1、3.2.2函数的奇偶性 前面我们用符号语言精确地描述了函数图像在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，下面我们研究函数的其他性质.变化中的不变化中的不变性、规律变性、规律性就是性质性就是性质 新课引入新课引入 生活中的对称美 轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称图形，这条直线称作轴对称图形的对称轴。中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某 一点的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称图形，这个点称作中心对称图形的对称中心。温故知新温故知新 观察下列各个函数的图象观察下列各个函数的图象,你能说说它们分
2、别反映了相应你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？函数的哪些变化规律？请同学们畅所欲言。请同学们畅所欲言。在上面的函数图象中在上面的函数图象中,这两个函数的图像都关于这两个函数的图像都关于y轴对称轴对称.类比函数单调性，如何用数学符号语言准确描述类比函数单调性，如何用数学符号语言准确描述“函数函数图象关于图象关于y轴对称轴对称”的这种特征呢的这种特征呢?f(x)=x2g(x)=2-|x|列出列出x,y的对应值表的对应值表:xf(x)=x20 0 -2 4 新课引入新课引入 1 1 2 4 -1 1 -3 9 3 9 -4 16 416xR，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)这时
3、我们称f(x)=x2为偶函数.x-x函数f(x)=x2,x-2,2的图像关于y轴对称吗？它是偶函数吗？函数f(x)=x2,x-1,2呢?列出列出x,y的对应值表的对应值表:0 0 -2 4 新课引入新课引入 1 1 2 4 -1 1 -3 9 3 9 -4 16 416xR，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)这时我们称f(x)=x2为偶函数.函数f(x)=x2,x-2,2的图像关于y轴对称吗？它是偶函数吗？函数f(x)=x2,x-1,2呢?f(x)=x2 新课讲授新课讲授 偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，-xI，f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数.函
4、数的定义域关于原点对称偶函数f(-x)=f(x)函数图像关于y轴对称f(-x)=f(x)Oa-ab-bO-aa g(x)=2-|x|函数g(x)=2-|x|的定义域为的定义域为R,它关于原点对称,且g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)，即g(x)=2-|x|是偶函数.请你用偶函数的定义证明:函数g(x)=2-|x|是偶函数.观察下列各个函数的图象观察下列各个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？函数的哪些变化规律？请同学们畅所欲言。请同学们畅所欲言。在上面的函数图象中在上面的函数图象中,这两个函数的图像都关于原点对称这两个函数的图像都关于
5、原点对称.类比函数单调性，如何用数学符号语言准确描述类比函数单调性，如何用数学符号语言准确描述“函数函数图象关于原点对称图象关于原点对称”的这种特征呢的这种特征呢?xxf)(xxg1)(列出列出x,y的对应值表的对应值表:x-4-3-2-1 01234f(x)=x新课引入新课引入 xR，都有f(-x)=-x=-f(x)这时我们称f(x)=x为奇函数.函数f(x)=x,x-2,2的图像关于y轴对称吗？它是偶函数吗？函数f(x)=x,x-1,3呢?-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x-xf(x)-f(x)新课讲授新课讲授 奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，-xI，f(
6、-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数.函数的定义域关于原点对称奇函数f(-x)=f(x)函数图像关于原点对称f(-x)=-f(x)请你用奇函数的定义证明:函数 是奇函数.xxg1)(函数 的定义域为x|x0,它关于原点对称,且即 是奇函数.xxg1)()(11)(xgxxxgxxg1)(xxg1)(偶函数图像关于y轴对称代数特征几何特征奇函数图像关于原点对称代数特征几何特征新课讲授新课讲授 函数的定义域关于原点对称首要条件：首要条件：根据奇偶性,函数可划分为四类:v奇函数奇函数v偶函数偶函数v非奇非偶函数非奇非偶函数v既奇又偶函数既奇又偶函数f(x)=0,xR(1)(2)(3)(4)
7、(5)(6)(7)xy(8)f(x)=5xy(9)f(x)=0观察下列函数图像，并判断它们的奇偶性观察下列函数图像，并判断它们的奇偶性 P85 1.已知已知f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整是奇函数，试将下图补充完整.Oxyf(x)Oxyg(x)例例6、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf (1)解：定义域为解：定义域为R，xR,都有都有-xR，且且f(-x)=(-x)4=f(x)f(x)偶函数偶函数(2)解：定义域为解：定义域为R，它关于，它关于原点对称，原点对称，且且 f(-x
8、)=(-x)5=-x5=-f(x)f(x)奇函数奇函数f(x)奇函数奇函数(4)解：定义域为解：定义域为x|x0，它关于原点对称它关于原点对称f(x)偶函数偶函数(3)解：定义域为解：定义域为x|x0，它，它关于原点对称关于原点对称且且)()1(1)(xfxxxxxf)(11)(22xfxxxf 判断或证明函数奇偶性的基本步骤 f(x)=x5 _f(x)=x4 _ f(x)=x-1 _说出下列函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数 f(x)=x _奇函数奇函数f(x)=x 2 _偶函数偶函数f(x)=x 3 _ 函数f(x)=x n 中：若n为偶数，则它为偶函数.若n为
9、奇数，则它为奇函数.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律：奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 P85 2 判断函数的奇偶性的方法有：图像法和定义法判断函数的奇偶性的方法有：图像法和定义法 定义法步骤：定义法步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；计算计算f(-x)，确定，确定f(-x)与与f(x)的关系；的关系；作出相应结论。作出相应结论。偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，-xI，f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，-xI，f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数.课堂小结课堂小结 函数的奇偶性 P86 5
