1、 微专题 42 利用函数性质与图像比较大小 一、基础知识： （一）利用函数单调性比较大小 1、函数单调性的作用： f x在, a b单调递增，则 121212 ,x xa b xxf xf x(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数 值大小关系的桥梁）值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1） f x g xfx g xf x gx （2） 2 f xfx g xf x gx g xgx 3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式： 0fxf x单调递增； 0fxf x单调递减 （2）定义形式： 12 12 0 f xf x xx 或 1212
2、0xxfxfx ：表示函数值的差与 对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合 着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可 以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关 系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 （3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间 中进行比较 （二）数形结合比较大小 1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草
3、图观察得到诸如“距轴越近， 函数值越”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系 （1）若 f x关于xa轴对称，且, a 单调 增， 则图像可能以下三种情况， 可发现一个共同点： 自变量距离轴越近，其函数值越小 （2）若 f x关于xa轴对称，且, a 单调 减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点： 自变量距离轴越近，其函数值越大 2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。 抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判 断出自变量的大小 三、例题精析： 例 1：对于R上可导的任意函数
4、f x，若满足 2 0 x fx ，则必有（ ） A. 1322fff B. 1322fff C. 1322fff D. 1322fff 思 路 ： 由 2 0 x fx 可 按 各 项 符 号 判 断 出2x与 fx异 号 ， 即2x时 ， 0fx ,2x 时， 0fx f x在,2单调递减，在2,+上单调递增 min 2f xf，进而 12 ,32ffff 1322fff 答案：C 小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的 符号。这样做可以简化表达式的运算。 例 2： 已知定义域为R的奇函数 f x的导函数为 fx，当0x时， 0 f x fx x
5、， 若 11 ,22 ,ln2ln2 22 afbfcf ，则下列关于, ,a b c的大小关系正确的是（ ） A. bac B. acb C. cba D. bca 思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的, ,a b c的结构均为 xf x的 形式，故与不等式找到联系。当0x时， 0( )( )0 f x fxxfxf x x ，即 0xfx，令 ( )g xxf x，由此可得 g x在0,上单调递增。 f x为奇函数， 可判定出 g x为偶函数，关于y轴对称。 1 ,2 ,ln2 2 agbgcg ，作图观察距 离y轴近的函数值小，ln2 与 1 2 可作差比较大小：
6、1114 ln22ln2 1ln0 222e 进而可得：bca 答案：D 例 3 ： 函 数( )f x在 定 义 域R内 可 导 ， 若( )(2)f xfx， 且 当,1x 时 ， 1( )0xfx，设 1 (0),(3) 2 afbfcf ，则, ,a b c的大小关系是（ ） A. abc B. bac C. bca D. cab 思路：由( )(2)f xfx可判断出 f x关于1x 轴对称， 再由 1( )0xfx， 可得1x 时， 0fx ， 所以 f x 在,1单调递增，由轴对称的特点可知： f x在1, 单调递减。作出草图可得：距离1x 越近的点，函数值越大。 所以只需比较自
7、变量距离1x 的远近即可判断出bac 答案：B 例 4： 已知 f x是周期为2的偶函数， 且在区间0,1上是增函数， 则 5.5 ,1 ,0fff 的大小关系是（ ） A. 5.501fff B. 15.50fff C. 05.51fff D. 105.5fff 思路： f x的周期为2，所以可利用周期性将自变量放置同一个 周期内：5.50.5ff， 而由 f x偶函数及0,1单调递增， 作图可知在区间1,1中，距离y轴近的函数值小，所以有 00.55.51ffff 答案：C 小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从 而代替原来的自变量。 例 5： 已
8、知函数1f x 为偶函数， 当1,x时， 函数 sinf xxx， 设 1 2 af ， 3 ,0bfcf，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. cab C.bca D. bac 思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析 f x的性质，由1f x 为 偶函数可得：11fxf x ， 从而 f x关于1x 轴对称， 当1,x， 可计算 cos10fxx ， 所以 f x在1, 单调递减，结合对称性可得距离对称轴1x 越近，函数值越大，所 以 1 30 2 fff 答案：D 小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对 sinfxx
9、x的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。 所以说题目中有的 条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。 例 6：已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在区间0,上是增函数，令 2 sin 7 af ， 55 cos,tan 77 bfcf ，则, ,a b c大小关系为_ 思路：由 f x为偶函数且在0,单调递增可得距离y轴越近，函数值越小。所以需比较 , ,a b c自变量与y轴距离： 522522 cos= cos=cos, tan= tan=tan 777777 ，则需比 较 222 sin,cos,tan 777 的大小，因为 2 74 ，所以
10、 222 tan1sincos 777 ，所以 cab 答案：cab 小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解 成这两步分别处理即可。 在比较三角函数时， 本题有这样两个亮点： 一是 “求同存异” 发现, ,a b c 涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二是利用 好“桥梁” ，比较的关键之处在与 4 这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值与 1 大小的分界线，而正余弦不大于 1，所以 2 7 的正切值最大；另一条是正余弦大小的分界线， 0, 4 时，sincos；而, 4 2 时，sincos。 例 7：已知
11、函数 2 log1yx，且0abc，则 , f af bf c abc 的大小关系是 （ ） A. f af bf c abc B. f cf bf a cba C. f bf af c bac D. f af cf b acb 思路：本题具备同构特点 2 log1fxx y xx ，但导数 2 2 log1 1 ln2 x x x y x 难于分析 f x 单调性，故无法 比较 , f af bf c abc 的大小。换一个角度，可发现 f x的图像可作，且 f x x 具备几何 含义，即 0 0 f xf x xx ，即 , x f x与原点连线的斜率。所以作出 f x的图像，可观 察到图
12、像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0abc可得： f cf bf a cba 答案：B 例8 ： 已 知 函 数 f x在R上 可 导 ， 其 导 函 数 为 fx， 若 f x满 足 ： 10,xfxfx 2 2 2 x fxf x e ，则下列判断一定正确的是 （ ） A 10ff B 20fef C 3 30fe f D 3 40fe f 思路：联系选项分析条件 10xfxfx ：当1x 时， 0fxfx， 2 0 xx x e fxe f x e 即 0 x fx e 令 x f x F x e F x在1,单调递增， 而 选项中 1 ,0ff均不在单增区间中，考虑利用
13、2 2 2 x fxf x e 进行转换。首先要读 懂 2 2 2 x fxf x e 说的是2fx与 f x的关系， 而2x与x刚好在1x 的两侧， 所以达到一个将1x 左侧的点转到右侧的作用。在 2 2 2 x fxf x e 中令2x 可得： 2 2 2 02 f ffe e ，可代入 B,C 选项进行比较，C 正确。而 A,D 两个选项也可以代入 进行验证。 答案：C 小炼有话说：由于 xx ee，所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。所 以对于形如 ( )0,0f xfxf xfx等轮流求导的式子可猜想隐含 x e项，进而结 合选项进行变形 例 9： 定义在0, 2 上
14、的函数 f x，( )fx为它的导函数， 且恒有 ( ) tanf xfxx成立， 则（ ） A. 32 43 ff B. 12sin1 6 ff C. 2 64 ff D. 3 63 ff 思路：尽管发现 ( ) tanf xfxx存在轮流求导很难直接发现乘除关系。看选项不难发现 规律： 434343 32 432323 sinsin 43 22 ffffff ff 16 12sin1 6sin1 sin 6 f f ff 等，不等号两侧均为 sin f x y x 的形式，其导函数为 2 ( )sincos( ) sin sin f xfxxxf x x x 于 是 考 虑 构 造 条 件
15、 中 的 不 等 式 ： sin ( ) tan( ) cos x fxfxxfxfx x sincos0fxxf x 2 ( )sincos( ) 0 sin fxxxf x x 即 0 sin fx x , sin f x y x 在0, 2 上单调递增， 根据单调性 即可判断四个选项是否正确 答案：D 例 10：设 123 ,x x x均为实数，且 123 213223 111 log1 ,log,log 333 xxx xxx ，则 123 ,x x x的大小关系为（ ） A. 132 xxx B. 321 xxx C. 312 xxx D. 213 xxx 思路：本题单从指对数方面，
16、不便于比较 123 ,x x x大小。进一 步可发现 123 ,x x x均可视为两个函数的交点，且每一个等式的 左侧为同一个函数 1 3 x y ，而右侧也都可作图，所以考虑 在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出 123 ,x x x的大小 答案：A 三、历年好题精选 1 1、 （20162016，内江四模）设，内江四模）设函数函数)(xf在在 R R 上存在导数上存在导数)(x f ，在，在)0(，上上xxf2sin)(， 且Rx，有xxfxf 2 sin2)()(，则以下大小关系一定正确的是（ ） A. 54 63 ff B. 4 ff C. 54 63 ff D. 4 f
17、f 2、 （2015，福建）若定义在R上的函数 f x满足 01f ，其导函数 fx满足 1fxk，则下列结论中一定错误的是（ ） A. 11 f kk B. 11 1 f kk C. 11 11 f kk D. 1 11 k f kk 3、 （2015，陕西文） 设 ln ,0f xxab，若 1 , 22 ab pfabqfrf af b ，则下列关 系式中正确的是（ ） A. qrp B. qrp C. prq D. prq 4 、 （ 2015， 天津 ）已知 定义 在R上 的函 数 21 x m f xmR 为偶 函数 ，记 0.52 log3 ,log 5 ,2afbfcfm，则,
18、 ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. cab D. cba 5、 （2014，山东）已知实数, x y满足01 xy aaa，则下列关系式恒成立的是（ ） A. 22 11 11xy B. 22 ln1ln1xy C. sinsinxy D. 33 xy 6、已知 log1 a f xx a的导函数是 fx，记 ,1AfaBf af a ,1Cfa，则（ ） A. ABC B. ACB C. BAC D. CBA 7、定义在R上的可导函数 f x，当1,x时， f xfxxfx恒成立， 1 2 ,3 ,212 2 afbfcf，则, ,a b c的大小关系为（ ）
19、 Acab Bbca Cacb Dcba 8、（2014 陕西省五校联考 10）已知( )f x为R上的可导函数，且,xR 均有 ( )f xfx，则有（ ） A 20132013 ( 2013)(0),(2013)(0)efffef B 20132013 ( 2013)(0),(2013)(0)efffef C 20132013 ( 2013)(0), (2013)(0)efffef D 20132013 ( 2013)(0),(2013)(0)efffef 习题答案：习题答案： 1、答案：C 解析：由xxf2sin)(可得：可得： 1 sin20cos20 2 fxxf xx 设 1 co
20、s2 2 g xf xx，则 g x在0,单调递减 2 cos22sincos21g xgxf xfxxxx 1g xgx ，可得 g x关于 1 0, 2 中心对称 g x 在R上单调递减且 1 cos2 2 f xg xx 分别比较四个选项，可知在 C 选项中： 551551 cos 662364 fgg 441841 cos 332334 fgg 再由 45 36 gg 可知) 3 4 () 6 5 ( ff 2 2、答案：C 解析：构造函数 g xf xkx，则 0g xfxk，即 g x在R上为增函数， 因为1k ，所以 1 0 1k ， 11 01 111 k ggf kkk ，所
21、以可得： 11 11 f kk ，C 错误。其它选项则无法判断对错 3 3、答案：C 解析： 11 ln,ln,lnlnln 2222 abab pfabab qfrabab ，所以 pr，由0ba可得 2 ab ab ，从而prq 4 4、答案：C 解析：通过数形结合可知 21 x m f x 为偶函数时0m，即 21 x f x ，作图可知 距离y轴越近的点，其函数值越小。考虑 0.522 0log3log 3log 5 ，所以cab 5 5、答案：D 解析：由01 xy aaa可得：xy，观察到四个选项不等号两侧式子同构，所以构造 函数，利用单调性即可判断不等式是否成立： 2 1 1 A
22、 fx x 在,0单增，在0,单 减，所以不恒成立。同理 2 ln1 B fxx， C fx均不单调，所以不等式不能恒成立。 3 D fxx为增函数，所以由xy可得 33 xy 6 6、答案：A 解析： 1 1 1 f af a Bf af a aa 可视为1,xaxa两点连线斜率，而 ,A C分别为 f x曲线在,1xa xa处的切线斜率，数形结合可得：ABC 7 7、答案：A 解析：题目条件为 10xfxf x，具备轮流求导特点，可猜测所研究的函数为 1 f x F x x ，从, ,a b c中也印证这一点： 22 121 ff a ， 3 3 1 f b ， 2 21 f c ， 进而分析 F x， 2 1 0 1 xfxf x Fx x F x为在1,单调递增，所以 223FFF 即cab 8、答案：A 解析：对四个选项进行变形可发现所比较的两项结构均呈现 x f x y e 的形式，而条件 ( )0f xfxf xfx，体现轮流求导的特点。验证： 2 xx xxx f xe fxe f xfxf x eee ，刚好和条件找到联系。 0 x fx e x f x y e 单调递减 20130 20130ff ee ， 2013 20130 20130 (2013)(0) ff fef ee
