1、简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换制作人：桃园制作人：桃园新课程标准新课程标准核心素核心素养养1.能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题数学运算3.进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题逻辑推理数学运算复习：sinsincoscossinsinsincoscossin.2tan,2cos,2sincos:1222表示试以例是什么关系？与观察2:的倍角是222cos1sin2代替，代替以222cos12sin22cos12cos22cos1cos22
2、，可以得到由cos1cos12cos2sin2tan222所以?2tan,2cos,2incoss，如何求思考：已知2cos12sin22cos12sin2cos12cos22cos2cos1cos1cos12tan22tancos1cos1”如何选取？“所在象限2思考:代数式变换与三角变换有什么不同呢？sincos1cos1sin2tan求证：证明：cos1sin2cos22cos2sin222cos2sin2tansincos12cos2sin22sin222cos2sin2tan（证法一）（证法一）证明：证明：2cos2sin2tan2cos22cos2cos22sincos1sin2c
3、os2sin2tan2sin22cos2sin22sinsincos1（证法二）（证法二）sinsin21cossin)1(2：求证：例2cos2sin2insin)2(s证明：证明：sin()=sin cos+cos sin sin(-)=sin cos-cos sin 两式相加得两式相加得2sin cos=sin()+sin(-)sin cos=sin()+sin(-)12yxsincos,cossin令sinsinyxyx则sinsin21sinsin21yxsinsin21cossin即积化和差积化和差2cos2sin2insin)2(s求证：22cos22sin2右边2sin2cos
4、2cos2sin22sin2sin2cos2cos2cos2sin2cos22cos2cos2(sin22)2sin2sin2cos22cos2sin2sin2)2sin2(cos2cos2sin222)2sin2(cos2cos2sin2222cos2sin22cos2sin2左边sinsin22，可令cossin2sinsin2cos2sin2insin s(sinx+cosx)=sin(x+)=22222242cos(x-)42cos(x+)=42sin(x-)42(sinx+cosx)=23212sin(x+)6=2cos(x-)32(sinx-cosx)=23212sin(x-)62
5、(sinx+cosx)2123=2sin(x+)32(sinx-cosx)2123=2sin(x-)3(1)求求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；的最小正周期及其单调递增区间；f(x)的值域为的值域为1,3(1)求求f(x)的零点；的零点；(2)求求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值23)32sin(232cos232sin212sin21)2cos1(23)().1(xxxxxxf35,3232,2xx或，或6535323432,23)32sin(,0)(xxxxxf.2313，最小值最大值：例例6.如图，已知如图，已知OPQ是半径为是半径为1，圆心角为，圆心角为60的扇形，的扇形
6、，C是扇形弧是扇形弧上的动点，上的动点，ABCD是扇形的内接形。是扇形的内接形。COP=，求当，求当取何值时，取何值时，矩形矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积的面积最大？并求出这个最大面积.QCOABPD,cos,sinRt OBCOBBC解解：在在中中603,tanDARt OADOA 在在中中333333sinOADABC 于于是是33cossinABOBOA 33(cossin)sinSAB BC233sincossin1321226sin(cos)13322266sincos1313222263(sincos)132663sin()5023666,由由得得2626133663,
7、.S最最大大所所以以当当即即时时，366,.ABCD 因因此此 当当时时 矩矩形形的的面面积积最最大大 最最大大面面积积为为22212()(sincos)cos()()()()f xxxxf xf x已已知知函函数数求求的的递递减减区区间间；求求的的最最大大值值变变式式：和和最最小小值值222()sincosf xxx2224sin()x.8,8,858,245224,2234222kkkxkkxkkxk单调递减区间是.2222，最小值；最大值；2sin(x-)4f(x)=4.求函数f(x)3sin(x20)5sin(x80)的最大值.7sin(x20)，所以f(x)max7.解解3sin(x20)5sin(x80)3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 605.求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）；sin33cos3yxx（2）3sin4cosyxx13sin33cos32(sin3cos3)22yxxxx2(sin3 coscos3 sin)2sin(3)333xxx因此，所求周期为 ，最大值为2，最小值为2235(sin coscos sin)5sin()yxxx，故所求周期为 ，最大值为5，最小值为52
