1、用向量的方法研究平面几何用向量的方法研究平面几何平面向量应用举例三维目标三维目标1.1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的平面几何问题的“三步曲三步曲”。2.2.明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。3.3.通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意
2、识，激发题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义。学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义。教学中要求尽量引导学生尽量引导学生使用信息技术这个现代教学中要求尽量引导学生尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段。化手段。重点难点重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的解决几何问题的“三步曲三步曲”。教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题。教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题。课时安排：课时安排：1课时课时一、复习提问一、复习提
3、问（1）向量共线的等价条件）向量共线的等价条件:ab 与与 共线共线 0,bRba11221221(,)(,)/0ax ybxyabx yx y，（2）平面向量基本定理）平面向量基本定理（3）平面向量的数量积）平面向量的数量积cosbaba平面几何简单定理平面几何简单定理（1）三角形中位线定理）三角形中位线定理（2）勾股定理）勾股定理ABCDE（3）圆周角定理）圆周角定理ABCO欧几里德欧几里德笛卡尔笛卡尔牛顿牛顿问题问题1：平行四边形是表示向量加法与减法平行四边形是表示向量加法与减法 的几何模型。如图，的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间
4、的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,A CA BA D ,DBABAD ABCD猜想：猜想：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,DBABAD ,A CA BA D ABCD解：A B,a A Db 设则2222A C,.ab D BabA BaA Db 设222A C A C()()2A Cababa aa bb ab baa bb
5、222B D=-2aa bb 同 理 2由(1)+得，222222B D=2()2(A D)A CabA B 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
6、系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。问题问题2 如图如图,平行四边形平行四边形ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别与分别与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC问题问题2 如图如图,平行四边形平行四边形ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别与分别与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT解：第一
7、步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；将平面几何问题转化为向量问题；第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；如距离、夹角等问题；A Ba A D=b A R=rA Cab.设，则ARAC 由于与共线，所以，我们设(),rn abnR1,2E BA BA Eab 又因为又因为EREB 与共线，所以，我们设1(),2ERm EBm ab ,A RA EE R 因 为第三步：把运算结果第三步：把运算结果“翻
8、译翻译”成几何元素。成几何元素。11rbm,22ab所以 （）11()bm,22n abab因此 （）1()02manb即 （n-m)0a b 由于向量,不共线，要使上式为，必须0102nmmn解得解得13nm1A R=A C3所 以 1=A C3TC 同 理 1R=A C3T于 是 AR=RT=TC探究探究1、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高 求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H由此可设aBCbCApCH利用ADBC，BECA，对应向量垂直。00
9、)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0B AC H 只 须 证 明0pB A 如 何 证？探究与思考探究探究2、如图已知、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使，使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解解：设bACaAB,则aAMbAN21,21由此可得abNPBN21baMQCM21baabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA即 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A
10、、Q三点共线AQPA/课堂小结课堂小结用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。因为有了运算，向量的因为有了运算，向量的力量无限，如果不能进力量无限，如果不能进行运算，向量只是示意行运算，向量只是示意方向的路标。方向的路标。课后作业课后作业1、教材、教材P125 习题习题2.5 A组组 1、2 2、预习教材、预习教材P124-125，思考下列问题，思考下列问题（1）怎么样把物理问题转化为数学问题？）怎么样把物理问题转化为数学问题？（2）如何用数学模型解释相应的物理现象？）如何用数学模型解释相应的物理现象？教学反思：教学反思：谢谢光临谢谢光临
