1、4.44.4对数函数对数函数学习目标学习目标1.1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习,培养数学抽象、直培养数学抽象、直观想象素养观想象素养.2.2.通过对数函数图象和性质的应用通过对数函数图象和性质的应用,培养逻辑推理、数学运算素养培养逻辑推理、数学运算素养.第第1 1课时对数函数的概念、图象及性质课时对数函数的概念、图象及性质知识梳理知识梳理自主探究自主探究师生互动师生互动合作探究合作探究知识梳理知识梳理自主探究自主探究知识探究知识探究1.1.对数函数的概念对数函数的概念一般地一般地,函数函数 叫做对数函数叫做对数函数,其中其中x x是
2、自变量是自变量,定定义域是义域是 .y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a a1)1)(0,+)(0,+)2.2.对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:定义定义y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a a1)1)底数底数a1a10a10a0,ax(a0,a1)1)是对数函数是对数函数,由此得由此得到到y=ln xy=ln x是对数函数是对数函数.故选故选C.C.答案答案:(1)C(1)C(2)(2)若函数若函数f(x)=logf(x)=loga ax+(
3、ax+(a2 2-4a-5)-4a-5)是对数函数是对数函数,则实数则实数a=a=.答案答案:(2)5(2)5方法总结方法总结判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如判断一个函数是对数函数必须是形如y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a a1)1)的形式的形式,即必即必须满足以下条件须满足以下条件:(1)(1)系数为系数为1.1.(2)(2)底数为大于底数为大于0,0,且不等于且不等于1 1的常数的常数.(3)(3)对数的真数仅有自变量对数的真数仅有自变量x.x.针对训练针对训练1 1:(1):(1)若函数若函数y=logy
4、=loga ax+ax+a2 2-3a+2-3a+2为对数函数为对数函数,则则a a等于等于()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4答案答案:(1)B(1)B(2)(2)已知对数函数的图象过点已知对数函数的图象过点M(9,2),M(9,2),则此对数函数的解析式为则此对数函数的解析式为.解析解析:(2)(2)设函数设函数f(x)=logf(x)=loga ax(x0,a0,x(x0,a0,且且a a1),1),因为对数函数的图象过点因为对数函数的图象过点M(9,2),M(9,2),所以所以2=log2=loga a9,9,所以所以a a2 2=9,=9,又又a0,a0,解得解得a=
5、3.a=3.所以此对数函数的解析式为所以此对数函数的解析式为y=logy=log3 3x.x.答案答案:(2)y=log(2)y=log3 3x x探究点二探究点二对数型函数的定义域对数型函数的定义域 例例2 2 求下列函数的定义域求下列函数的定义域.(1)y=log(1)y=loga a(3-x)+log(3-x)+loga a(3+x)(a0,(3+x)(a0,且且a a1);1);方法总结方法总结(1)(1)求解含对数式的函数定义域求解含对数式的函数定义域,若自变量在底数和真数上若自变量在底数和真数上,要保证真数要保证真数大于大于0,0,底数大于底数大于0,0,且不等于且不等于1.1.(
6、2)(2)对数函数对数函数y=logy=loga ax x的定义域为的定义域为(0,+(0,+).).(4)(4)形如形如y=f(logy=f(loga ax)x)的复合函数在求定义域时的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有必须保证每一部分都要有意义意义.对数函数的图象对数函数的图象探究点三探究点三类型一对数型函数图象过定点问题类型一对数型函数图象过定点问题 例例3 3(1)(1)函数函数y=logy=loga a(x-3)+1(a0,(x-3)+1(a0,且且a a1)1)的图象恒过定点的图象恒过定点P,P,则点则点P P的坐的坐标是标是()A.(4,1)A.(4,1)B.(3,1)
7、B.(3,1)C.(4,0)C.(4,0)D.(3,0)D.(3,0)解析解析:(1)(1)令令x-3=1,x-3=1,求得求得x=4,y=1,x=4,y=1,可得它的图象恒过定点可得它的图象恒过定点P(4,1).P(4,1).故选故选A.A.答案答案:(1)A(1)A方法总结方法总结涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若若f(x)=klogf(x)=kloga ag(x)+g(x)+b(a0,b(a0,且且a a1),1),且且g(m)=1,g(m)=1,则则f(x)f(x)图象过定点图象过定点P(m,b).P(m,b).方法总结
8、方法总结根据对数性质根据对数性质logloga a1=0,log1=0,loga aa=1(a0,a=1(a0,且且a=1)a=1)可知可知,若若logloga ax=0,x=0,则必有则必有x=1,x=1,若若logloga ax=1,x=1,则必有则必有x=a.x=a.针对训练针对训练3 3:(1):(1)(多选题多选题)下列四个函数中过相同定点的函数有下列四个函数中过相同定点的函数有()A.y=ax+2-aA.y=ax+2-aB.y=xB.y=xa-2a-2+1+1C.y=aC.y=ax-3x-3+1(a0,a+1(a0,a1)1)D.y=logD.y=loga a(2-x)+1(a0,
9、a(2-x)+1(a0,a1)1)解析解析:(1)(1)由于函数由于函数y=ax+2-a=a(x-1)+2,y=ax+2-a=a(x-1)+2,令令x=1,x=1,可得可得y=2,y=2,故该函数经过定点故该函数经过定点(1,2),(1,2),由于函数由于函数y=xy=xa-2a-2+1,+1,令令x=1,x=1,可得可得y=2,y=2,故该函数经过定点故该函数经过定点(1,2),(1,2),由于由于y=ay=ax-3x-3+1(a0,a+1(a0,a1),1),令令x-3=0,x-3=0,求得求得x=3,y=2,x=3,y=2,故该函数经过定点故该函数经过定点(3,2),(3,2),由于由于
10、y=logy=loga a(2-x)+1(a0,a(2-x)+1(a0,a1),1),令令2-x=1,2-x=1,求得求得x=1,y=1,x=1,y=1,故该函数经过定点故该函数经过定点(1,1).(1,1).故选故选AB.AB.答案答案:(1)AB(1)AB(2)(2)已知函数已知函数f(x)=logf(x)=loga a(x-m)+n(x-m)+n的图象恒过定点的图象恒过定点(3,5),(3,5),则则lg m+lg nlg m+lg n的值是的值是.解析解析:(2)(2)函数函数f(x)=logf(x)=loga a(x-m)+n(x-m)+n的图象恒过定点的图象恒过定点(1+m,n),
11、(1+m,n),又函数又函数f(x)f(x)的图象恒过定点的图象恒过定点(3,5),(3,5),故故1+m=3,n=5,1+m=3,n=5,即即m=2,n=5,m=2,n=5,所以所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.答案答案:(2)1(2)1(3)(3)函数函数y=logy=loga a(2x-1)+3(a0,(2x-1)+3(a0,且且a a1)1)的图象恒过定点的图象恒过定点P,P,则点则点P P的坐标是的坐标是.解析解析:(3)(3)令令2x-1=1,2x-1=1,得得x=1,y=3,x=1,y=3,所以函数
12、的图象恒过定点所以函数的图象恒过定点P(1,3).P(1,3).答案答案:(3)(1,3)(3)(1,3)类型二对数型函数图象的识别类型二对数型函数图象的识别 例例4 4 函数函数y=-lg|x+1|y=-lg|x+1|的大致图象为的大致图象为()方法总结方法总结对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0 0确定函数的确定函数的定义域定义域,注意利用对数型函数图象所过定点注意利用对数型函数图象所过定点,同时结合单调性进行判断同时结合单调性进行判断,也可以利用函数图象的变换进行判断也可以利用函数图象的变换进行判断.针对训练针对训练4 4
13、:(1):(1)(2021(2021河南开封期末河南开封期末)函数函数y=|lg(x+1)|y=|lg(x+1)|的图象是的图象是()解析解析:(1)(1)函数的定义域为函数的定义域为(-1,+(-1,+),),图象与图象与x x轴的交点是轴的交点是(0,0).(0,0).故选故选A.A.(2)(2)如图如图,中不属于函数中不属于函数y=logy=log2 2x,y=logx,y=log0.50.5x,y=-logx,y=-log3 3x x的一个是的一个是()解析解析:(2)(2)根据函数的图象根据函数的图象,函数函数y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a a1)1)的底数决定
14、函数的单调性的底数决定函数的单调性,当底数当底数a1a1时时,函数单调递增函数单调递增,当当0a10a1,x1a1,x1时时,满足底数越大函数的图象越靠近满足底数越大函数的图象越靠近x x轴轴,故对应函数故对应函数y=logy=log2 2x x的图象的图象,根据对称性根据对称性,对应函数对应函数y=logy=log0.50.5x x的图象的图象,对应函数对应函数y=-logy=-log3 3x x的图象的图象,与函数的图象相矛盾与函数的图象相矛盾,故不符合题意故不符合题意.故选故选B.B.A.A.B.B.C.C.D.D.类型三根据图象求解析式中的参数的范围类型三根据图象求解析式中的参数的范围
15、 例例5 5 已知函数已知函数y=logy=loga a(x+c)(a,c(x+c)(a,c为常数为常数.其中其中a0,aa0,a1)1)的图象如图的图象如图,则下列结论则下列结论成立的是成立的是()A.a1,c1A.a1,c1B.a1,0c1,0c1C.0a1C.0a1D.0a1,0c1D.0a1,0c1解析解析:因为函数单调递减因为函数单调递减,所以所以0a1.0a1.当当x=1x=1时时,log,loga a(x+c)=log(x+c)=loga a(1+c)0,(1+c)1,1+c1,所以所以c0,c0,当当x=0 x=0时时,log,loga a(x+c)=log(x+c)=loga
16、 ac0,c0,所以所以0c1.0c1.故选故选D.D.方法总结方法总结根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的,也是主要也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式.针对训练针对训练5 5:(1):(1)如图如图,若若C C1 1,C,C2 2分别为函数分别为函数y=logy=loga ax x和和y=logy=logb bx x的图象的图象,则则()A.0ab1A.0ab1B.0ba1B.0bab1C.ab1D.ba1D.ba1解析解析
17、:(1)(1)由对数的性质由对数的性质logloga aa=1(a0,a=1(a0,且且a a1),1),画一条直线画一条直线y=1,y=1,如图所示如图所示,由图可知由图可知0ba1.0ba0,a-b+1)(a0,a1)1)的图象如图所示的图象如图所示,则则a,ba,b满足的关系是满足的关系是()学海拾贝学海拾贝典例探究典例探究:如图如图,直线直线x=tx=t与函数与函数f(x)=logf(x)=log3 3x x和和g(x)=logg(x)=log3 3x-1x-1的图象分别交的图象分别交于点于点A,B,A,B,若函数若函数y=f(x)y=f(x)的图象上存在一点的图象上存在一点C,C,使
18、得使得ABCABC为等边三角形为等边三角形,则则t t的值为的值为()当堂检测当堂检测C C1.1.函数函数f(x)=logf(x)=log2 2(3+2x-x(3+2x-x2 2)的定义域为的定义域为()A.-1,3A.-1,3B.(-B.(-,-1),-1)(3,+(3,+)C.(-1,3)C.(-1,3)D.(-D.(-,-1),-1)3,+3,+)解析解析:由由3+2x-x3+2x-x2 20,0,得得-1x3,-1x1,b1,a1,b1,函数函数y=logy=logc c x,x,y=logy=logd d x x的底数的底数0c1,0d1.0c1,0da1dc0.ba1dc0.答案
19、答案:ba1dcba1dc备用例题备用例题 例例2 2 已知函数已知函数y=logy=log3 3x x的图象上有两点的图象上有两点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),且线段且线段ABAB的中的中点在点在x x轴上轴上,则则x x1 1xx2 2=.解析解析:因为函数因为函数y=logy=log3 3x x的图象上有两点的图象上有两点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),所以所以y y1 1=log=log3 3x x1 1,y,y2 2=log=log3 3x x2 2.根据中点坐标公式得根据中点坐标公式得
20、y y1 1+y+y2 2=0,=0,即即loglog3 3x x1 1+log+log3 3x x2 2=0,=0,所以所以loglog3 3(x(x1 1x x2 2)=0,x)=0,x1 1xx2 2=1.=1.答案答案:1 1 例例3 3(1)(1)求函数求函数f(x)=logf(x)=loga a(a(ax x-1)(a0,-1)(a0,且且a a1)1)的定义域的定义域;解解:(1)(1)由由a ax x-10,-10,即即a ax x1,1,当当a1a1时时,f(x),f(x)的定义域为的定义域为(0,+(0,+),),当当0a10a1b0).)(a1b0).(1)(1)求求y=
21、f(x)y=f(x)的定义域的定义域;例例4 4 已知函数已知函数f(x)=lg(af(x)=lg(ax x-b-bx x)(a1b0).)(a1b0).(2)(2)证明证明f(x)f(x)是增函数是增函数;例例4 4 已知函数已知函数f(x)=lg(af(x)=lg(ax x-b-bx x)(a1b0).)(a1b0).(3)(3)当当a,ba,b满足什么条件时满足什么条件时,f(x),f(x)在在(1,+(1,+)上恒取正值上恒取正值?(3)(3)解解:因为因为f(x)f(x)在在(1,+(1,+)上单调递增上单调递增,所以命题所以命题f(x)f(x)恰在恰在(1,+(1,+)取正值等价于取正值等价于f(1)f(1)0,0,所以所以a-ba-b1.1.
