1、 17.2 勾股定理的逆定理（一）勾股定理的逆定理（一） 一、教学目标一、教学目标 1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、重点、难点二、重点、难点 1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、例题的意图分析三、例题的意图分析 例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。 例 2（P31 探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否 重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证 明方法，使实践上升到理
2、论，提高学生的理性思维。 例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角 三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2 的值。判断 a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不 是直角三角形。 四、课堂引入四、课堂引入 创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？ 怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对 比，从勾股定理的逆命题进行猜想。 五、例习题分析五、例习题分析 例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ 同旁内角互补，两条直线平行。 如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
3、 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半。 分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但 要分清题设和结论，并注意语言的运用。 理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真， 也可能一真一假，还可能都假。 解略。 例 2（P74 探究）证明：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形。 分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意 画出图形，然后写已知求证。 如何判断一个三角形是直角三角形，现在 只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角 形，从而将问题转化为如何判断
4、一个角是直角。 利用已知条件作一个直角三角形，再证明 和原三角形全等，使问题得以解决。 先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边 A1B1=c，则通过 三边对应相等的两个三角形全等可证。 a b c a b BC AA1 C1 B1 先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的 兴趣和求知欲， 再探究理论证明方法。 充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力， 由实践到理论学生更容易接受。 证明略。 例 3（补充）已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c， a=n21，b=2n，c=n21（n1） 求证：C=90。 分析： 运用勾股定理的逆定理判定一个三
5、角形是否是直角三角形的一般步 骤： 先判断那条边最大。 分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2的值。 判断 a2+b2 和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 要证C=90，只要证ABC 是直角三角形，并且 c 边最大。根据勾股定 理的逆定理只要证明 a2+b2=c2即可。 由于 a2+b2= （n21）2（2n）2=n42n21，c2=（n21）2= n42n2 1，从而 a2+b2=c2，故命题获证。 六、课堂练习六、课堂练习 1判断题。 在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对 的角是直角。 命题： “在一个三角形中，有一个角是
6、30，那么它所对的边是另一边的 一半。 ”的逆命题是真命题。 勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这 个三角形是直角三角形。 ABC 的三边之比是 1：1：2，则ABC 是直角三角形。 2 ABC 中A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c， 下列命题中的假命题是 （ ） A如果CB=A，则ABC 是直角三角形。 B如果 c2= b2a2，则ABC 是直角三角形，且C=90。 C如果（ca） （ca）=b2，则ABC 是直角三角形。 D如果A：B：C=5：2：3，则ABC 是直角三角形。 3下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） Aa=8，b=15，c=17 B
7、a=9，b=12，c=15 Ca=5，b=3，c=2 Da：b：c=2：3：4 4已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长 度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ a=3，b=22，c=5； a=5，b=7，c=9； a=2，b=3，c=7； a=5，b=62，c=1。 七、课后练习，七、课后练习， 1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 如果 a30，那么 a20； 如果三角形有一个角小于 90，那么这个三角形是锐角三角形； 如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； 关于某条直线对称的两条线段一定相等。 2填空题。 任何一个命题都有
8、，但任何一个定理未必都有 。 “两直线平行，内错角相等。 ”的逆定理是 。 在ABC 中，若 a2=b2c2，则ABC 是 三角形， 是直 角； 若 a2b2c2，则B 是 。 若在ABC 中，a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，则ABC 是 三 角形。 3若三角形的三边是 1、3、2； 5 1 , 4 1 , 3 1 ； 32，42，52 9， 40，41； （mn）21，2（mn） ， （mn）21；则构成的是直角三角形的 有（ ） A2 个 B个 个 个 4已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列 长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角
9、？ a=9，b=41，c=40； a=15，b=16，c=6； a=2，b=32，c=4； a=5k，b=12k，c=13k（k0） 。 参考答案： 课堂练习： 1对，错，错，对； 2D； 3D； 4是，B；不是；是，C；是，A。 课 后练习： 1如果 a20，那么 a3 0；假命题。 如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。 两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。 2逆命题，逆定理；内错角相等，两直线平行；直角，B，钝角； 直角。 3B 4是，B；不是， ；是，C；是，C。 172 勾股定理的逆定理（二）勾股定理的
10、逆定理（二） 一、教学目标一、教学目标 1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点二、重点、难点 1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析三、例题的意图分析 例 1（P75 例 2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 例 2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的 逆定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从 而使用一些数学知识和数学方法。 五、例习题分析五、例习题
11、分析 例 1（P33 例 2） 分析：了解方位角，及方位名词； 依题意画出图形； 依题意可得 PR=121.5=18，PQ=161.5=24， QR=30； 因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知 QPR=90； PRS=QPR-QPS=45。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 例 2（补充）一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边 的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； 设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、
12、13； 根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。 六、课堂练习六、课堂练习 1 小强在操场上向东走 80m 后， 又走了60m， 再走100m 回到原地。小强在操场上向东走了 80m 后，又走 60m 的 方向是 。 2如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿， 早晨测得它的影长为 4 米，中午测得它的影长为 1 米，则 A、B、C 三点能否构成直角三角形？为什么？ 3如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入 我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行
13、120 海里， 乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40， 问：甲巡逻艇的航向？ 七、课后练习七、课后练习 1一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别 为 ，此三角形的形状为 。 2一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD 固定，现 已知用去铁丝 AC=15 米，AD=13 米，又测得地面上 B、C 两点之间距离是 9 米，B、D 两点之间距离是 5 米，则电 线杆和地面是否垂直，为什么？ BA C D P N E S Q R A BC D E N AB C 3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小 明计算一下土地的面积， 以
14、便计算一下产量。 小明找 了一卷米尺， 测得 AB=4 米， BC=3 米， CD=13 米， DA=12 米，又已知B=90。 八、参考答案：八、参考答案： 课堂练习：课堂练习： 1向正南或正北。 2能，因为 BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以 BC2+AC2= AB2； 3由ABC 是直角三角形，可知CAB+CBA=90，所以有CAB=40，航向 为北偏东 50。 课后练习：课后练习： 16 米，8 米，10 米，直角三角形； 2ABC、ABD 是直角三角形，AB 和地面垂直。 3提示：连结 AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此CAB=90， S四边形=SADC+SABC=36 平方米。 D C A B
