1、二项式定理二项式定理 2:44情景导入情景导入1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的年冬，牛顿研读沃利斯博士的无穷算术无穷算术 2()a b 3()a b?222baba2:44探究发现探究发现3a2a b3b03C13C33C3()a b 2ab23C 2()a b 2aab2b02C12C22C 1()a b 11Cab01C 问题问题1:1:你能将其他你能将其他()na b?问题问题2:2:你能得到你能得到(a+b)n n的展开式吗？的展开式吗？展开式写成类似的形式吗？展开式写成类似的形式吗？2:44探究发现探究发现思路：思路：an-rbr是从是从n个个(a+b)中取中取r个个b,和余下和余
2、下n-r个个a 相乘得到的相乘得到的,有有 种情况可以得到种情况可以得到an-rbr,(nN*)()na b .01122 2nnnnnnC aC ab C ab(nN*)故每一项都是故每一项都是an-rbr的形式，的形式，这这n个个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，每一项都中各任取一个字母相乘得到的，每一项都是是n次的。次的。r=0,1,n;展开式中为什么会有那几种类型的项？展开式中为什么会有那几种类型的项？展开式中各项的系数是怎么来的？展开式中各项的系数是怎么来的？(a+b)n是是n个个(a+b)相乘，相乘，因此因此,该项的系数为该项的系数为展开式中的每一项都是从展开式中的每一项都是从
3、?rnCrnCnnnrrnrnbCbaC2:44注注:(2)(2)定理中的定理中的a,ba,b仅仅是一种符号，它可以是仅仅是一种符号，它可以是任意任意的数或式子的数或式子什么的，只要是什么的，只要是两项相加的两项相加的n n次幂次幂，就，就能运用二项式定理展开。能运用二项式定理展开。(1)(1)公式左边叫作公式左边叫作二项式二项式，右边叫作，右边叫作(a+b)n的的二项展开式二项展开式；概念理解概念理解nnnrrnrnnnnnnnnnnbCbaCbaCbaCbaCaCba333222110)(nN*)r=0,1,n;2:44实战演练实战演练求二项式求二项式 的展开式的展开式。4)1(xx422
4、44442342421440441146411)1(xxxxxCxCCxCxCxx解解:用x代替公式中的a，用1/x代替公式中的b再次强调了定理中的再次强调了定理中的a,ba,b仅仅是一种符号，它可以是仅仅是一种符号，它可以是任意任意的数或式子的数或式子，只要是，只要是两项相加的两项相加的n n次幂次幂，就能运用二项式，就能运用二项式定理展开。定理展开。2:44（a）二项式展开式的项数、次数的规律是什么？（1）项数：有n+1项（b）二项式展开式中哪一项最有代表性？二项展开式的二项展开式的通项通项：1rT,rrnrnbaCnr,2,1,0概念理解概念理解nnnrrnrnnnnnnnnnnbCba
5、CbaCbaCbaCaCba333222110)(（c）展开式中那些组合数 (r0，1，2，n)称为二项式系数。那它是不是等于展开式的系数呢？rnC（2）次数：各项的次数都为n字母字母a a按按降幂降幂排列，次数由排列，次数由n n递减到递减到0 0,字母字母b b按按升幂升幂排列，次数由排列，次数由0 0递增到递增到n n .(nN*)r=0,1,n;2:44061524266611(2)(2)()(2)()CxCxCxxx 61(2)xx 32236012164192240160 xxxxxx 333424556666661111(2)()(2)()(2)()()CxCxCxCxxxx 的
6、展开式如下：已知二项式（6)x1x2（2 2）、展开式的第）、展开式的第3 3项系数是多少？项系数是多少？（3 3）、展开式的第）、展开式的第3 3项二项式系数是多少？项二项式系数是多少？（1 1）、展开式的第）、展开式的第3 3项是多少？项是多少？2:44061524266611(2)(2)()(2)()CxCxCxxx 解解:61(2)xx 32236012164192240160 xxxxxx 333424556666661111(2)()(2)()(2)()()CxCxCxCxxxx 实战演练实战演练思考：你能否不求展开式直接求展开式的第3项系数？2:44实战演练实战演练解解:xxxC
7、TT240122426123所以，第三项为240 x；第三项二项式系数为15；第三项系数为240。显然二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a、b无关；系数，与a、b有关。（利用通项公式来求解）2:44实战演练实战演练解解:（4 4）、）、求展开式的常数项。求展开式的常数项。rrrrxxCT)1()2(6613,026rr根据题意，1602336134CTT则常数项为rrrrxC2666)()1(26)x1x2已知二项式（二项展开式的通项公式，其中含有二项展开式的通项公式，其中含有a a，b b，n n，r r，T T 五个五个量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，
8、可以求另量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，可以求另外的几个如求特定项、特定项系数等。外的几个如求特定项、特定项系数等。2:44实战演练实战演练例例3、已知、已知 的二项展开式中，前三的二项展开式中，前三项系数成等差数列项系数成等差数列，nxx4121（1 1）求）求n n；（2）求二项式展开式所有有理项的二项式）求二项式展开式所有有理项的二项式系数和；系数和；2:44实战演练实战演练解解:(1)(1)1T2T3TnnxCT)(0014111121xxCTnn24221221xxCTnn前三项的系数分别为2141,21,1nnCC成等差数列。21411nnCC0892nn)(1,8舍nn2:44实战演练实战演练解解:rrrrrrrxCxxCT43484881)21(21)(Zr43480 r8,4,0rr一定是4的倍数，根据题意，所以有理项为T1，T5，T9，所以有理项的二项式系数和72884808CCC2:44感悟感悟 分享分享
