1、本章归纳整合知识网络要点归纳1导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门学科它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般的方法如求曲线的切线方程，函数的单调区间，函数的最值以及有关的实际问题4导数的应用主要体现在以下几个方面：(1)切线斜率：根据导数的几何意义，函数f(x)在xx0处的导数就是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率因此求函数在某点处的切线斜率，只需求函数在该点处的导数 (2)函数的单调性利用导数判断函数单调性的步骤是：确定函数f(x)的定义域；求导数f(x)；令f(x)0，解出x的取值范围，便得函数单调递增的区间，令f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函
2、数的极大值；若在点x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数的极小值(4)函数的最值在闭区间a，b上连续的单调函数f(x)，在a，b上必有最大值与最小值设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，先求出f(x)在(a，b)内的极值，然后将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大(小)者为最大(小)值.专题一求曲线的切线方程(1)导数的几何意义中切线的定义是割线通过极限思想得出的，即当x0时，连结(x0，f(x0)，(x0 x，f(x0 x)两点的割线就可得到切线(2)导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率(3)在已知曲线上某点处的切线有两
3、层含义：一是该点的导数值等于过该点切线的斜率；二是该点坐标满足已知曲线的方程(4)判断点是否在曲线上是正确求切线方程的关键：若P(x0，f(x0)是曲线yf(x)上的某一点，则过该点的切线方程为：yf(x0)f(x0)(xx0)；若点P不在曲线上，要先设出切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，再把已知点代入切线方程，从而得出所求方程【例1】已知函数f(x)x3(k1)x2k22(kR)，若过函数f(x)图象上一点P(1，a)的切线与直线xyb0垂直，求a的值解因为f(x)3x22(k1)xf(1)52k，又因为过P(1，a)的切线与直线xyb0垂直，所以(52k)11，解得k3，又P(1
4、，a)在函数f(x)的图象上，所以a13(31)1232210.反思感悟 本题主要考查导数的几何意义、两直线的垂直关系，考查多项式函数的导数，理解f(1)为切线的斜率、f(1)即为函数值a是解题的关键专题二导数的计算在求导过程中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简(可能化去了商或积)，然后进行求导，可避免使用商或积的求导法则，减少运算量反思感悟 求可导函数的导数的基本步骤：(1)分析函数yf(x)的结构和特征，注意是否为复合函数；(2)为简化运算，一般先化简再选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果专题三求函数的单调区间利用导数研究函
5、数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f(x)；(2)解不等式f(x)0或f(x)0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间；特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接【例3】已知aR，求函数f(x)x2eax的单调区间 解f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.(1)当a0时，若x0，则f(x)0；若x0，则f(x)0.所以，当a0时，函数f(x)在区间(，0)内为减函数，在区间(0，)内为增函数反思感悟 导数为研究函数的单调性提供了新的方法专题四求极值、最值求极值、最值，特别是三次函数的极值、最值、图象等内容是常见的试题，导数为
6、这类问题的解决提供了新的方法【例4】设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个 交点？反思感悟 本题考查三次函数的单调性、极值、应用导数基础知识解决问题的能力；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力，以及同学们对函数图象的直观理解和想象能力对文科学生来说属于难题专题五与最值有关的恒成立问题有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题，确定这个函数，要看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地，f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.题后反思 恒成立问题一般转化为求函数的
7、最值问题解决，而求函数的最值一般利用导数法来求解专题六导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点考题利用导数作为工具，求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题常出现，若以填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小极大题后反思 本例综合考查了利用导数研究函数
8、的单调性、极值、最值等有关问题解题中应注意数形结合、分类讨论、化归转化等思想方法的应用.命题趋势1导数是研究函数的重要工具，自从导数进入教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间，其中导数的概念和运算是导数的基础内容，在高考题中一般以容易题出现，并且在高考中所占的份量不大2由近三年的高考试题统计分析可以看出，导数的应用已经成为高考炙手可热的热点问题每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，因此搞好导数应用的复习非常有必要常见的考查角度如下：(1)对导数与函数的单调性的考查，求导确定函数的单调区间，已知函数的某一单调区间探求参数的范围等
9、(2)对导数与函数的极(最)值的考查，如：求函数的极值及闭区间上的最值，以极值或最值为载体考查参数的范围；解题关键在于准确理解极值(最值)的定义，善于利用分类讨论思想，等价转化思想去解题(3)对导数的综合应用的考查，与函数、方程、不等式、数列等联系进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数的值或范围解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决高考真题1(2011江西高考)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解 集为_ 答案(2，)2(2011广东高考)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值 解析由题意知f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)
10、0得x0或x2，由f(x)0得x0或x2，由f(x)0得0 x2.f(x)在x2处取得极小值 答案2答案214(2011全国高考)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减当1x1或x7时，f(x)0；当1x7且x3时，f(x)0.由以上讨论知，f(x)在区间(1,1，7，)上是增函数，在区间1,3)，(3,7上是减函数
