf xf xxx()二、函数的最大 小 值()()f xf x当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数有最小值2()()f xxf x 你能
12、以函数为例说明函数的最大值的含义吗？思考：()(0)xRf xf 即，都有2()(0,0)f xx二次函数的图象上有一个最低点00()(1)()(2)()()yf xIMxIf xMxIf xMMyf x 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：，都有，使得那么，我们称是函数的最大值00()(1)()(2)()()yf xIMxIf xMxIf xMMyf x 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：，都有，使得那么，我们称是函数的最小值1.529sm烟花冲出后是它爆炸的最佳时刻，这时距地面的高度约为24(4.9)18 14.7294(4.9)h 14.71.52(4.9)t 当时，函
13、数取到最大值2()4.914.718h ttt 解：画出函数的图象2()(2,6)1f xxx例5.已知函数，求函数的最大值和最小值60.4x 在时取得最小值12()()f xf x即12()()0f xf x12(1)(1)0 xx1226xx21122()(1)(1)xxxx21122(1)(1)(1)(1)xxxx121222()()11f xf xxx则12122,6x xxx解：，且22x 在时取得最大值2()2,61f xx函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值2()2,61f xx函数在区间上单调递减210 xx，1()(2,6)f xxx已知函数，求函数的最大值和最小值1
14、66x 在时取得最小值12()()f xf x即12()()0f xf x120 x x 1226xx2112xxx x121211()()f xf xxx则12122,6x xxx解：，且122x 在时取得最大值1()2,6f xx函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值1()2,6f xx函数在区间上单调递减练习：210 xx，三、函数的奇偶性2()()2|f xxg xx 画出并观察函数和图象，你能发现这两个函数图象有什么共同的几何特征？y可以发现，这两个函数的图象关于 轴对称y类比函数的单调性，你能用符号语言(包括代数式子：方程、等式、不等式)精确地描述“函数图象关于对称”这一特征
15、？轴探究:不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如表当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等2()f xx此时称函数为偶函数322101939410140121011()2|g xx 此时称函数为偶函数22()()()xRfxxxf x ，()2|2|()xRgxxxg x ，()()()()f xIxIxIfxf xf x 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数(3)y图象关于 轴对称(2)()()(|)fxf xfx恒成立(1)定义域关于原点对称(4)(,)(,)(0)(,)(,)(0)a bbaaba bbaab相反如果某一偶函数在这两个区间和上都是
16、单调函数那么此偶函数在这两个区间和上的单调性类比函数的单调性，你能用符号语言(包括代数式子：方程、等式、不等式)精确地描述“函数图象关于对称”这一特征？原点探究1()()f xxg xx观察函数和图象，你能发现这两个函数图象有什么共同的几何特征？探究可以发现，这两个函数的图象关于原点 对称不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如表当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数32131013212113121()f xx此时称函数为奇函数1()g xx此时称函数为奇函数()()xRfxxf x ，1()()xRgxg xx ，()()()()f xIxIxIfxf xf x
17、一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且那么函数就叫做奇函数(3)图象关于原点对称(2)()()fxf x 恒成立(1)定义域关于原点对称(4)(,)(,)(0)(,)(,)(0)a bbaaba bbaab相同如果某一奇函数在这两个区间和上都是单调函数那么此奇函数在这两个区间和上的单调性4526.11(1)()(2)()(3)()(4)()f xxf xxf xxf xxx例 判断下列函数的奇偶性4()f xx函数是偶函数5()f xx函数是奇函数()f x,xRxR 都有，且4(1)()f xxR解：函数的定义域为()f x,xRxR 都有，且5(2)()f xxR函数的定义域为4x5x
18、4()()fxx 5()()fxx 2116.(3)()(4)()f xxf xxx例 判断下列函数的奇偶性1()f xxx函数是奇函数21()f xx函数是偶函数()f x|0,|0 xx xxx x 都有，且1(3)()|0f xxx xx函数的定义域为()f x|0,|0 xx xxx x 都有，且21(4)()|0f xx xx函数的定义域为1()xx 21x1()fxxx 21()()fxxmin()xmf xn 则在处取得最小值max()xmf xn 则在处取得最大值()(,)()f xba则在区间上也单调递增 或递减()f x已知函数是奇函数01.()(,)(0)()f xa b
19、ab若在区间上单调递增 或递减0min2.()()f xxmf xn若函数在处取得最小值0max3.()()f xxmf xn若函数在处取得最大值()f x已知函数是偶函数()(,)()f xba则在区间上单调递减 或递增min()xmf xn 则在处也取得最小值max()xmf xn 则在处也取得最大值()()f xyy如果函数是偶函数 或奇函数那么根据其对称性，只要我们研究函数在 轴右边时的单调性和最值，就可以得到函数在 轴左边时的单调性和最值01.()(,)(0)()f xa bab若在区间上单调递增 或递减0min2.()()f xxmf xn若函数在处取得最小值0max3.()()f xxmf xn若函数在处取得最大值()0(2)f xx 探究与发现()0(11)xx 例：1.既是奇函数又是偶函数的函数(3)x图象只落在 轴上，且关于原点对称(2)定义域关于原点对称(1)0函数值恒为既是奇函数又是偶函数的函数具有以下特征：()2|2g xxx()3h xx()(12)g xxx 例：2.既不是奇函数也不是偶函数的函数,()(),()()DxDfxf xxDfxf x 第二类：定义域关于原点对称，但不恒成立而且不恒成立既不是奇函数也不是偶函数的函数有以下两类第一类：定义域不关于原点对称y其图象既不关于 轴对称，也不关于原点对称谢谢谢谢观看观看
