1、1.4.1充分条件与必要条件思考定义1 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作 并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件pq定义2 一般地,“若p,则q”为假命题,是指由p通过推理不可以得出q.这时,我们就说,由p不可以推出q,记作 并且说,p不是q的充分条件,q不是p的必要条件pq/定义3 一般地,“若p,则q”为真命题且“若q,则p”为假命题,是指由p通过推理可以得出q,由q推理不出p.记作 并且说,p是q的充分不必要条件pq/定义4 一般地,“若p,则q”为假命题且“若q,则p”为真命题,是指由p通过推理不可以得出q,由q可以推
2、理出p.记作 并且说,p是q的必要不充分条件pq/定义5 一般地,“若p,则q”为假命题且“若q,则p”为假命题,是指由p通过推理不可以得出q,由q不可以推理出p.记作 并且说,p是q的既不充分也不必要条件pq/例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若四边形的两组对角分别相当,则这个四边形是平行四边形(2)若两个三角形的三边成比例,这两个三角形相似(3)若四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直(4)若 ,则(5)若 ,则(6)若 是无理数,则 是无理数21x 1x ab22ab,x yxy例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
3、?(1)若四边形的两组对角分别相当,则这个四边形是平行四边形(2)若两个三角形的三边成比例,这两个三角形相似(3)若四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直(4)若 ,则(5)若 ,则(6)若 是无理数,则 是无理数 答案:(1)、(2)、(3)、(4)、(5)p是q的充分条件(6)p不是q的充分条件21x 1x ab22ab,x yxy例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若四边形的两组对角分别相当,则这个四边形是平行四边形(2)若两个三角形的三边成比例,这两个三角形相似(3)若四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直(4)若 ,则(5)若 ,则(6)
4、若 是无理数,则 是无理数21x 1x ab22ab,x yxy例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若四边形的两组对角分别相当,则这个四边形是平行四边形(2)若两个三角形的三边成比例,这两个三角形相似(3)若四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直(4)若 ,则(5)若 ,则(6)若 是无理数,则 是无理数 答案:(1)、(2)、(4)、q是p的必要条件 (3)、(5)、(6)q不是p的必要条件21x 1x ab22ab,x yxy练习1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=P
5、B(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等(3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方练习1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等(3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方 答案:(1)p是q的充分条件 (2)p不是q的充分条件 (3)p是q的充分条件练习2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若直线l与圆O有且仅有一个交点,则l为圆O的一条切线;(2)
6、若x是无理数,则 也是无理数2x练习2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若直线l与圆O有且仅有一个交点,则l为圆O的一条切线;(2)若x是无理数,则 也是无理数 答案:(1)q是p的必要条件 (2)q不是p的必要条件2x例3 判断下列各题中p是q的什么条件?(1)p:x1,q:(2)(3)(4)21x:230,:3paaq a22:120,:120payqxy:,:1ap ab qb例3 判断下列各题中p是q的什么条件?(1)p:x1,q:(2)(3)(4)21x:230,:3paaq a22:120,:120payqxy:,:1ap ab qbp是q充分不必要条件p是q必要不充分条件p是q充分不必要条件p是q既不充分也不必要条件课堂小结 充分条件 必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件