1、湖南省郴州市郴雅高级中学湖南省郴州市郴雅高级中学高中数学教师欧阳文丰制作高中数学教师欧阳文丰制作 先了解先了解常见的以初等函数为模型的抽象函数常见的以初等函数为模型的抽象函数，若我们能从具体的若我们能从具体的模型出发，根据解题目标展开联想，则常可猜测出抽象函数所蕴含的模型出发，根据解题目标展开联想，则常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口重要性质，并以此作为解题的突破口 1.以线性函数为模型的抽象函数：以线性函数为模型的抽象函数：()()()f xyf xf y 2.以二次函数为模型的抽象函数：以二次函数为模型的抽象函数：3.以指数函数为模型的抽象函数：以指数函数为模型的抽
2、象函数：()()()f xyf x f y()()()f xf xyf y()()f axf ax4以对数函数为模型的抽象函数：()()()f xyf xf y()()()xff xf yy5以幂函数为模型的抽象函数：()()()f xyf x f y()()()xf xfyfy54)1(32)1()2()12()3(fffff又)1()22(2faaf则的解集。求不等式时，当有对任意已知函数3)22(,5)3(2)(0),(2)()(,)(2aaffxfxyxfyfxfRyxxf例例1：解解：31|3)22(2aaaaf的解集为：因此不等式 2)()()(yfyxfxf得，由2)()()(y
3、xfyfxf2121,xxxx且任取2)()(2)()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf则)()()(2121xxfyxfyxf21xx021xx0)(21 xxf则根据题意有3)1(f为增函数在函数Rxxf)(1222aa即31a一、抽象函数的单调性问题一、抽象函数的单调性问题变式练习1：对任意 都有 ，当 时，(1)求证：在R上是增函数；(2)若 ，解不等式)(xfRyx与2)()()(yxfyfxf0 x()2f x 。)(xf25)1(f(23)3fa。1221212121210;0()2;()2.()()()2()()()2 2 2 0()()()xxxxxf xf xx
4、f xf yf x yf xf xf xxf xf xf xR 证 明：（1）、令，则当时，在 上 为 增 函 数。5(1)()()()22(2)(1)(2 1)25(2)2(1)22232(23)3(23)(2)()R55232.22ff xf yf xyffffffafaff xaaa 解：（2）、和又在上为增函数，(2)()Rfx在上 为 减 函 数。)(xf已知满足，对一切,yx(0)0()()()ffxyfxfy，0 x且当()1fx时，。;1)(00)1(xfx时，例例2:求证求证:Ryx，对一切)()()(yfxfyxf有 证明证明：0)0(f且0 yx令1)0(f，得00 xx
5、则现设1)(xf那么ff xfx()()()01fxfx()()1101f x()Rxx21，设21xx且，则1)(012xxff xfxxx()()2211f xxf xf x()()()2111fxfx()()12为减函数。即)(xf得令xy变式练习2：对任意 都有 ，且当 时，(1)求证：在R上是增函数(2)若 ，解不等式)(xfRba,1)()()(bfafbaf0 x()1.f x)(xf5)4(f3)23(2mmf12212121121111210;0()1;()1.()()()1()()()11()1()()()()Rxxxxxf xf xxf abf af bfxxxf xxf
6、 xf xf xf xf xf x （1）证明：设，则当时，在上为增函数。222()()()1(4)(2 2)(2)(2)1(4)5 52(2)1(2)3()R(32)3(3m 2)(2)3224411,.33f a bf af bffffffff xfmmfmfmmmm 解：（2）、在 上为增函数,例题3：定义在R上的 ，当 时，且有：(1)求证：；(2)求证：，恒有 ，；(3)证明：在R上为增函数；(4)若 ，求x的取值范围.0)0()(fyxf，Rba，)()()(bfafbaf0 x1)(xf1)0(f1)2()(2xxfxfRx0)(xf)(xf()()()(0 0)(0)(0)(0
7、)0(0)1.f a bf af bfffff 解：（1）、1 1100010,xf xxxfxfffff xfxff xfxfxf xxf xxfxf xxR f x 证明：（2）、当 0时，()1.令 0;(-)1.(a+b)=(a)(b)(0)=()(-)(0)=()(-)(-)=1.()当时，()1;，()0。1221212211211121112101.().().()0()()()x xx xxf xf x xf a bf af bf xfx xxf x xf xxR f xf xf x xf xf xf xf xf xR证明：（3）、令 0.当时，()1;(-)()()()=(-
8、)+(-)，()0.(-)()()在 上为增函数。222222().(2)2)3).(0)1(2)13)(0)30030,3.f a bf af bf xfxxf xxxfxxff xfxxf xRfxxfxxxx 解：（4）、()()()(，()又()在 上为增函数;(定义在(0,+)上的增函数,且)()()(yfxfyxf变式练习3.设)(xf0)1(f（2）解不等式：);7()51()1(fxfxf01111155151171575015750 xffxfyyxyffxfxxffxfyyfxffxxxfxxfxfffxxfxfxxxxx 解：（1）、由()=()-()得：令，则()=()
9、-()=0。（2）、由()=()-()得：()-()=()()()。()-()()()()()由()是 在，上 的 增 函 数 得：（)()565,6.10 xx（1）求证：212121222111111211()()()(11)(1)(1)(1)2(1)(1)0.(2),1.1()0()0()()()()()()()0()()()()()0fxyfxfyffffffxxxxxfxxfxfxyfxfyxxfxfxffxxxfxfxfxfxfx（）、解：、解：令 0则当时，；。在，上 为 增 函 数。3()()()(33)(3)(3)(9)2(3)(3)1(9)2(8)()2(8)()2()(9
10、)(8)(9)()089011,.80fxyfxfyffffffffxfxfxfxfxffxfxfxxxxxxx（）、解：又在，上 为 增 函 数；)()(1122xxxfxf )()(1122xxxfxf 0 x 且二、抽象函数的奇偶性问题二、抽象函数的奇偶性问题运用定义法证明抽象函数的奇偶性问题！运用定义法证明抽象函数的奇偶性问题！1212121212()()()1(11)(1)1)1)01(1)(1)(1)(1)02(1)(1)01(1)(1)()()0()()()fxxfxfxxxffffxxfffffxxxfxffxfxfxfxfxR 解：令，则：；令，则：令，则：是 在上 的 偶
11、函 数。,1,1,()()();1000(0)(0)()1 0 0(0)0()()(0)()()()1,1xyx yf xf yfxyxyffffyxf xfxffxf xf x 解：令时，则：。令时，则：在上是奇函数。2()()2()();0(00)(00)2(0)(0)(0)0(00)(00)2(0)(0)2(0)2(0)(0)10002(0)()()()2(0)()()()2fxyfxyfxfyxyffffffffffffxyxfxfxffxfxfxffxfxfxf 证明：令时，则：；，。令，时，则：()()()()xfxfxfxR在上是偶函数。1()()()0(0 0)(0)(0)(0
12、)0()()(0)()()()()()f x yf xf yxyffffyxf xxf xfxff xfxfxf xf x （）、；令时，则：；。令时，则：；。在R上是奇函数。2()()()(24)(3 21)(3)(21)(3)(3)(18)8(3)()(3)(3)(3)(24)8(3)8f x yf xf yfffffffff xfffaffa （）、；。在R上是奇函数；。奇函数奇函数key:118(2)()2();2()2()()()()f xyf xf yyxf xxf xfxfxf xf xR 解：（1）、令时，则：在 上奇函数。(2)()2();0020(0)2(0)(0)0.0(
13、02)(0)2()(2)2()1(12)(1)2()(1)2(21)22()(3)(3)22(1)6(1 3)(1 3)2fxyfxfyxyffffxyxfxffxfxfxxyxfxffxffxfxfffff解：（2）、令时，则：令，时，则：令，时，则：。2(6)24(3)2422(1)2 6(2 2)2(1 1)222(5)44(5)4422(2)1 282(1)1 21 624 4(5 3)22(2 6)24(1 3)2422(6)1 082(3)1 01 622(1)1 0 6(3)(1 3)(2 2)(5 3)1 1 8fffffffffffffffffff。()()()0(0 0)0
14、(0)0(0)(0)01(1 1)1(1)1(1)(1)0f a baf bbf aabffffabffff （1）、解：令，则：。令，则：。()()()1111(1)1(1)(1)2(1)(1)0(1)01(1)1()(1)()()(1)()0()()Rf a baf bbf aabfffffffabxfxf xxffxf xxff xxf xf x （2）、解：令，则：。令，则：是在 上的奇函数。上是增函数，解不等式在若求证：求证：满足已知函数),0()(.3);()(.2;0)1()1(.1)0(),()()()(xfxfxfffxyfxfxyfxf0)21()(xfxf例例7：)1()
15、21(xfxf即 解：解：0)1(1.1fyx得令0)1(1fyx得再令)()(1.2xfxfy得令)()()(:)()()(.3xyfyfxfyfxfxyf得由)1()(:1xfxfxy代入上式得令)()21(:0)21()(xfxfxfxf得由为增函数得：在因为),0()(xf021x0 xxx121415121 x解得：三、抽象函数的综合性问题三、抽象函数的综合性问题变式练习变式练习8 8.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，当0 x1时，f（x）(0，1).1.证明f（x）是偶函数；2.判断f（x）在（0，）上的单调性，并给出证明
16、；3.若a0且f（a1）39，求a的取值范围.()()()1,1()(1)(1)1()().()Rf xyf xf yyf xf xfffxf xf x (1)、解：令则：在 上是偶函数。变式练习变式练习8.11221212211122222,1.1()1()1()()(),()()()()()(0,)xxxxxf xxfxf xyf xf yxxyxxxxf xfxff xf xxxf x (2)、解：令0则：0当0时，0。0。令，则：在上是增函数。变式练习变式练习8.33()()()(27)(3 9)(3)(9)(3)(3)(3)(27)9(3)90,(1)9(3)()0132020 2f
17、 xyf xf yfffffffffaf aff xaaaa (3)、解：若且又在（，）上是增函数，8.(),()()(),0()01()2)()(1)2()21f xx yf xyf xf yxf xf xRf xff x 例题 已知对任意实数都有：且当时，。（）、求证：在 上为增函数；（、求证：为奇函数；（3）、若，求在，上的值域。12212121122112111210.0()0.()0.()()(),()()()()().()().()xxxxxf xf xxf xyf xf yxxx yxf xfxxxf xxf xf xf xf xf xR解：（1）、令，则：当时，令则：在 上增函
18、数。()()()0,(0)(00)(0)(0)(0)0.,(0)()()()()()0()()()Rf xyf xf yxyfffffyxff xxf xfxf xfxfxf xf x 解：（2）、令则：令则：在上是奇函数。8.(),()()(),0()01()2)()(1)2()21f xx yf xyf xf yxf xf xRf xff x 例题 已知对任意实数都有：且当时，。（）、求证：在 上为增函数；（、求证：为奇函数；（3）、若，求在，上的值域。()()()1,(2)(1)1(1)(1)2(1)(1)2.(2)4()R(1)(1)2()R214(2)()(1)24()2()4 2f xyf xf yxyffffffff xfff xxff xff xf x 解：（3）、令则：在上是奇函数在上是增函数又，。变式练习变式练习9变式练习变式练习1022ffff11fff.164若非0的函数(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b);且当x1.(1)、求证：(x)0；（2）、求证：(x)为减函数；（3）、当(4)=时，解不等式(x+x-3)(5-x)
