1、义务教育教科书（沪科）九年级数学下册义务教育教科书（沪科）九年级数学下册 第第24章章 圆圆 正多边形：正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 如果一个正多边形有如果一个正多边形有n n条边，那么这个正多边形条边，那么这个正多边形 叫做正叫做正n n边形。边形。 三条边相等，三条边相等， 三个角也相等（三个角也相等（6060度）。度）。 四条边都相等，四条边都相等， 四个角也相等（四个角也相等（9090度）。度）。 想一想：想一想： 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ 正正n n边形
2、与圆的关系边形与圆的关系 1.1.把正把正n n边形的边数无限增多边形的边数无限增多, ,就接近于圆就接近于圆. . 2.2.怎样由圆得到多边形呢？怎样由圆得到多边形呢？ A A B B C C D D 思考思考1: 1: 把一个圆把一个圆4 4等分等分, , 并依次连并依次连 接这些点接这些点, ,得到正多边形吗得到正多边形吗? 弧相等弧相等 弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等） 多边形是多边形是 正多边形正多边形 你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？ 把一个圆分成把一个圆分成n n等份等份, ,顺次连
3、接各分点就可以顺次连接各分点就可以 作出这个圆的内接正作出这个圆的内接正n n边形边形, ,这个圆就是这个正这个圆就是这个正 多边形的外接圆多边形的外接圆. . 如图如图, ,把把O O分成把分成把O O分成相等的分成相等的5 5段弧段弧, ,依依 次连接各分点得到正五边形次连接各分点得到正五边形ABCDE.ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA,AB=BC=CD=DE=EA, A=B.A=B. A A B B C C D D E E O O 同理同理B=C=D=E.B=C=D=E. 又五边形又五边形ABCDEABCDE的顶点都在的顶点都在O O上上, , 五边形五边形ABCDABCD是是
4、O O的内接正五边形的内接正五边形, , OO是五边形是五边形ABCDABCD的外接圆的外接圆. . 我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明. . AB= BC = CD =DE =EAAB= BC = CD =DE =EA BCE= CDA = 3ABBCE= CDA = 3AB 对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边边 形共有形共有n条对称轴，每条对称轴都通过条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中边形的中 心。心。 边数是偶数的正多边形还是中心边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。对称图形，它的中心就是对称中
5、心。 用量角器等分圆 2.2.在圆上一次截取这条弧的等弧，就得到在圆上一次截取这条弧的等弧，就得到 圆的圆的n n等份点。等份点。 从而，作出正从而，作出正n n边形。边形。 1.1.在一个圆中，先用量角器画一个等于在一个圆中，先用量角器画一个等于 的的 圆心角，这个角所对的弧就是圆的圆心角，这个角所对的弧就是圆的 。 360 n1 n 用尺规等分圆 1.1.正四边形的作法。正四边形的作法。 2.2.正六边形的作法。正六边形的作法。 对于一些特殊的正对于一些特殊的正n n边形，还可以用直尺和圆规边形，还可以用直尺和圆规 来等份圆。来等份圆。 再平分每条边所对的弧，再平分每条边所对的弧， 可以得
6、到正八边形。可以得到正八边形。 1.1.各边相等的圆内接多边形是正多边形（各边相等的圆内接多边形是正多边形（ ） 2.2.各边相等的圆外切多边形是正多边形（各边相等的圆外切多边形是正多边形（ ） 3.3.各角相等的圆内接多边形是正多边形（各角相等的圆内接多边形是正多边形（ ） 4.4.各角相等的圆外切多边形是正多边形（各角相等的圆外切多边形是正多边形（ ） 判断：判断： 练习一练习一 1.1.判断题。判断题。 各边都相等的多边形是正多边形。各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） 一个圆有且只有一个内接正多边形一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ） 2.2.证明题。证明题。 求证：顺次连结正六边
7、形求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多各边中点所得的多 边形是正六边形。边形是正六边形。 A A B B C C D D E E F F 练习二练习二 A B C D E 求证：正五边形的对角线相等。求证：正五边形的对角线相等。 证明：证明： 在在BCDBCD和和CDECDE中中 BC=CDBC=CD BCD=CDEBCD=CDE CD=DECD=DE BCDBCDCDECDE BD=CEBD=CE 同理可证对角线相等。同理可证对角线相等。 已知：已知：ABCDEABCDE是正五边形。是正五边形。 求证：求证：DB=CEDB=CE （2 2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线交点）经过各分点作圆的切线，以相邻切线交点 为顶点的多边形是这个圆的外切正为顶点的多边形是这个圆的外切正n n边形。边形。 1. 1. 把一个圆分成把一个圆分成n n（n n3）等份等份 （1 1）依次连接各分点所得到的多边形式这个）依次连接各分点所得到的多边形式这个 圆的内接正圆的内接正n n边形。边形。 2. 2. 等分圆的方法画正等分圆的方法画正n n边形。边形。 学习和研究好比爬梯子，要一步一学习和研究好比爬梯子，要一步一 步地往上爬，企图一脚跨上四五步，步地往上爬，企图一脚跨上四五步， 平地登天，那就必须会摔跤了。平地登天，那就必须会摔跤了。 华罗庚华罗庚
