1、3.23.2函数的基本性质函数的基本性质3.2.23.2.2 奇偶性奇偶性课程目标课程目标1 1、理解函数的奇偶性及其几何意义；、理解函数的奇偶性及其几何意义；2 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3 3、学会判断函数的奇偶性、学会判断函数的奇偶性数学学科素养数学学科素养1.1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；2.2.逻辑推理：证明函数奇偶性；逻辑推理：证明函数奇偶性；3.3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；数学运算：运用函数奇偶性求参数；4.4.数据分析：利用图像求奇偶函数；数据分析：利用图像求奇偶函数；
2、5.5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。利用奇偶性解决实际问题。函数图象在定义域的某个区间上函数图象在定义域的某个区间上“上升上升”或或“下降下降”的性质的性质复习回顾复习回顾函数单调性的定义函数单调性的定义 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和和 的图象，并观察这两个函数图象，你能发现这两的图象，并观察这两个函数图象，你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？个函数图像有什么共同特征吗？2xy 2yxxyo12345-1123-1-2-3问题问题1 1y图像关于图像关
3、于 轴对称轴对称探究探究 类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函函数数图像关于图像关于 轴对称轴对称”这一特征吗？这一特征吗？y函数函数 的图象，的图象，2xy xyo12345-1123-1-2-3x-3-2-1 0123f(x)=x29 4 1 0 1 4 9f(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)=-xx(x.f(x)(-x,f(-x)f(-x)f(x)=问题问题1 1可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.函数函数 的图象，的图象，2xy x-3-2-1 0123f(x)=x29 4 1 0 1 4 9问题问题
4、1 1思考思考 我们发现表格中列出的点具有上述性质，那么表格中没我们发现表格中列出的点具有上述性质，那么表格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢？有出现的点是否也具有相同的性质呢？结论结论 事实上，事实上，Rx 22fxxxf x 具备这样特征的函数，我们称为具备这样特征的函数，我们称为偶函数偶函数.请仿照这个过程说明函数请仿照这个过程说明函数 也是偶函数。也是偶函数。2yxf(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)=f(-x)f(x)=问题问题1 1xyo12345-1123-1-2-3x-3-2-10123f(x)=2-|x|-1 0 1 2 1 0 -1 一般地，设函数一般地
5、，设函数 的定义域为的定义域为 ，如果，如果 ，都，都有有 ，且，且 ，那么函数，那么函数 就叫做偶函数就叫做偶函数 .f xxI xI fxf x f x归纳总结归纳总结I偶函数定义偶函数定义偶函数偶函数1 1、如何理解定义中的、如何理解定义中的“，都，都有有 ”？xI xI 偶函数的定义域必须关于原点对称偶函数的定义域必须关于原点对称.显然不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体性质，显然不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性.2 2、定义中、定义中“”“”可以删去吗？为什么？可以删去吗？为什么
6、？偶函数偶函数思考思考:定义中定义中“任意一个任意一个x,都有都有f(-(-x)=)=f(x)成立成立”说明了什么？说明了什么？2 2、f(-(-x)与与f(x)都有意义都有意义，1 1、说明、说明-x、x 必须同时属于定义域必须同时属于定义域，偶函数偶函数思考思考 对于定义在对于定义在R R上的函数上的函数 ，若，若 ，那么这，那么这个函数是偶函数吗？个函数是偶函数吗？【答答】不一定不一定.因为因为 并不能保证所有的并不能保证所有的 ，所，所 以不一定是偶函数以不一定是偶函数.fxf x偶函数偶函数偶函数的图象偶函数的图象关于关于y y轴对称轴对称.偶函数的定义域偶函数的定义域关于原点对称关
7、于原点对称.Oa-ab-b1 12 2 0fxfx3 3、是偶函数是偶函数 ，且，且 fx,xIxI 练习练习 判断下列函数是否为偶函数。判断下列函数是否为偶函数。22(1)(),1,1.(2)(),1,1)f xxxf xxx 是是不是不是常见的偶函数有常见的偶函数有 ，等等等等偶函数偶函数 观察函数观察函数 和和 的图象，并完成下面的的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？xxf)(xxf1)(图象关于原点对称图象关于原点对称问题问题2 2探究探究 类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述类比函数单调性
8、，你能用符号语言精确地描述“函函数图像关于原点成中心对称数图像关于原点成中心对称”这一特征吗？这一特征吗？111ff 222ff 333ffx-xxxf)(x-3-2-10123f(x)-3-2-10123()()fxf x()fx()f x问题问题2 2函数函数当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数。同样地，表格中没有出现的其它点也符合上述规律同样地，表格中没有出现的其它点也符合上述规律,例如例如 ,具备这样特征的函数，我们称为奇函数具备这样特征的函数，我们称为奇函数 .1.31.3ff xxf)(问题问题2 2函数函数 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为 ，
9、如果，如果 ，都，都有有 ，且，且 ，那么函数，那么函数 就叫做奇函数就叫做奇函数 .f xIxI xI fxf x f x归纳总结归纳总结奇函数定义奇函数定义奇函数奇函数1 1、如何理解定义中的、如何理解定义中的“，都，都有有 ”？xI xI 奇函数的定义域必须关于原点对称奇函数的定义域必须关于原点对称.显然不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体显然不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性这样的特性.2 2、定义中、定义中“”“”可以删去吗？为什么？可以删去吗？为什么？奇函数奇函数思考思考:定义中定义
10、中“任意一个任意一个x,都有都有f(-(-x)=-)=-f(x)成立成立”说明了什么？说明了什么？2 2、f(-(-x)与与f(x)都有意义都有意义，1 1、说明、说明-x、x 必须同时属于定义域必须同时属于定义域，奇函数奇函数思考思考 对于定义在对于定义在R R上的函数上的函数 ，若，若 ，那么这，那么这个函数是个函数是奇奇函数吗？函数吗？【答答】不一定不一定.因为因为 并不能保证所有的并不能保证所有的 ，所，所 以不一定是奇函数以不一定是奇函数.fxf x 奇函数奇函数 1 1、奇函数的奇函数的图象关于原点对称图象关于原点对称，反之，一个函数的图象，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它
11、是奇函数关于原点对称，那么它是奇函数2 2、奇函数的定义域关于原点对称、奇函数的定义域关于原点对称3 3、是奇函数是奇函数 ，且，且 fx,xIxI 0fxfx4 4、已知函数、已知函数f(x)f(x)是奇函数，且是奇函数，且f(0)f(0)有定义，则有定义，则f(0)=0f(0)=0。奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：设设 ，的定义域分别是的定义域分别是A A和和B B，在公共定义域上有：，在公共定义域上有：偶偶奇奇偶偶奇奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶奇奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇偶函数的单调性：奇偶函数的单调性：奇函数：奇函数在奇函数：奇函数
12、在y y轴左右两边的单调性是完全相同的轴左右两边的单调性是完全相同的.如果奇函数在区间如果奇函数在区间a,ba,b上的单调增函数，上的单调增函数，那么在区间那么在区间-a,-b-a,-b上就是单调增函数上就是单调增函数.偶函数：偶函数在偶函数：偶函数在y y轴左右两边的单调性是完全相反的轴左右两边的单调性是完全相反的.如果偶函数在区间如果偶函数在区间a,ba,b上的单调增函数，上的单调增函数，那么在区间那么在区间-a,-b-a,-b上就是单调减函数上就是单调减函数.判断下列函数的奇偶性：（1）；4fxx解解：函数 定义域为 ，都有 ，且 ，所以函数 是偶函数.fxRRx Rx 44fxxxfx
13、 fx例题例题判断下列函数的奇偶性：（1）；4fxx例题例题显然不是，此时函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以函数 不具有奇偶性.g x0,g x如果函数改为 ，那么 还是偶函数吗？变式变式 40g xxx g x根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，步骤如下：第一步第一步，求出函数的定义域.第二步第二步，判断定义域是否关于原点对称，若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步.归纳总结归纳总结根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，步骤如下：归纳总结归纳总结第三步第三步，（为定义域），计算 ，若 ，则 为偶函数；若 ，则 为奇函数；若 且 ，则 既不是奇函数也不是偶函
14、数；若 且 ，则 既是奇函数也是偶函数.xI Ifx fxfx fxfx fx fx fxfx fxfx fx fxfx fxfx fx根据奇（偶）函数的图像判断一个函数的奇偶性，步骤如下：归纳总结归纳总结归纳总结归纳总结特别地，特别地，证明一个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中任意一个证明一个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中任意一个自变量都成立，自变量都成立，但证明函数不是奇函数或偶函数只需要举出一个反例即可但证明函数不是奇函数或偶函数只需要举出一个反例即可，证明证明f(-f(-x x0 0)f(xf(x0 0)即可即可.（2）；1fxxx（3）；fxx（4）.0fx 判断下列函数的奇偶性
15、：（1）；4fxx例题例题解解 函数 定义域为 ，都有 ，且 ，所以函数 是奇函数.0 x x 0 xx x 11fxxxfxxx fx0 xx x fx（2）；（2）；1fxxx（3）；fxx（4）.0fx 判断下列函数的奇偶性：（1）；4fxx例题例题解解 函数 定义域为 ，所以函数 是既不是奇函数也不是偶函数.fx0 x x 040 xx x fx040 xx x （3）；（2）；1fxxx（3）；fxx（4）.0fx 判断下列函数的奇偶性：（1）；4fxx例题例题解解 函数 定义域为 ，都有 ，且 ，所以函数 既是奇函数也是偶函数.fxRRx Rx 0fxfxfx fx（4）.（1 1
16、）判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性.3fxxx解：函数解：函数 定义域为定义域为 ，都有，都有 ，且且 ，所以函数所以函数 是奇函数是奇函数.fxRRx Rx 33fxxxxxfx fx练习练习关于原点对称（2 2）下图是函数下图是函数 图象的一部分，你能根据图象的一部分，你能根据 函数函数 的奇偶性画出它在的奇偶性画出它在 轴左侧的图象吗？轴左侧的图象吗？3fxxx fxy练习练习相同点：定义域关于原点对称；都是函数的整体性质.奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？不同点：当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数；偶函数
17、的图象关于 轴对称，而奇函数的图象关 于原点对称.小结小结y1函函数数yf(x)，x1，a(a1)是是奇奇函函数数，则则a等等于于 ()A1 B0 C1 D无无法法确确定定 2下下列列函函数数是是偶偶函函数数的的是是()Ayx By2x23 Cy1x Dyx2，x0,1 3已已知知函函数数f(x)是是定定义义域域为为R的的偶偶函函数数，若若f(2)4，则则f(2)_.当堂训练当堂训练5、已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1,(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-212+31+1)=-2.
18、(2)当x0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.解题方法解题方法（求函数解析式的注意事项）1.已知当x(a,b)时,f(x)=(x),求当x(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-(-x);若f(x)为偶函数,则当x(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.若 f
19、(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x22x3，求f(x)的解析式 6 6、(1)(1)若函数若函数f(x)f(x)axax2 2bxbx3a3ab b是偶函数，定义域为是偶函数，定义域为a a1,2a1,2a，则则a a_，b b_；(2)(2)已知函数已知函数f(x)f(x)axax2 22x2x是奇函数，则实数是奇函数，则实数a a_._.解题方法解题方法（利用奇偶性求参数）1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为a,b,则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参；2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f
20、(1)-f(-1)=0等求参.7、设设函函数数 x1 xa x为为奇奇函函数数，则则a_.8已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A13 B.13 C12 D.12 9 若奇函数f(x)在6，2上是减函数，且最小值是 1，则它在2,6上是()A增函数且最小值是1 B增函数且最大值是1 C减函数且最大值是1 D减函数且最小值是1 10如图 1-3-4，已知偶函数f(x)的定义域为x|x0，xR，且f(3)0，则不等式f(x)0 的解集为_ 图 1-3-4 11设函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)2x2x.(1)求f(x)的表达式；(2)画出f(x)的图象
