1、3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念1 1、请回忆在初中我们学过那些函数？请回忆在初中我们学过那些函数？正比例函数：正比例函数：y=kx (k0)反比例函数反比例函数：一次函数：一次函数：y=kxb (k0)(0)kykx二次函数：二次函数：y=ax2+bx+c(a0)3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念 一般地一般地,设在一个变化过程中有两个设在一个变化过程中有两个变量变量x、y,如果对于如果对于x的每一个值的每一个值,y都有唯都有唯一的值与它对应一的值与它对应,那么就说那么就说x是自变量是自变量,y是是x的函数的函数.从今天开始从今天开始,我们将进一步学习函数我们将进一步学
2、习函数及其构成要素及其构成要素.下面先看几个实例下面先看几个实例.2 2、什么是函数、什么是函数(初中定义初中定义)3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念问题问题1 某某“复兴号复兴号”高速列车加高速列车加速到速到350km/h后保持匀速运行半后保持匀速运行半小时小时.这段时间内这段时间内.列车行进的路列车行进的路程程S(单位单位:km)与运行时间与运行时间t(单位单位:h)的关系可以表示的关系可以表示为为 S=350t 这里这里,t和和S是两个变量是两个变量,而且对于而且对于t的每一个确定的每一个确定的值的值,S都有唯一确定的值与之对应都有唯一确定的值与之对应,所以所以S是是t的函的函
3、数数思考思考:有人说有人说:“根据对应关系根据对应关系S=350t,这趟列车加速这趟列车加速到到350km/h后后,运行运行1h就前进了就前进了350km.”你认为这个你认为这个说法正确吗说法正确吗?3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念 根据问题根据问题1的条件的条件,我们不能判断列车以我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况运行半小时后的情况,所以上述说法不正确所以上述说法不正确.显然显然,其原因是没有关注到其原因是没有关注到t的变化范围的变化范围.下面用更精确的语言表示问题下面用更精确的语言表示问题1中中S与与t的对应关的对应关系系.列车行进的路程列车行进的路程S与运行时
4、间与运行时间t的对应关系是的对应关系是 S=350t 其中其中,t的变化范围是数集的变化范围是数集A1=t|0t0.5,S的变的变化范围是数集化范围是数集B1=S|0S175.对于数集对于数集A1中的中的任一时刻任一时刻t,按照对应关系按照对应关系,在数集在数集B1中都有唯一中都有唯一确定的路程确定的路程S和它对应和它对应3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念问题问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少某电气维修公司要求工人每周工作至少天天,至多不超过至多不超过6天天.如果公司确如果公司确 定的工资标准是定的工资标准是每人每天每人每天350元元,而且每周付一次工资而且每周付一次工资,那
5、么你认那么你认为该怎样确定一个工人为该怎样确定一个工人 每周的工资每周的工资?一个工人的一个工人的工资工资w(单位单位:元元)是他工作天数是他工作天数d的函数吗的函数吗?显然显然,工资工资w是一周工作天数是一周工作天数d的函数的函数,其对应其对应关系是关系是 w=350d 其中其中,d的变化范围是数集的变化范围是数集A2=1,2,3,4,5,6,w的变的变化化 范围是数集范围是数集B2=350,700,1050,1400,1750,2100对于数集对于数集A2中的任一个工作天数中的任一个工作天数d,按照对应关系按照对应关系,在数集在数集B2中都有唯一确定的工资中都有唯一确定的工资w与它对应与它
6、对应3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念问题问题1和问题和问题2中的中的 函数有相同的对应关系函数有相同的对应关系,你你认为它们是同一个函数吗认为它们是同一个函数吗?为什么为什么?S=350t w=350d 3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念问题问题3 下图是北京市下图是北京市2016年年11月月23日的空气质量指日的空气质量指数数(Air Quality Index简称简称AQI)变化图变化图.如何根据该图如何根据该图确定这一天内任一时刻确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的空气质量指数(AQI)的的 值值I?你认为这里的你认为这里的I是是t的函数吗？的函数吗？3.1.
7、1 3.1.1 函数的概念函数的概念从图中的曲线可知从图中的曲线可知,t的变化范围是数集的变化范围是数集A3=t|0t24,AQI的值的值I都在数集都在数集B3=I0I150 中中.对于数集对于数集A3中的任一时刻中的任一时刻t,按照图中曲线所给按照图中曲线所给 定的对应关系定的对应关系,在数集在数集B3中都有唯一确定的中都有唯一确定的AQI的值的值I与之对应与之对应.因此因此,这里的这里的I是是t的函数的函数 你能根据图你能根据图找到中午找到中午12时的时的 AQI的值吗的值吗?3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念问题问题4 国际上常用恩格尔系数国际上常用恩格尔系数r反反 映一个地区
8、人民生活质量的高低映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越恩格尔系数越低低,生活质量越高生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情系数变化情 况况,从中可以看出从中可以看出,该省城镇居民的生该省城镇居民的生活质量越来越高活质量越来越高()r 食食物物支支出出金金总总支支出出金金额额年份年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格恩格尔系尔系数数r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8728.8929.3528.573.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念 你认为按上表给
9、出的对应关系你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数恩格尔系数r是是年份年份y的函数吗的函数吗?如果是如果是,你会用怎样的语言来刻画你会用怎样的语言来刻画这个函数这个函数?年份年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格恩格尔系尔系数数r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8728.8929.3528.573.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念这里这里,y的取值范围是数集的取值范围是数集A4=2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015;根据恩格尔系数的根
10、据恩格尔系数的定义可知定义可知,r的取值范围是数集的取值范围是数集B4=rr1.对对于于 数集数集A4中的任意一个年份中的任意一个年份y,根据表中所给定的对根据表中所给定的对应关系应关系,在数集在数集B4中都有唯一确中都有唯一确 定的恩格尔系数狉定的恩格尔系数狉与之对应与之对应.所以所以,r是是y的函数的函数3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念归纳归纳 上述问题上述问题1问题问题4中的函数有哪些共同特中的函数有哪些共同特征征?由此你能概括出函数概念的本质由此你能概括出函数概念的本质 特征吗特征吗?上述问题的共同特征有上述问题的共同特征有:(1)都包含两个非空数集都包含两个非空数集,用用
11、A,B来表示来表示;(2)都有一个对应关系；都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如但它们都有如下特性下特性:对于数集对于数集A中的任意一中的任意一 个数个数x,按照对应按照对应关系关系,在数集在数集B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数y和它对应和它对应 事实上事实上,除解析式、图象、表格外除解析式、图象、表格外,还有其他还有其他表示对应关系的方法表示对应关系的方法.为了表示方便为了表示方便,我们引进符我们引进符号号f统一表示对应关系统一表示对应关系.3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念 一般地一般地,设设A、B是非空的实数集是非空的
12、实数集,如果对于如果对于集合集合A中的任意一个数中的任意一个数x,按照某种确定的对应按照某种确定的对应关系关系f,在集合在集合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数y和它对应和它对应,那么就称那么就称:AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函的一个函数数(function).记作记作:y=f(x),x A.其中其中,x叫做叫做自变量自变量,x的取值范围的取值范围A叫做函数叫做函数的的定义域定义域(domain);与与x的值相对应的的值相对应的y值叫做值叫做函函数值数值,函数值的集合函数值的集合f(x)|xA叫做函数的叫做函数的值域值域(range).3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的
13、概念函数符号函数符号yf(x)是由德国数学是由德国数学家莱布尼兹在家莱布尼兹在18世纪引入的世纪引入的 显然显然,值域是集合值域是集合B的子集的子集.在问题在问题1与问题与问题2中中,值域就是值域就是B1和和B2;在问题在问题3中中,值域是数集值域是数集B3的真的真子集子集;在问题在问题4中中,值域值域 B4=0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857,是数集是数集B4=r0r1的真子集的真子集3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念 我们所熟悉的一次函数我们所熟悉的一次函数yax+b(a0)的
14、定义的定义域是域是R,值域也是值域也是R,对应关系对应关系f把把 R中的任意一个数中的任意一个数x,对应到对应到R中唯一确定的数中唯一确定的数ax+b(a0)二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的定义域是的定义域是R,值域值域是是B.当当a0时时,;当当a0时时,.对应关系对应关系f把把 R中的任意一中的任意一个数个数x,对应到对应到R中唯一确定的数中唯一确定的数ax2+bx+c(a0)244acbBya|244acbBya|3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念思考思考 反比例函数反比例函数 的定义域、对应的定义域、对应关系和值域各是什么关系和值域各是什么?请用函数定义描述这个
15、函请用函数定义描述这个函数数(0)kykx 3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念例例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的出来的,它所反映的两个量之间的对应关系它所反映的两个量之间的对应关系,可以广可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如例如,正比例函数正比例函数y=kx(k0)可以用来刻画匀速运动中路可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关的关 系、圆的周长与半径的关系等系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境试
16、构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解使其中的变量关系可以用解析式析式y=x(10-x)来描述来描述.3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念解解:把把y=x(10-x)看成二次函数看成二次函数,那么它的定义域是那么它的定义域是R,值域是值域是B=y|y25.对应关系对应关系f把把R中的任意一个中的任意一个数数x,对应到对应到B中唯一确定的数中唯一确定的数x(10-x).如果对如果对x的取值范围作出限制的取值范围作出限制,例如例如xx|0 x10,那么可以构建如下情境那么可以构建如下情境:长方形的周长为长方形的周长为20,设一边长为设一边长为x,面积为面积为y,那么那么yx(10-x)
17、.其中其中,x的取值范围是的取值范围是A=x0 x0,R,B=yy R,对应法则对应法则 f:x23yx A=xx R,B=yy R,对应法则对应法则 f:xy:2225xyA=R,B=R,对应法则对应法则 f:xy=x2A=(x,y)x R,y R,B=R,对应法则：对应法则：:(,)fx ysxyA=x-1x 1，yR,B=0,对应法则：对应法则：:0fxy3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念0 xy2210 xy21210 xy2120 xy21215、设、设|02,|12.AxxByy下图表示从下图表示从A到到B的函数是的函数是()ADCBD3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念6、下列图象具有下列图象具有函数关系函数关系的的是是_和和_.ADoxyADCBEFyoxxyo1-1yoxy1xo1oxy3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念函数函数图象图象定义域定义域值域值域y kx b kyx 2y axbx c (0)a 244ac bay y RR|0 x x(0)k|0y y R(0)k xyO 1、函数定义、函数定义2、函数的三要素、函数的三要素:定义域、值域、对应关系定义域、值域、对应关系3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念
