1、 微专题 85 几何概型 一、基础知识： 1、几何概型： 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率 模型为几何概率模型，简称为几何概型 2、对于一项试验，如果符合以下原则： （1）基本事件的个数为无限多个 （2）基本事件发生的概率相同 则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率 3、几何概型常见的类型，可分为三个层次： （1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出 比例即可得到概率。 （2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行 域） ，从而可通过计算长度（或面积）的比例求的
2、概率（将问题转化为第（1）类问题） （3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据 变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量数轴，两个变 量平面直角坐标系，三个变量空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解 二、典型例题： 例 1：已知函数 2 2,5,5f xxxx ，在定义域内任取一点 0 x，使 0 0f x的概 率是（ ） A. 1 10 B. 2 3 C. 3 10 D. 4 5 思路：先解出 0 0f x时 0 x的取值范围： 2 2012xxx ，从而在数轴上 1,2区间长度占5,5区间长度的比例即为事件发生
3、的概率，所以 3 10 P 答案：C 例2 ： 如 图 ， 矩 形O A B C内 的 阴 影 部 分 是 由 曲 线 sin0,f xx x及直线0,xa a与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一 点，若落在阴影部分的概率为 1 4 ，则a的值是（ ） A. 7 12 B. 2 3 C. 3 4 D. 5 6 思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积的比值 长方形的面积 6 6Sa a ，阴 影面积 0 0 sincos |1 cos a a Sxdxxa ，所以 有 1cos1 64 Sa P S ，可解得 1 cos 2 a ，从而 2 3 a 答案：B 例 3：已知正方形A
4、BCD的边长为 2，H是边DA的中点，在正方形ABCD内部随机取一点 P，则满足2PH 的概率为（ ） A. 8 B. 1 84 C. 4 D. 1 44 思路：2PH 可理解为以H为圆心，2为半径的圆的内部，通 过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。 可将阴影部 分拆为一个扇形与两个直角三角形，可计算其面积为 1 2 S ，正 方形面积 2 24S ，所以 1 84 S P S 答案：B 小炼有话说： 到某定点的距离等于 （或小于） 定长的轨迹为圆 （或圆的内部） ， 所以从2PH 和H为定点便可确定P所在的圆内 例 4： 一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点， 一只蝴
5、蝶在几何体ADFBCE 内自由飞翔，由它飞入几何体FAMCD内的概率为（ ） A. 3 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 2 思路：所求概率为棱锥FAMCD的体积与棱柱ADFBCE体积的比值。由三视图可得 ADDFCDa，且,AD DF CD两两垂直，可得 3 11 22 ADFBCEADF VSDCAD DF DCa ，棱锥体积 1 3 FA M C DA D M C VDFS ，而 2 13 24 ADCM SADAMCDa，所以 2 1 4 FAMCD Va 。从而 1 2 FAMCD ADFBCE V P V 答案：D 例 5：如图，点P等可能分布在菱形ABCD内，则 21 4
6、 AP ACAC的概率是（ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 思路：对AP AC联想到数量积的投影定义，即AC乘以AP在 AC上的投影， 不妨将投影设为l， 则 21 4 A P A Cl A CA C ， 即 1 4 lAC即可，由菱形性质可得，取,AB AD中点 ,M N，有MNBD，所以MNAC 且垂足四等分 AC，P点 位 置 应 该 位 于A M N内 。 所 以 1 8 A M N A B C D S P S 菱形 答案：D 例 6：某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于 15 分钟的概率为（ ） A. 1 4 B. 1
7、 2 C. 2 3 D. 3 4 思路：所涉及到只是时间一个变量，所以考虑利用数轴辅助解决。在一个小时中，符合要求 的线段长度所占的比例为 1 2 ，所以概率 1 2 P 答案：B 例 7：已知函数 2 2f xxaxb，若, a b都是区间0,4内的数，则使 10f成立的 概率是（ ） A. 3 4 B. 1 4 C. 3 8 D. 5 8 A D B C P M N 思路：题目中涉及, a b两个变量，所以考虑利用直角坐标系解决。设为“, a b在区间0,4 内”，则要满足的条件为： 04 04 a b ，设事件A为 “ 10f成立”，即210ab ，所以A要满足的条 件为： 04 04
8、210 a b ab ，作出各自可行域即可得到 S A P A S 3 8 答案：C 例 8：在区间0,1上随机取两个数, x y，记 1 P为事件“ 1 2 xy”的概率， 2 P为事件 “ 1 2 xy”的概率， 3 P为事件“ 1 2 xy ”的概率，则（ ） A. 123 PPP B. 231 PPP C. 312 PPP D. 321 PPP 思路：分别在坐标系中作出“ 1 2 xy”，“ 1 2 xy”，“ 1 2 xy ”的区域，并观察或计算其 面积所占单位长度正方形的比例，即可得到 123 ,P P P的大小： 231 PPP 答案：B 例 9：小王参加网购后，快递员电话通知于
9、本周五早上 7:30-8:30 送货到家，如果小王这一天 离开家的时间为早上 8:00-9:00，那么在他走之前拿到邮件的概率为（ ） A. 1 8 B. 1 2 C. 2 3 D. 7 8 思路：本题中涉及两个变量，一个是快递员到达的时刻，记为 x，一个是小王离开家的时刻，记为y，由于双变量所以考虑 建立平面坐标系，利用可行域的比值求得概率。必然事件所要满足的条件为： 7.58.5 89 x y ， 设“小王走之前拿到邮件”为事件A， 则A要满足的条件为： 7.58.5 89 x y xy ， 作出和A的可行域，可得 S A P A S 7 8 答案：D 例 10：已知一根绳子长度为1m，随
10、机剪成三段，则三段刚好围成三角形的概率为_ 思路：随机剪成三段，如果引入 3 个变量, ,x y z，则需建立空间坐标系，不易于求解。考虑减 少变量个数，由于三段的和为1，设其中两段为, x y，则第三段为1xy。只用两个变量， 所以就可以建立平面直角坐标系进行解决。设为“一根绳 子随机剪三段”，则要满足的条件为： 01 01 011 x y xy ， 设事件A为“三段围成三角形”， 则, , 1xyx y任意两边之 和大于第三边，所以A满足的条件为 01 01 01 01 01 1 011 2 1 1 1 2 1 1 2 x y x xy y xy xy xyxy xxyy y yxyx x ，在同一坐标系 作出,A 的可行域。则 1 4 S A P A S 答案： 1 4 A D B C P M N
