1、解决计数问题的一般思维过程：要完成的一件事如何完成这件事方法的“分类”过程的“分步”利用分类加法计数原理计数利用分步乘法计数原理计数分类要做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.题型一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用1.1.从5 5名同学中选出正、副组长各1 1名，有多少种不同的选法？解：要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”，分两步完成：第1步，选正组长，有5种方法；第2步，
2、选副组长，有4种方法，所以共有54=20种。2.2.在1 1,2 2，500500中，被5 5除余2 2的数共有多少个？法一：解：被5除余2的数的末位是2或7，在1，2，500中符合题意的数分为3类：第1类：一位数，只有2，7两个数；.第2类：两位数，个位数有2，7两种取法，十位数有9种取法，共有29=18个数；第3类：三位数，个位数有2，7两种取法，十位数有10种取法，百位数可以为1，2，3，4，共4种取法，共有2104=80个数。所以，N=2+18+80=100.N=2+18+80=100.题型一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用1.1.从5 5名同学中选出正、副组长各1 1名
3、，有多少种不同的选法？解：要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”，分两步完成：第1步，选正组长，有5种方法；第2步，选副组长，有4种方法，所以共有54=20种。2.2.在1 1,2 2，500500中，被5 5除余2 2的数共有多少个？法二：5=k.25=k.2=5k+25k+2=99k0解得：是正整数，其中所以k5002+5k 1所以，N=100.N=100.练习1：（课本12页 8题）,(n-1)个点为线段左端点时，右端分别有(n-2)，(n-3)，.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；练习1:本例中的区域改为如图所示,其他条件
4、均不变,则不同的涂法共有多少种?于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种).练习1：（课本12页 8题）解：分3步来解决，由于各位上的数字可重复，因此三位数中每一位都有5种来法，所以共可以组成555=125个三位数.解：分3步来解决，由于各位上的数字可重复，因此三位数中每一位都有5种来法，所以共可以组成555=125个三位数.第1类,不同色,则所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成四步来完成.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种).将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有
5、多少种不同的涂色方法?在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；在1,2，500中，被5除余2的数共有多少个？第2步涂，从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第1步：选一个百位数字，5种；于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种).解:第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.第2步，选副组长，有4种方法，所以共有54=20种。第3步涂，与第4步涂时,分别有3种涂法.解:第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.第1步：选一个百位数字，5种；第一步，安排第一天的值班人员，有7种方法；由分类加法
6、计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法.第2步：选一个十位数字，4种；（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？第2类,同色,则不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.易错点：分不清两个计数原理，首先明确“要完成的一件事”，如何完成？分类还是分步，然后合理选择计数原理。在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；题型一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用变式1：各位上的数字不可以重复？变式2：0.1.2.3.4 可以组成多少个三位数？（各位上的数字不可以重复）3.3.由数字1 1，2 2，3 3，4 4，5 5
7、可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？解：分3步来解决，由于各位上的数字可重复，因此三位数中每一位都有5种来法，所以共可以组成555=125个三位数.解：分3步来解决，由于各位上的数字不可重复，第1步：选一个百位数字，5种；第2步：选一个十位数字，4种；第3步：选一个个位数字，3种所以共可以组成543=60个三位数.解：分3步来解决，由于各位上的数字不可重复，第1步：选一个百位数字，在1，2，3，4四个数里选一个，4种选择；第2步：选一个十位数字，4种；第3步：选一个个位数字，3种；所以共可以组成443=48个三位数.4.4.任意画一条直线，在直线上任取n n个分点.（1 1）从这n
8、n个分点中任取2 2个点形成一条线段，可得到多少条线段？（2 2）从这n n个分点中任取2 2个点形成一个向量，可得到多少个向量？解：（1）当直线上左起第1个点为线段的左端点，右端有（n-1）种取法，可得到（n-1）条线段，类似地，当直线上左起第2,3,.,(n-1)个点为线段左端点时，右端分别有(n-2)，(n-3)，.，1种取法，分别得到(n-2)，(n-3)，.，1条线段，所以共得到 条线段。（2）因为每条线段都对应两个向量，所以由（1）可知共可得到 个向量。21)-n(n=1+.+3)-(n+2)-(n+1)-n（1)-n(n21)-n(n2.1 12 23 3n-1n-14 4n n
9、（n-1）条线段题型二：投信问题例1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法有多少种？43练习1：（课本12页 8题）（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是34还是43？（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53？易错点：分不清两个计数原理，首先明确“要完成的一件事”，如何完成？分类还是分步，然后合理选择计数原理。解：（1）一件事情是“4名同学分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”，应该是人选运动队，所以不同报法种数是34.（2）一件事情是“3个班分别从5个景点中选择一处游览”，应该
10、是班选景点，故不同的选法种数是53.（2）因为每条线段都对应两个向量，所以由（1）可知共可得到 个向量。第2步涂，从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第1步涂，从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第2步，选副组长，有4种方法，所以共有54=20种。利用分类加法计数原理计数第2步：选一个十位数字，4种；第3类：三位数，个位数有2，7两种取法，十位数有10种取法，百位数可以为1，2，3，4，共4种取法，共有2104=80个数。除第二天值班的人外（包括第一天值班的人），剩余6人都可安排。解：分3步来解决，由于各位上的数字不可重复，第2类：两位数，个位数有2，7两种取法，十位数有9种取法，共有29=
11、18个数；第2步，选副组长，有4种方法，所以共有54=20种。第2步：选一个十位数字，4种；练习1:本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？第2步：选一个十位数字，4种；于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种).（2）因为每条线段都对应两个向量，所以由（1）可知共可得到 个向量。练习1：（课本12页 8题）第1步涂,有5种涂法;第2步涂,有4种涂法;第3步涂,有3种涂法.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；练习1：（课本12页 8题）同理，第四、五、六
12、、七步均有6种方法。在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；第1类：一位数，只有2，7两个数；第1步：选一个百位数字，5种；解:第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.解：分3步来解决，由于各位上的数字可重复，因此三位数中每一位都有5种来法，所以共可以组成555=125个三位数.（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53？题型三：涂色类问题例2.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?解:
13、第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有43=12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5123=180(种)不同的涂法.当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有544=80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法.题型三：涂色类问题练习1:本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,
14、每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?法一：依题意,可分两类:不同色;同色.第1类,不同色,则所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成四步来完成.第1步涂,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第2步涂,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第3步涂与第4步涂时,分别有3种涂法和2种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5432=120(种).第2类,同色,则不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.第1步涂,有5种涂法;第2步涂,有4种涂法;第3步涂,有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种).综上可知,所求的涂色方
15、法共有120+60=180(种).题型三：涂色类问题练习1:本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?法二：第1步涂，从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第2步涂，从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第3步涂，与第4步涂时,分别有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5433=180(种).先涂相邻最多的方格。题型三：涂色类问题练习2：（课本12页 11题）在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每
16、天只需1人值班），不出现同一人；连续值班2天，有多少种可能的安排方法？解：利用分步乘法计数原理，分七步来求解。第一步，安排第一天的值班人员，有7种方法；第二步，安排第二天的值班人员，有6种方法；除第一天值班的人外，剩余6人都可安排。第三步，安排第三天的值班人员，有6种方法；除第二天值班的人外（包括第一天值班的人），剩余6人都可安排。同理，第四、五、六、七步均有6种方法。公上所述，共有7666666=26592.第3步涂，与第4步涂时,分别有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种).利用分步乘法计数原理计数（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量？第
17、2步，选副组长，有4种方法，所以共有54=20种。第1步：选一个百位数字，在1，2，3，4四个数里选一个，4种选择；变式1：各位上的数字不可以重复？解：要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”，分两步完成：第1步，选正组长，有5种方法；在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；变式1：各位上的数字不可以重复？解：要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”，分两步完成：第1步，选正组长，有5种方法；解决计数问题的一般思维过程：在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；第2类,同色,则不同色,
18、我们可将涂色工作分成三步来完成.，1条线段，所以共得到 条线段。第2步：选一个十位数字，4种；解:第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.练习3：（课本27页 17题）法一：依题意,可分两类:不同色;同色.第2步：选一个十位数字，4种；练习1：（课本12页 8题）第3步涂，与第4步涂时,分别有3种涂法.第2步：选一个十位数字，4种；由分类加法计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有43=12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5123=180(种)不同的涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种).在1,2，500中，被5除余2的数共有多少个？题型三：涂色类问题练习3：（课本27页 17题）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？解：可以按照、的顺序着色，所以不同的着色方法种数为 5433=180题型一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用；题型二：投信问题；题型三：涂色类问题；
