1、文科数学试题 第 1 页（共 5 页） 秘密启用前 试卷类型：B 秘密启用前 试卷类型：B 广州市 2020 届高三年级阶段训练题 文科数学 本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（B B）填涂在答题卡相应位置上。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。 3作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答
2、，答案必须写在答题 卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1. 已知复数zi1 i，则z A. 1 2 B. 2 2 C.1D.2 2. 已知集合0,1,2,3A，1,0,1 B，PAB，则P的子集共有 A.2个 B
3、.4个 C.6个 D.8个 3. 设向量a,1 m，b2, 1，且ab，则m A.2B. 1 2 C. 1 2 D.2 4. 已知 n a是等差数列， 3 5a ， 246 7aaa，则数列 n a的公差为 A.2B.1C.1D.2 5. 已知命题p：x R， 2 10xx ；命题q：x R， 23 xx，则下列命题中为真 命题的是 A.pqB.pq C.pqD.pq 6. 已知偶函数 fx满足 2 0f xxx x ，则 21x f x A.4x x 或0x B.0x x 或4x C.2x x 或2x D.2x x 或4x 文科数学试题 第 2 页（共 5 页） P B P O A 2 Ox
4、 y 1 Ox y 2 Ox y 1 Ox y 7. 如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OBOA，P是圆上的动点， 点P关于直线OB的对称点为 P ，角x的始边为射线OA，终边为射线OP， 将OP OP 表示为x的函数 fx，则 yf x在0,上的图像大致为 A. B. C. D. 8. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形 的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为 A. 72 2 B. 102 2 C. 104 2 D. 11 4 2 9. 某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球 半径为R，该卫星近
5、地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为 A. 12 11 ee rR ee B. 1 11 ee rR ee C. 12 11 ee rR ee D. 1 11 ee rR ee 10. 已知函数 ln 1f xxax存在极值点，且 0f x 恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是 A. ,1 B. 0,1 C. 1 0, ln2 D. 1 , ln2 文科数学试题 第 3 页（共 5 页） 11. 已知 1 F， 2 F是双曲线 2 2 2 :1 x Cy a 0a 的两个焦点，过点 1 F且垂直于x轴的直线 与C相交于A，B两点，若2AB ，则 2 ABF的内切圆的半径为 A
6、. 2 3 B. 3 3 C. 2 2 3 D. 2 3 3 12. 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，E，F，G分别是棱AD， 1 CC， 11 C D的 中点，给出下列四个命题: 1 EFBC; 直线FG与直线 1 AD所成角为60; 过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; 三棱锥BEFG的体积为 5 6 . 其中，正确命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 已知函数 yf x的图像与2xy 的图像关于直线yx对称，则
7、 4f . 14. 设x，y满足约束条件 13, 02, x xy 则2zxy的最小值为 . 15. 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生 1 A， 2 A， 3 A和 3名女生 1 B， 2 B， 3 B中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合 双打比赛，则 1 A和 1 B两人组成一队参加比赛的概率为 . 16. 记 n S为数列 n a的前n项和，若 1 1 2 2 nn n Sa ，则 34 aa ， 数列 2nn aa 的前n项和 n T . (第 1 空 2 分，第 2 空 3 分) 文科数学试题 第 4 页（共 5 页） C B A
8、P 62.0 62.5 63.0 63.5 64.0 64.5 65.0 0.075 0.100 0.200 0.225 0.650 零件尺寸/mm 0.750 频率 组距 三、解答题: 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须做答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共 三、解答题: 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须做答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共 60 分分 17.（12 分） 某企业质量检验员为了检测生
9、产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测 量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品. 将这80个零件尺寸的样 本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率. 18.（12 分） 已知, ,a b c分别是ABC内角, ,A B C的对边， 222 2 sinsinsinsinsin 3 ACACB. （1）求sinB的值； （2）若2b，ABC的面积为2，求ABC的周长. 19.（
10、12 分） 如图，三棱锥PABC中，PAPC，ABBC，120APC ，90ABC ， 32ACPB. （1）求证：ACPB； （2）求点C到平面PAB的距离. 文科数学试题 第 5 页（共 5 页） 20. (12 分) 已知点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点，A,B是C上的两个动点，且4PA PB . （1）判断点0, 1D是否在直线AB上？说明理由； （2）设点M是PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程. 21. (12 分) 已知函数 e ln x b f xax x ，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为 22xy e0. （1）求a，b的值； （2）证明函数 fx
11、存在唯一的极大值点 0 x，且 0 2ln22f x. （二）选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的 第一题计分. （二）选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的 第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分) 已知曲线 1 C的参数方程为 cos , ( 1sin, xt t yt 为参数), 曲线 2 C的参数方程为 sin , ( 1 cos2 , x y 为参数). （1）求 1 C与 2 C的普通方程； （2）若 1 C与 2 C相交于A，B两点，且2AB ，求si
12、n的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲(10 分) 已知0a ，0b ，且1ab. （1）求 12 ab 的最小值； （2）证明： 22 25 12 abb ab . 1 广州市广州市 2020 届高三年级阶段训练题届高三年级阶段训练题 文科数学试题参考答案及评分标准文科数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的
13、一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题一、选择题 二、填空题二、填空题 13.214.115. 2 9 16. 1 8 ， 11 1 22n 三、解答题三、解答题 17. (12 分) （1）解解：由于0 .63, 0 .62内的频率为0.0750.2250.50.15，1 分 5 .63, 0 .63内的频率为375. 05 . 075. 0， 2 分 得0.15 0.3750.5250.5， 3 分 令这80个零件尺寸的中位数为x，则x5.63, 0 .63， 4 分 即有5
14、. 075. 0)63(15. 0 x， 5 分 解得47.63x 故这80个零件尺寸的中位数为63.47. 6 分 （2）解解：从频率分布直方图中可得80个零件中尺寸在5 .64, 0 .63之外的零件共有 0.0750.2250.1000.5 8016个， 8 分 故从80个零件中随机抽取1个零件， 则所抽取的零件为二等品的概率为 16 0.2 80 P . 10 分 所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2. 12 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D B A A C A C B C 2 OC B A P 18
15、. (12 分) （1）解解：因为 222 2 sinsinsinsinsin 3 ACACB， 依据正弦定理得 222 2 3 acacb， 2 分 则 222 cos 2 acb B ac 2 3 2 ac ac 1 3 . 4 分 因为0B, 所以 2 2 2 sin1 cos 3 BB. 6 分 （2）解解：因为ABC的面积为2， 所以 1 2sin 2 acB 12 2 23 ac. 7 分 得3ac . 8 分 由于2b， 则 22 2 4 3 acac，即 22 6ac. 9 分 得 22 26212acacac , 即 2 12ac, 10 分 由于0ac , 则2 3ac.
16、11 分 所以ABC的周长为22 3abc. 12 分 19. (12 分) （1）证明证明: 取AC的中点O，连接PO，BO， 因为PAPC，所以POAC. 1 分 因为ABBC，所以BOAC. 2 分 因为POBOO，PO平面POB，BO平面POB， 所以AC 平面POB. 3 分 因为PB 平面POB， 所以ACPB. 4 分 （2）解法解法 1：因为3ACPB2， 则2AC ， 2 3 3 PB . 3 因为ABBC，90ABC ，则 1 1 2 BOAOAC.5 分 因为PAPC，120APC ，则60APO . 在 RtPOA中， 3 tan603 AO PO ， 6 分 因为 2
17、22 4 3 BOPOPB， 所以POBO. 7 分 因为POAC，ACBOO，AC 平面ABC，BO平面ABC， 所以PO 平面ABC. 8 分 由于ABC的面积为 1 1 2 SAC BO， 则 13 39 P ABC VPO S . 所以三棱锥PABC的体积为 3 9 . 9 分 在 RtPOA中， 2 3 cos303 AO PA ， 故 2 3 3 PAPB. 则ABP的面积为 2 2 11 22 SABPAAB 15 6 . 10 分 设点C到平面PAB的距离为d， 由 P ABCC PAB VV ， 得 13 39 d S ， 11 分 得 2 5 5 d . 所以点C到平面PA
18、B的距离为 2 5 5 . 12 分 解法解法 2：因为3ACPB2， 则2AC ， 2 3 3 PB . 4 E D OC B A P 因为ABBC，90ABC ，则 1 1 2 BOAOAC. 5 分 因为PAPC，120APC ，则60APO . 在 RtPOA中， 3 tan603 AO PO ， 6 分 因为 222 4 3 BOPOPB， 所以POBO. 7 分 因为POAC，ACBOO，AC 平面ABC，BO平面ABC， 所以PO 平面ABC. 8 分 因为AB 平面ABC， 所以PO AB. 取AB的中点D，连接OD，PD， 则ODBC，且 12 22 ODBC. 由于90AB
19、C ，则90ADO ，即ODAB. 因为ODPOO，OD平面POD，PO平面POD， 所以AB 平面POD. 又AB 平面PAB， 所以平面PAB平面POD. 9 分 由于平面PAB平面PODPD，作OEPD于E， 则OE 平面PAB. 10 分 在 RtPOD中， 22 30 6 PDPOOD， 由OD POPD OE，得 5 5 OE . 11 分 则点O到平面PAB的距离为 5 5 . 由于O是AC的中点， 则点C到平面PAB的距离是点O到平面PAB的距离的2倍. 所以点C到平面PAB的距离为 2 5 5 . 12 分 解法解法 3：作ADPB于D，连接CD， 根据题意，得ABPCBP，
20、 则CDPB，ADCD. 5 分 因为ADCDD，AD 平面ACD，CD平面ACD， 5 E D OC B A P 所以PB 平面ACD. 6 分 因为PB 平面PAB， 所以平面PAB平面ACD. 7 分 又平面PAB平面ACDAD, 过C作CEAD于E, 则CE 平面PAB. 所以CE的长度为点C到平面PAB的距离. 8 分 因为32ACPB，则 2 3 3 PB . 因为ABBC，90ABC ，则2AB ，1AO. 因为PAPC，120APC ，则30PAO . 在 RtPOA中， 2 3 cos303 AO PA ， 9 分 故 2 3 3 PAPB. 则ABP的面积为 2 2 11
21、22 SABPAAB 15 6 ， 又 1 2 SPB AD，即 1512 3 623 AD，得 5 2 AD . 10 分 在ACD中， 5 2 CDAD，2AC ， 则 2 2 11 22 ACD SACADAC 1 2 . 11 分 又 1 2 ACD SAD CE , 则 115 222 CE, 得 2 5 5 CE . 所以点C到平面PAB的距离为 2 5 5 . 12 分 20.(12 分) (1) 解法 1解法 1:因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3.1 分 依题意知直线AB的斜率存在，设直线:AB ykxb, 1122 ,A x yB
22、xy, 则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy . 2 分 6 因为A,B是C上的两个动点, 所以 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640x xx x, 解得 12 8x x . 3 分 由 2 , 1 3, 4 ykxb yx 得 2 41240xkxb, 则 12 4xxk, 12 124x xb . 故1248b，解得1b . 所以直线:1AB ykx. 4 分 所以直线AB过定点0, 1. 5 分 所以点0, 1
23、D在直线AB上. 6 分 解法 2解法 2: 因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3. 1 分 设 1122 ,A x yB xy,则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy .2 分 因为A,B是C上的两个动点, 所以 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640x xx x, 解得 12 8x x . 3 分 直线AB的斜率为 22 12 1212 1212 11 44 4 xx yyxx
24、 k xxxx , 则直线AB的方程为 2 12 11 1 3 44 xx yxxx , 即 1122 12 1 1 3 444 xxxxx yxx 1212 3 44 xxx x x 7 12 1 4 xx x . 4 分 所以直线AB过定点0, 1. 5 分 所以点0, 1D在直线AB上. 6 分 解法 3解法 3: 因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3. 1 分 设 1122 ,A x yB xy,则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy . 2 分 因为A,B是C上的两个动点, 所以
25、 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640x xx x, 解得 12 8x x . 3 分 直线AD的斜率为 2 11 1 11 18 4 yx k xx , 直线BD的斜率为 2 22 2 22 18 4 yx k xx , 则 22 12 12 12 88 44 xx kk xx 22 2112 12 88 4 xxxx x x 0. 4 分 则 12 0kk,得 12 kk. 故A,B,D三点共线. 5 分 所以点0, 1D在直线AB上. 6 分 (2) 解法 1解法 1:线段PA
26、的中点坐标为 2 11 ,3 28 xx , 2 1 1 1 1 4 4 PA x x k x , 则线段PA的中垂线方程为 2 11 1 4 3 82 xx yx x . 7 分 8 同理得线段PB的中垂线方程为 2 22 2 4 3 82 xx yx x . 8 分 由解得 12 4 xx xk , 2 2yk. 10 分 所以点M的坐标为 2 ,2kk. 设点,M x y,则 2 , 2. xk yk 11 分 消去k, 得 2 1 2 xy. 所以点M的轨迹方程为 2 1 2 xy. 12 分 解法 2解法 2:线段PA的中点坐标为 2 11 ,3 28 xx , 2 1 1 1 1
27、4 4 PA x x k x , 则线段PA的中垂线方程为 2 11 1 4 3 82 xx yx x . 7 分 同理得线段PB的中垂线方程为 2 22 2 4 3 82 xx yx x . 8 分 由解得 12 4 xx x , 2 12 8 xx y . 10 分 设点,M x y,则 12 2 12 , 4 . 8 xx x xx y 11 分 消去 12 xx, 得 2 1 2 xy. 所以点M的轨迹方程为 2 1 2 xy. 12 分 21. (12 分) （1）解解：函数 fx的定义域为0,， 由 ln x be f xax x ，得 2 xx b xee a fx xx ， 1
28、 分 则 1fa， 1fbe . 9 故曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为1ybea x， 即0axyabe . 2 分 因为曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为22xy e0. 所以2a ，1b. 4 分 （2）证法证法 1: 由(1)知 2ln x e f xx x , 则 22 22 xx xx xee xxee fx xxx . 令 2 xx g xxxee0x , 得 22 xxxx gxexeexe, 则 gx在0,上单调递减. 由于 020 g , 120ge, 则存在 1 0,1x , 使得 1 0gx. 5 分 当 1 0,xx时, 0gx; 当 1, xx时,
29、 0gx. 故 g x在 1 0,x上单调递增, 在 1, x 上单调递减. 由于 010g , 120g, 2 240ge, 故存在 0 1,2x , 使得 0 0g x, 6 分 当 0 0,xx时, 0g x , 则 0fx; 当 0, xx时, 0g x , 则 0fx. 故函数 fx在 0 0,x上单调递增, 在 0, x 上单调递减. 7 分 故函数 fx存在唯一的极大值点 0 x. 8 分 由于 0 0g x，即 00 00 20 xx xx ee，得 0 0 0 2 1 x x e x ， 0 1,2x ， 则 0 00 0 2ln x e f xx x 0 0 2 2ln 1
30、 x x . 9 分 10 令 2 2ln 1 h xx x ，12x， 则 2 22 0 1 h x x x . 故函数 h x在1,2上单调递增. 10分 由于 0 12x，则 0 22ln22h xh.11 分 即 0 0 2 2ln 1 x x 2ln22. 所以 0 2ln22f x. 12 分 证法证法 2: 由(1)知 2ln x e f xx x , 则 222 2122 0 xx x xx xee xexxxee fxx xxxx . 当01x时， 0fx； 当1x 时，令 21 x g xxex, 得 21220 xxx gxexexee , 则 g x在1,上单调递减.
31、5 分 又 120g, 2 240ge, 故存在 0 1,2x , 使得 0 0g x, 6分 当 0 0,xx时, 0g x , 则 0fx; 当 0, xx时, 0g x , 则 0fx. 故函数 fx在 0 0,x上单调递增, 在 0, x 上单调递减. 7 分 故函数 fx存在唯一的极大值点 0 x. 8 分 由于 0 0g x，即 0 00 210 x xex，得 0 0 0 2 1 x x e x ， 0 1,2x ， 11 则 0 00 0 2ln x e f xx x 0 0 2 2ln 1 x x . 9 分 令 2 2ln 1 h xx x ，12x， 则 2 22 0 1
32、 h x x x . 故函数 h x在1,2上单调递增. 10分 由于 0 12x，则 0 22ln22h xh.11 分 即 0 0 2 2ln 1 x x 2ln22. 所以 0 2ln22f x. 12 分 22. (10 分) (1)解解:由 cos , ( 1sin, xt t yt 为参数), 得sincoscos0xy, 所以曲线 1 C的普通方程为sincoscos0xy. 2 分 由 sin , ( 1 cos2 , x y 为参数),得 22 220xyy. 所以曲线 2 C的普通方程为 22 220xyy. 5 分 （2）解法 1解法 1:把 cos , 1sin xt
33、yt 代入 22 22xy， 得 222 2cossin2 sin10tt ，6 分 由于 2 22 2sin4 2cossin80, 则 12 22 2sin 2cossin tt ， 1 2 22 1 2cossin t t . 8 分 则 2 12121 2 4ABttttt t 22 2 2 2cossin . 9 分 由于2AB ，则 22 2 2 2 2cossin . 解得sin0. 12 1 -11 O y x 经检验，sin0符合题意， 所以sin0. 10 分 解法解法 2:由（1）可知 1 C是直线，且过点0,1， 2 C是椭圆 22 22xy在x轴上方（包括与x轴的两个
34、交点） ， 如图可知，若 1 C与 2 C有两个交点，则 1 C的斜率1,1k . 设 1: 1Cykx, 1122 ,A x yB xy, 由 22 1, 22, ykx xy 得 22 2210kxkx , 6 分 由于 2 22 242880kkk, 则 12 2 2 2 k xx k , 12 2 1 2 x x k . 7 分 2 2 1212 14ABkxxx x 2 2 22 24 1 22 k k kk 2 2 2 21 2 k k . 8 分 由于2AB ,得 2 2 2 21 0 2 k k ，解得0k . 9 分 则tan0，得sin0. 10 分 23.(10 分) （
35、1）解法 1解法 1:因为0a ，0b ，且1ab, 所以 12 ab 2 abab ab 1 分 2 3 ba ab 2 32 ba ab 2 分 32 2 . 3 分 当且仅当 2ba ab ,即 22 2ba时,等号成立. 13 由 22 0,0, 1, 2, ab ab ba 解得 21, 22. a b 4 分 所以 12 ab 的最小值为32 2. 5 分 解法 2解法 2:因为0a ，0b ，且1ab, 所以 12 ab 12 ab ab 1 分 2 3 ba ab 2 32 ba ab 2 分 32 2 . 3 分 当且仅当 2ba ab ,即 22 2ba时,等号成立. 由 22 0,0, 1, 2, ab ab ba 解得 21, 22. a b 4 分 所以 12 ab 的最小值为32 2. 5 分 （2）证法 1证法 1：因为0a ，0b ， 所以 2222 2 22 41 1 55 abbabb bbab a 6 分 22 2 2 4 221 55 abb bb a 7 分 2 2 2 5 abb abb 5 2 . 8 分 14 当且仅当 2 2 2 , 5 4 1 5 b a b 时,等号成立. 解得 15 ,
