1、 微专题 39 传统不等式的解法 一、基础知识 1、一元二次不等式： 2 00axbxca 可考虑将左边视为一个二次函数 2 f xaxbxc，作出图像，再找出x轴上方的部分 即可关键点：图像与x轴的交点 2、高次不等式 （1）可考虑采用“数轴穿根法” ，分为以下步骤： （令关于x的表达式为 f x，不等式为 0f x ） 求出 0f x 的根 12 ,x x 在数轴上依次标出根 从数轴的右上方右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根 观察图像， 0f x 寻找x轴上方的部分 0f x 寻找x轴下方的部分 （2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次
2、项 为零时是否符合不等式 3、分式不等式 （1）将分母含有x的表达式称为分式，即为 fx g x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即 0g x （3）对形如 0 fx g x 的不等式，可根据符号特征得到只需 ,f xg x 同号即可，所以将 分式不等式转化为 0 0 f xg x g x （化商为积） ，进而转化为整式不等式求解 4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性 （2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论 （常用） ；二是通过平方 （3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： fxg x的解集与 f xg
3、x或 f xg x 的解集相同 fxg x的解集与 g xf xg x的解集相同 （4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨 论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法： （1）先讲一个不等式性质与函数的故事 在不等式的基本性质中， 有一些性质可从函数的角度分析， 例如：abacbc ， 可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c） ，将相同的变换视为一个函数相同的变换视为一个函数，即设 fxxc，则 ,acf abcf b，因为 f xxc为增函数，所以可得： abf af b，即abacbc 成立，再例如： 0, 0, ca
4、cbc ab cacbc ， 可设函数 fxcx，可知0c 时， f x为增函数，0c时， f x为减函数，即 0, 0, cf af b ab cf af b 由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函 数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数不变号，减函数变增函数不变号，减函数变 号号 在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：ab，则 1 1 , a b 的关 系如何？设 1 fx x ，可知 f x的单调减区间为 ,0 , 0,，由此可判断出：当, a b 同号时， 11 ab ab （2）指对数不等式：解指对数不
5、等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对 数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是 x ya还 是log0,1 a yx aa，其单调性只与底数a有关：当1a 时，函数均为增函数，当 01a时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与 1 的大小， 规律如下： 1a 时，xy loglog( ,0) xy aa aa xy x y 01a时，xy loglog( ,0) xy aa aa xy x y 进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了 （3）对于对数的两个补充 对数能够成立，要求真数大于 0，所以在解对数不等式时
6、首先要考虑真数大于 0 这个条件， 如当1a 时， 0 loglog0 aa f x f xg xg x f xg x 如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1” ：因为1logaa，可作为转换的桥梁 例如： 2 2.5log？ 2.5 222 2.52.5 12.5 log 2log 2log32 某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简 化， 进而解决问题， 例如： 2 23 240 xx ， 可将为2x视为一个整体， 令2xt ， 则0t ， 则不等式变为 2 3404104ttttt ，24 x ，两边可同取以 2 为底 对数 2 log 42x
7、6、利用换元法解不等式 （1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制， 而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通 过将2x视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解 （2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而 要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初若换元，则先考虑新元的初始范围始范围 （3）利用换元法解不等式的步骤通常为： 选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个 整体 求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不
8、等式 解出新元的范围 在根据新元的范围解x的范围 二、典型例题： 例 1：解下列一元二次不等式： （1） 2 340xx （2） 2 410xx （3） 2 450xx （4） 2 430xx 解（1） 2 340xx410xx 即 2 34f xxx与x轴的交点为1,4xx 由图像可得满足 0f x 的x的范围为14x 不等式的解集为1,4 （2） 令 2 41f xxx，则 0f x 可解得： 42 3 23 2 x -1 4 作图观察可得：23x 或23x 不等式的解集为 ,2323, （3）令 2 45f xxx，则 0f x 中，0 则 f x与x轴无公共点，即恒在x轴上方，xR 注
9、：由（1） （2）我们发现，只要是0a ，开口向上的抛物线与x轴相交，其图像都是类似 的，在小大根之间的部分 0f x ，在小大根之外的部分 0f x ，发现这个规律，在解一 元二次不等式时便有了更为简便的口诀 让最高次项系数为正 解 0f x 的方程，若方程有解，则 0f x 的解集为小大根之外， 0f x 的解集为 小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可 （4）解：先将最高次项系数变为正数： 22 430430xxxx 方程 2 430xx的根为 42 7 27 2 x 不等式的解集为 , 2727, 例 2：解下列高次不等式： （1）1230xxx （2） 2 1230xxx （1）
10、解： 123f xxxx 则 0f x 的根 123 1,2,3xxx 作图可得：12x 或3x 不等式的解集为1,23, （2）思路：可知 2 20x ，所以只要2x ，则 2 2x 恒正，所以考虑先将恒正恒负的 因式去掉，只需解 130 20 xx x ，可得13x 且2x 不等式的解集为1,22,3 小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。 穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图 1 2 像中的数轴分为上下两个部分，上面为 0f x 的部分，下方为 0f x 的部分。以例 2 （1）为例，当3x 时，每一个
11、因式均大于 0，从而整个 f x的符号为正，即在数轴的上方 （这也是为什么不管不这也是为什么不管不等号方向如何等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时因为此时 f x的符号一定为正的符号一定为正） ，） ，当经过3x 时，3x由正变负，而其余的式子符号未变，所以 f x的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时， f x的 符号再次发生改变， 曲线也就跑到x 轴上方来了。 所以图像的图像的“穿根引线穿根引线”的实质是的实质是 f x在在 经历每一个根时经历每一个根时，式子符号的交替变化式子符号的交替变化。 例 3：解下
12、列分式不等式： （1） 21 0 3 x x （2） 2 2 43 0 68 xx xx 解： （1）不等式等价于 2130 1 ,3 230 xx x x 不等式的解集为 1 ,3 2 （2）不等式等价于 22 2 4368013240 24 680 xxxxxxxx xx xx 且 解得： 1234 24 xx xx 或 且 不等式的解集为1,23,4 例 4： （1） 21 1 3 x x （2） 2 2 1 x x （3） 2 1 612 x xx 分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等 号方向是否改变） ，通常是通过移项，通分，
13、将其转化为 0 fx g x 再进行求解 解： （1） 2121 110 33 xx xx 4304 04 330 xx x x xx 或3x 不等式的解集为,34, （2） 2 2 1 x x 2 21212 20000 1111 xxx xxx x xxxx 110101 110 x xxxx xx 或 不等式的解集为 1,01, （3）思路：观察发现分母 2 2 612330xxx很成立，所以考虑直接去分母，不 等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了 解： 2 2 1612 612 x xxx xx 2 7120340xxxx 34x 不等式的解集为3,4 例 5：解不等式
14、： （1） 2 3xxx （2） 22xx xx 解： （1）方法一： 所解不等式可转化为 2 2 2 340 33 02 3 xxxxor x xxxx x xxx 02x 方法二：观察到若要使得不等式 2 3xxx成立，则300xx，进而 2 xx内部恒 为正数，绝对值直接去掉，即只需解 2 3xxx即可。解得02x 不等式的解集为0,2 （2）思路：观察可发现不等号左右两端式子相同，一个数的绝对值大于它本身，则这个数一 定是负数，所以直接可得： 2 002 x x x 不等式的解集为0,2 小炼有话说：含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法 例 6：解不等式： （1）125
15、xx （2）2120xx 解： （1）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论 令两个绝对值分别为零，解得：2,1xx ，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论 1x 不等式变为1252xxx 12x 21x 时，不等式变为12535xx 21x 时不等式均成立 2x 不等式变为1253xxx 32x 综上所述：不等式的解集为3,2 小炼有话说：零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需 要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些 细节部分均要做好，才能保证答案的正确性 （2）思路：本题依然可以仿照（1）的方式进行零点
16、分段，再解不等式，但从另一个角度观 察， 所解不等式为212xx， 两边均是绝对值 （非负数） ， 所以还可以考虑两边平方 （所 用不等式性质： 22 0abab）一次将两个绝对值去掉，再进行求解。 解：212xx 22 22 21244144xxxxxx 2 3311xx 不等式的解集为1,1 例 7：解下列不等式： （1） 2 3 2 1 2 2 x x （2） 2 21 0.20.04 xx （3） 2 2 log23xx （4） 2 1 log21 x xx 解： （1） 2 3 2 1 2 2 x x （2） 2 21 0.20.04 xx 2 32 22 xx 2 65 2 0.2
17、0.2 xx 2 32xx 2 652xx 2 230xx 2 670xx 3x或1x 17x 不等式的解集为, 13, 不等式的解集为1,7 （3） 2 2 log23xx 2 22 2 log2log 8 20 xx xx 2 2 2824 2002 xxx xxxx 或 20x 或24x 不等式的解集为2,02,4 （4） 2 1 log21 x xx 2 11 log2log1 xx xxx 2 2 21 11 20 xxx x xx 或 2 2 21 011 20 xxx x xx 可解得：3x 不等式的解集为3, 例 8：解下列不等式： （1）94 3120 xx （2） 11 2
18、 1 loglog11 4 x x （3） 1 21 1 268 2 x x （4） 2 331xx （1）思路： 2 93 xx ，从而可将3x视为一个整体，则所解不等式可看做关于3x的二次不等 式，解出3x的范围，再反求x的范围即可 解：94 3120 xx 2 34 3120 xx 令3 ,0 x tt 2 412006ttt 即 3 036log 6 x x 不等式的解集为 3 ,log 6 （2）思路：观察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式： 1 log log a b b a ，从而选择一项进行变形（比如选择 1 1 log 4 x )，再将 1 2 lo
19、g1x 视为一个 整体解不等式，解出 1 2 log1x 的范围后进而求出x的范围 解： 11 2 1 loglog11 4 x x 11 1122 42 101 112 12 log11log11 log1log1 xx xx xx xx 令 1 2 tlog1x 0t 不等式转化为： 2 22 100210 tt tt tt tt 2t 或01t ，即 1 2 log12x 或 1 2 0log11x 可解得：5x 或 3 2 2 x （3） 1 21 1 268 2 x x 2 2 1 21 62823 28 22 x xxx 2 262160 xx 令2 ,0 x tt 不等式转化为：
20、 2 616008ttt 即0283 x x 不等式的解集为,3 （4）思路：所解不等式等价于 2 133 1xx ，本题可以考虑对x的符号进行讨论，从 而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面，可发现 2 2 xx，从而所解不等式转化为： 2 2 331 331 xx xx ，将x视为一个整体，先解出x范围，进而解出x的范围 解： 22 3311331xxxx 2 2 331 331 xx xx 令0tx，所解不等式转化为 2 2 331 331 tt tt 即 2 2 317 320 2 34004 ttt ttt 317 4 2 t 即 317 4 2 x 317 4 2 x 或 317 4
21、 2 x 不等式的解集为 317317 4,4 22 例 9：已知不等式 2 2 log362axx的解集为,1,+b，则a _，b_ 思路：所解不等式 2 22 22 360 log36log 4364 axx axxaxx ，即 2 2 360 320 axx axx ， 观察可得只要x让第二个不等式成立，则第一个一定成立。所以只需解 2 320axx。由 已知可得此不等式的解集为,1,+b，则1,xxb为 2 320axx的两根，代 入1x 解得1a ，再解得2b 答案：1,2ab 小炼有话说：解多个同时成立的不等式时，不妨观察它们之间是否存在“替代”关系，从而 简化所解不等式的个数 例 10：已知不等式 2 2 log251axx的解集为R，则a的取值范围是_ 思路：所给条件等价于 2 2 252 250 axx axx 的解集为R，即 2 230axx的解集为R，由此 可得： 0 4120 a a 解得： 1 0 3 a 答案： 1 0 3 a
