1、推理与证明推理与证明 第三章第三章 3 综合法与分析法综合法与分析法 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析 法与综合法证明命题 1.直接证明：(1)直接证明的概念 直接从原命题的_逐步推得 _成立，这种证明方法叫作直接证 明 综合法 条件 结论 (2)直接证明的一般形式 本题条件 已知定义 已知公理 已知定理 本题结论 2综合法 (1)定义：从命题的条件出发，利用_、 _、_及运算法则，通过演 绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直 到完成命题的证明我们把这样的思维
2、方法 称为综合法 综合法是中学数学证明中最常用的方法，它 是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理 方法，即从题设中的已知条件或已证的真实 判断出发，经过一般列的中间推理，最后导 出所要求证的命题综合法是一种由因导果 的证明方法 定义 公理 定理 3综合法的基本思路 用_表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， _表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为 PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ 其逻辑依据是三段论式演绎推理 P Q 1.定义：从求证的_出发，一步一 步地探索保证前一个结论成立的_ 条件，直到归结为这个命题的条件，或者归 结为定义、公理、定理等我们把这样的思 维方法称为分析法 分析法也是数学
3、证明中的一种常用的直接方 法，它先假设所要求证明命题的结论是正确 的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的 判断，而当这些判断恰恰都是已知的命题(定 义、公理、法则、公式等)时，命题得证 分析法 结论 充分 2分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问 题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条 件若用_表示要证明的结论，则分析法的推理形式为 PP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件 P 3用分析法证题时，应注意叙述的逻辑性与 规范性，即分析法的独特的表述形式： 如证明“若A，则B”，这个命题的模式是： 要证B成立， 只需证A1成立(A1是B成立的充分条件
4、) 要证A1成立， 只需证A2成立(A2是A1成立的充分条件) 要证Ak成立， 只需证A成立(A是Ak成立的充分条件) 显然A成立 AK成立， B成立 分析法与综合法的区别与联系 (1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法 则是“执果索因”，它们是截然相反的两种 证明方法分析法便于我们去寻找思路，而 综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长， 在解决具体的问题时，结合起来运用效果会 更好 (2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步 所得到的判断都是使结论成立的充分条件， 最后的一步归结为已被证明了的事实因此 从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到 结论，这个倒推的证明过程就是综合法 分析法便于思
5、考，叙述较繁；综合法叙述条 理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆 向思维过程，表述简单，条理清楚所以实 际解题时，可将分析法、综合法结合起来使 用，即：分析找思路，综合写过程 (3)当待解决问题，一时打不开思路，不知从 何入手时，有时可以运用分析法去探求解题 思路，特别是对于条件简单而结论复杂的题 目，往往更是行之有效的方法另外，对于 恒等式的证明，也同样可以运用分析法证 明又如在立体几何证明题中，将待证结论 作为条件和其他已知条件结合起来分析，看 能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思 路，也是常用方法 1.综合法是( ) A执果索因的逆推法 B由因导果的顺推法 C因果分别互推的两头凑法
6、D证明命题的唯一方法 答案 B 2分析法证明问题是从所证命题的结论出发， 寻求使这个结论成立的( ) A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既非充分条件又非必要条件 答案 A 3设 00，所以 b1x 2xa，所以 a 1 a C|a|b| Da4b4 答案 B 解析 aa. 1 ab 1 a. 5(2013重庆理，6)若a0，求证：3a32b33a2b2ab2. 证明 因为ab0，所以ab0,3a2 2b20， 所以3a32b3(3a2b2ab2) 3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(a b)0， 即3a32b33a2b2ab2. 课堂典例探究课堂典例探究 已知 a、b、c0，求证
7、 a3b3c31 3(a 2b2 c2)(abc) 分析 不等式中的a、b、c为对称的，所 以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式性质推导出要证明 的不等式 综合法证明 证明 因为 a2b22ab， 所以(a2b2)(ab)2ab(ab)， 所以 a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2， 所以 a3b3a2bab2， 同理 b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2， 将三式相加得：2(a3b3c3)a2bab2bc2b2ca2c ac2， 所以 3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3 c2ac2b)(abc)(a2b2c2)
8、所以a3b3c31 3(a 2b2c2)(abc)(当且仅当abc 时取等号) 方法规律总结 在用综合法证明不等式时， 常利用不等式的基本性质，如同向不等式相 加、同向不等式相乘，但在运用这些性质时， 一定要注意这些性质成立的前提条件简言 之，综合法是一种由因索果的证明方法，其 逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法 设 a0，b0，ab1，求证：1 a 1 b 1 ab8. 分析 要证的不等式是在已知条件下成立的， 从不等式的结构分析并联系已知条件可知， 可用综合法证之 证明 a0，b0，ab1，1ab2 ab， ab1 2. 1 ab4. 1 a 1 b 1 ab(ab)( 1 a 1 b)
9、1 ab2 ab 2 1 ab48. 1 a 1 b 1 ab8. 分析法的应用 设 a、b 为实数，求证 a2b2 2 2 (ab) 证明 当 ab0 时， a2b20， a2b2 2 2 (ab)成立 当 ab0 时， 用分析法证明如下： 要证 a2b2 2 2 (ab)， 只需证( a2b2)2 2 2 (ab)2. 即证 a2b21 2(a 2b22ab)，即证 a2b22ab. a2b22ab 对一切实数恒成立， a2b2 2 2 (ab)成立综上所述，不等式得证 方法规律总结 分析法证明不等式的依据、 方法与技巧 (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重
10、要不等式和逻辑 推理的基本理论； (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单 的不等式的证明，经常用综合法而对于一 些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常 用分析法； (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从 要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证) 的不等式； (4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一 定要恰当地用好“要证”、“只需证”、 “即证”等词语 当 a2 时，求证 a1 a a1 a2. 证明 要证 a1 a a1 a2， 只需证 a1 a2 a a1， 只需证( a1 a2)2( a a1)2， 只需证 a1a22a1a2aa1 2
11、aa1， 只需证 a1a2 aa1， 只需证(a1)(a2)a(a1)， 即证20，而20 显然成立， 所以 a1 a a1 a2成立 求证：当x0时，sinxx. 分析 不等式恒成立问题，可以转化为函 数的最值问题来解决 证明 要证x0时，sinxx， 只需证x0时，sinxx0即可 设f(x)sinxx，则即证x0时，f(x)f(0) 即证x0时，f(x)的最大值小于或等于0.(*) 综合法和分析法的综合应用 f(x)sinxx， f(x)cosx1，当x0时，f(x)0， f(x)在0，)上单调递减 当x0时，f(x)maxf(0)0，sinxx0 成立 原不等式成立 方法规律总结 在实
12、际解决问题中，分析法 与综合法往往结合起来使用，先分析由条件 能产生什么结论，再分析要产生需要的结论 需要什么条件，逐步探求两者之间的联系， 寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综 合法写出解题的过程 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，A、B、C 的对 边分别为 a、b、c.求证： 1 ab 1 bc 3 abc. 分析 条件与结论跨越较大，不易下手，可 考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因， 逐步寻找使结论成立的充分条件，因此分析 法的逆过程就是综合法 证明 分析法： 要证 1 ab 1 bc 3 abc，即证 abc ab abc bc 3， 也就是 c ab a bc1， 只
13、需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 需证 c2a2acb2， 又ABC 三内角 A、B、C 成等差数列，故 B60 ， 由余弦定理，有 b2c2a22accos60 ，即 b2c2a2ac， 故 c2a2acb2得证 综合法： 证明：ABC 三内角 A、B、C 成等差数列， B60 . 由余弦定理，有 b2c2a22cacos60 ， 得 c2a2acb2， 等式两边同时加上 abbc 得 c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 等式两边同除以(ab)(bc)得， c ab a bc1， c ab 1 a bc1 3， 即 1 ab 1 bc 3 abc. 准确把握条件 设 ab0，
14、n 为偶数，求证b n1 an a n1 bn 1 a 1 b. 错解 bn 1 an a n1 bn 1 a 1 b anbnan 1bn1 abn . n 为偶数，(ab)n0. 又anbn和 an 1bn1 同号， b n1 an a n1 bn 1 a 1 b0， b n1 an a n1 bn 1 a 1 b. 辨析 这里题目中的条件为ab0，而不 是a0，b0，因此，应分a0且b0和a， b有一个为负值两种情况加以讨论 正解 bn 1 an a n1 bn 1 a 1 b anbnan 1bn1 abn . 当 a0，b0，ab0 时，(anbn)(an 1bn1)0， (ab)n0， a nbnan1bn1 abn 0，b n1 an a n1 bn 1 a 1 b. 当 a、b 有一个为负值时，不妨设 a0，b0，且 ab 0，a|b|. (ab)n0，an0，bn0，an 10，bn10， 故 anbn0，an 1bn10， a nbnan1bn1 abn 0， b n1 an a n1 bn 1 a 1 b. 由知结论成立
