1、 微专题 60 三视图几何体的面积问题 一、基础知识： 1、常见几何体的表面积计算： （1）三角形面积：设ABC的底为a，高为h，则 1 2 ABC Sa h （2）圆形面积：设圆的半径为r，则 2 Sr （3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为r，高为h，则侧面积为2Sr h （4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为 r，母线长为l，则侧面积为Srl （5） 圆台的侧面积： 设圆台上下底面半径分别为, r R， 母线长为l， 则侧面积为SRr l （6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起 （7）球的面积：设球的半径为R，则球的表面积为 2 4SR 2、轴截面：对于旋转体（圆
2、柱，圆锥，圆台） ，用轴所在的平面去截几何体，得到的截面称 为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应。 （1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高 （2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的 高，腰对应圆锥的母线长 （3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对 应圆台的高，腰对应圆台的母线 3、三视图解面积的步骤： （1）分析出所围成的几何体的特征（柱，锥，台还是组合体） （2）确定所求几何体由哪些面组成 （3）根据围成的面的特点，寻找可求出面积的要素，进而求出面积 （4
3、）将各部分面积求和即可得到几何体的表面积 4、求表面积要注意的几点： （1）三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应。 （2）圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素，例如已知圆锥的高和底面半径，通过轴 截面可求出圆锥的母线长 （3）当几何体被切割时，要注意截面也算在表面积之列。 （4）如果几何体是由多个简单几何体拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在几何体之中，进 而在求表面积时不予考虑。 二、典型例题： 例 1：一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如图所示，则该几何体的侧面积为 _ cm 思路：通过三视图可判断出该几何体为正四棱锥，所以只 需计算出一个侧面三角形的面积，乘 4 即为侧面
4、积。通过 三视图可得侧面三角形的底为 8（由俯视图可得） ，高为 5 （左侧面的高即为正视图中三角形左腰的长度） ，所以面积 为 1 1 5 820 2 S ，所以侧面积为 1 480SScm 答案：80 例 2：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 为 思路：由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其 表面积为半球面积和圆锥侧面积的和。球的半径为 3，所以半 球的面积 2 1 1 4318 2 S，圆锥的底面半径为 3，母线长 为 5，所以圆锥的侧面积为 2 3 515Srl ，所以表 面积为 12 33SSS 答案：33 例 3：已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
5、面积等于_ 思路：可初步判断出该几何体可由正方体截得一部分而构成。 从三视图中可得去掉的一角为侧棱长为 1， 且两两垂直的三棱 锥（如图所示） ，可得ABC为边长是2的等边三角形。所 以 2 33 2 42 ABC S， 其余的面中有三个面是正方形 的面积减去一个边长为 1 的等腰直角三角形的面积，即 22 1 17 21 22 S ，另外三个面为完整的正方形，即 2 2 24S ，所以表面积 12 453 33 2 ABC SSSS 答案： 453 2 例 4：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 （ ） A. 82 2 B. 112 2 C. 142 2 D. 15 思路：由三
6、视图可判断出该几何体为一个正四棱柱，所以表面积由 侧面的四个矩形，还有上下两个底面（直角梯形）的面积组成。由 俯视图可得梯形的上下底分别为1,2，高为 1，所以梯形面积 1 13 121 22 S ，四个侧面的底分别为2,1,1, 2，高为2，所 以侧面面积为 2 2211282 2S ，从而表面积 12 3 282 2112 2 2 SSS 答案：B 例 5：如图，一个空间几何体的正视图，侧视图都是面积为 3 2 ， 一个内角为60的菱形， 俯视图为正方形， 那么这个几何体的表面 积为（ ） A. 2 3 B. 4 3 C. 8 D. 4 思路：由三视图可得，该几何体为两个正四棱锥上下拼接而
7、成， 其表面积为 8 个侧面三角形面积的和。首先计算正视图中菱形的 边长。图中的菱形被分成 2 个全等的等边三角形，设边长为a， 则有 2 33 2 42 Sa，解得2a 答案：D 例 6：某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A. 15 2 2 B. 12 5 2 2 C. 215 D. 25 2 2 思路：由正视图与侧视图可判断出几何体为锥体，再由俯视图能够判定该几何体为圆锥的一 半，且底面向上放置。所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成。由俯视 图可得底面半圆半径1r ，所以底面半圆面积 2 1 1 22 Sr 几何体的侧面为圆锥侧面的一半，由正视图可得圆锥的母线
8、 22 215l ，所以侧面面 积 2 15 22 Srl，轴截面为三角形，底为 2（侧视图） ，高为 2（正视图）所以可得面积 3 1 222 2 S ，所以该几何体的表面积为 123 15 2 2 SSSS 答案：A 例 7：如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（ ） A. 124 3 B. 20 C. 204 3 D. 28 思路：从三视图中可判断出几何体为一个圆锥和圆柱拼接 而成，所围成的表面积为圆锥的侧面，圆柱的侧面和圆柱 的一个底面。圆锥的底面半径为 2，高为2 3，可由轴截 面求出母线的长度为4，所以圆锥侧面 1 8Srl， 圆柱的高2h，底面半径2r ，所
9、以圆柱的侧面面积 2 28Srh，圆柱底面面积 2 3 4Sr，所以几 何体的表面积为 123 20SSSS 答案：B 例 8：某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为_ 思路：由正视图和侧视图可判断出几何体为锥体，结合俯视图可得该几 何体为圆锥的一部分。其表面积由底面扇形，圆锥侧面的一部分和两个 三角形截面组成，首先通过正视图线段的长度可得扇形的圆心角为 2 3 ， 所以扇形面积 22 1 11 24 2 22 33 Sr，由侧视图可得圆锥的母 线长 22 422 5l ，由底面扇形所占底面圆形的 1 3 可得圆锥部分侧面面积也是圆锥侧 面面积的 1 3 ，即 2 1
10、4 5 33 Srl 由正视图可得两个三角形的底为 2，高为 4，所以三角形面积为 3 1 244 2 S ，所以几何 体的表面积为 123 44 5 28 3 SSSS 答案： 44 5 8 3 例 9：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为_ 思路：由三视图可知该几何体为四棱锥，且顶点在底面的投影为底 边的中点， 可尝试作出四棱锥的直观图。 底面为边长为 2 的正方形， 所以面积 2 24 ABCD S，PAB的底为 2，高为3（正视图的 左侧直角边） ， 所以 1 233 2 PAB S 。,PAD PBC的底为 2，高为 2（侧视图的左右边） ，所以 1 2 22 2 PAD
11、PBC SS， PDC的 底 为2 ， 高 2 2 327h ， 所 以 1 277 2 PDC S，所以棱锥的表面积 837 ABCDPABPADPBCPDC SSSSSS 答案：837 小炼有话说：在求棱锥的侧面面积时，底可以考虑底面的 边长，高则可从正视图与侧视图三角形的左右两边寻找， 其边长分别对应侧面三角形的高 例 10：圆柱被过轴一个平面截去一部分后与半球 （半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图与俯视 图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 思路：总体想法是用r表示出几何体的表面积，在结合已知列出方程求解。由条
12、件可知该几何 A B D C P 体的表面积由一个半球，圆柱的半个底面，半球截面的一半（半圆） ，圆柱的半个侧面和圆柱 的轴截面的面积组成。半球的面积为 22 1 1 42 2 Srr，半球截面的一半 2 2 1 2 Sr，圆 柱半个底面面积为 2 3 1 2 Sr，圆柱半个侧面面积为 2 4 1 22 2 Srhr，轴截面为矩形， 底 为2r， 高 为2r， 所 以 面 积 为 2 5 224Srrr。 进 而 表 面 积 22 12345 54SSSSSSrr，所以 22 541620rr，可解得2r 答案：B 小炼有话说：本题在分析表面积构成时要注意细节的处理，例如在正视图中的圆有一条分割 线，这就体现了半球下圆柱被截的情况。所以半球的底面只有一部分与圆柱重合，露出的部 分还应计在表面积之中
