1、5.2.1 三角函数的概念备课人：吴永剑颍上第二中学高一备课组 一、创设情境，引入新课一、创设情境，引入新课日出日落，潮汐变化，转动的摩天轮上游客仓P、转动的时针针尖M，行驶中的汽车轮子上的辐条端点N的运动等，这些都是实际生活中“周而复始现象，怎样用数学的眼光来看待它们呢？MNPO抽象为如何刻画点P的位置变化情况呢？终边始边从几何角度看：随着角 POA的变化，动点P在半径为r的圆上作圆周运动。那么如何从函数的角度来刻画它呢？那么如何从函数的角度来刻画它呢？前面我们已经研究了函数的一般概念、幂函数、指数函数和对数函数，基本按照“背景概念图象与性质应用”路径进行探究。今天我们继续按照研究函数的一般
2、套路来展开探究。师：我们知道，函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型。如：直线运动-一次函数；抛物运动-二次函数；指数爆炸-指数函数；对数增长-对数函数；那么圆周运动-用什么函数模型刻画呢？提出问题，引导探索提出问题，引导探索 根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究这个问题.如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y).射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP.如图，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，现在的任务是：建立一个数学函数模型，刻画点建立一个数学函数模型，刻画点P的位置变化情况的位置
3、变化情况.引导探索，形成概念引导探索，形成概念 在弧度制下，我们已经把角的范围扩展到全体实数.不失一般性，先研究单位圆上点的运动.任意给定一个角任意给定一个角 ，它的终边，它的终边OP与单位圆的交点与单位圆的交点P的坐标能唯一确定吗？的坐标能唯一确定吗？二探究一：1、已知的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？方法：过点P向x轴做垂线，得到直角三角形OPM，可以用锐角三角函数求点P；课堂探究xy2123，M61PPM1=sin30PM=OP2 OM3=cos30OM=OP2 P3 1点 的坐标为：(,)22计算：当变化的时候，点P的坐标情况 20.P点点的的横坐标横坐标x.点点P的的纵坐标
4、纵坐标y.64323761142计算：当变化的时候，点P的坐标情况 20.P点点的的横坐标横坐标x1.点点P的的纵坐标纵坐标y010.64323761142 思考：任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？当角确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的点P的横坐标x是关于的函数吗？点P的纵坐标y是关于的函数吗？当角确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的点P的横坐标x、纵坐标y都是关于的函数怎样命名此类关于角的函数呢？单位圆上一点的三角函数定义【定义】设是一个任意角，R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)（1）把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作sin，即y=sin（2）把
5、点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos，即x=cos（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做的正切函数，记作tan，即 =tan().我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.三注意：注意：无论角a是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。说说明明(1)正弦值就是交点正弦值就是交点P的的纵坐标纵坐标，余弦，余弦值值就是交点就是交点P的的横坐横坐标标，正切，正切值值就是交点就是交点P的的纵坐标与横坐标的比值纵坐标与横坐标的比值.(2)正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 轴上时，点轴上时，点P 的横坐标等的横坐标等于于0，无意义，此时无意义，此时yxytan)(
6、2zkk(3)由于角的集合与实数集之间可以建立由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系一一对应关系，三角，三角函数可以看成是自变量为实数的函数函数可以看成是自变量为实数的函数.)0,1(AxyoP),(yx的终边的终边知识回顾：在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbbaOabMPc探究一、任意角三角函数与锐角三角函数的关系 1、锐角三角函数是研究三角形各种几、锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，是何量之间的关系而发展起来的，是解三解三角形角形的工具；任意角三角函数是研究现的工具；任意角三角函数是研究现实中的实中的周期现象周期现象而发展起来的，核
7、心是而发展起来的，核心是周期性周期性。它们研究的对象不同，具有的。它们研究的对象不同，具有的性质也不同。性质也不同。2、锐角三角函数载体是直角三角形；任锐角三角函数载体是直角三角形；任意角三角函数研究的载体是单位圆，突意角三角函数研究的载体是单位圆，突出了圆的几何性质，它是三角形的代数出了圆的几何性质，它是三角形的代数化。只有角的范围在（化。只有角的范围在（0，）内，二）内，二者间有明显联系。者间有明显联系。2探究二：1、如图，是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r；求证：xyrxrytancossin，yxP,0MOyxM000,yxP证
8、明：设的终边与单位圆交于点P0（x0，y0），分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则：xxyyOMOMPMMP00000，00POMOMP由图形特点可得：ryy10成比例，可得由相似三角形的对应边ryyyy00同号，与又rysinxyrxtan,cos同理可得：xyrxrtancosysin，22yxr根据勾股定理由此可知，只要知道终边上任意一点P的坐标，就可以求得的三个三角函数值。终边上任一点三角函数定义：归纳ryrysin的正弦，即：叫做那么，rxrxcos的余弦，即：叫做0tanxxyxy的正切，即：叫做0P,P22的距离为：与原点点是终边上的任意一点，是一个
9、任意角，设yxryxxy【解】在坐标系中作出AOB=，易知AOB的 终边与单位圆的交点P的坐标为 ，所以例1，利用三角函数的定义求 的正弦值、余弦值和正切值353523-21，M三、学以致用三、学以致用归纳：利用单位圆求任意角三角函数值的一般步骤把角放在平面直角坐标系中画出直角三角形求出角的终边与单位圆的交点坐标利用定义来确定三角函数的值解：由题意可得135122222yxr135sinry例2：已知的终边过点P(-12,5)，求的三角函数值13121312cosrx125125tanxy三、学以致用三、学以致用 如图，以圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(r,0)
10、，P(x,y).射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP.圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，可以可以建立一个建立一个三角函数模型，刻画点三角函数模型，刻画点P的位置变化情况的位置变化情况.探究三探究三 从函数角度从函数角度如何刻画动点如何刻画动点P P的位置变化情况的位置变化情况 在弧度制下，我们已经把角的范围扩展到全体实数.不失一般性，研究任意圆上动点P的运动.Rryrx，sincos即即:2.导图梳理导图梳理：四、归纳、总结1.任意角的三角函数定义的关键是什么？如何任意角的三角函数定义的关键是什么？如何开展研究？体现了哪些思想方法？开展研究？体现了哪些思想方法？1.必做题：必做题：阅读教材，完整体会任意角的三角函数的形成过程，阅读教材，完整体会任意角的三角函数的形成过程，并完成第并完成第179-180页练习页练习1-4.教材第教材第184页习题页习题5.2第第2题题.运用今天的研究方法，你还能获得三角函数的哪运用今天的研究方法，你还能获得三角函数的哪些性质？些性质？五、分层作业2.选做题：选做题：3.拓展题：拓展题：0sincostan232643233456牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！常见角的三角函数值常见角的三角函数值 无无 无无 2
