1、第三讲 抛物线 第十章 圆锥曲线与方程考点帮必备知识通关考点1 抛物线的定义考点2 抛物线的标准方程与几何性质考法帮解题能力提升考法1 抛物线定义的应用考法2 抛物线的标准方程及几何性质考法3 直线与抛物线的位置关系高分帮 “双一流”名校冲刺提素养 数学文化数学文化 阿基米德三角形的几何性质 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.抛物线的定义了解2020北京,T7探索创新考法1直观想象逻辑推理数学运算2.抛物线的标准方程与几何性质了解2020全国,T7探索创新考法2直观想象逻辑推理数学运算3.直线与抛物线的位置关系掌握2020山东,T13课程学习考法3直观想象逻辑
2、推理数学运算 考情解读命题分析预测 根据近几年的高考命题情况来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系一直是高考命题的热点,命题主要体现三个特色:以定义作为命题思路,求解轨迹问题、距离问题、最值问题等;以焦点弦为主线的几何图形为命题背景,求解焦点弦的长、三角形(四边形)的面积的值(或最值)等;研究直线与抛物线的位置关系.这类命题常与向量、切线等知识综合进行考查,多以解答题的形式出现,难度中等偏上.在2022年高考的复习备考中,选择题、填空题的复习要关注抛物线的定义、焦点弦的性质在解题中的应用;解答题的复习应重视直线与抛物线的位置关系中以焦点弦的性质及抛物线的切线等为命题背
3、景的问题,注意设而不求法及根与系数的关系在解题中的应用,这类问题对数学运算、逻辑推理等核心素养的要求较高.考点1 抛物线的定义考点2 抛物线的标准方程与几何性质考点帮必备知识通关 考点1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.注意 (1)定点F不能在定直线l上,若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线;(2)抛物线的定义指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性,故二者可以相互转化.考点2 抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)
4、x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形几何性质对称轴x轴y轴 考点2 抛物线的标准方程与几何性质几何性质顶点O(0,0)焦点准线方程范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR离心率e=1考法1 抛物线 定义的应用考法2 抛物线的标准方程及几何性质考法3 直线与抛物线的位置关系考法帮解题能力提升 考法1 抛物线定义的应用示例1 (1)2020全国卷,4,5分已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.9(2)并列型已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,若A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值
5、为,此时点P的坐标为.考法1 抛物线定义的应用图 10-3-1 考法1 抛物线定义的应用方法技巧1.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.(2)距离问题:灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径.注意 一定要验证定点是否在定直线上.考法1 抛物线定义的应用2.抛物线定义的应用规律注意 建立函数关系后,一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围,即函数的定义域.考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法2 抛物线的
6、标准方程及几何性质思维导引 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法2 抛物线的标准方程及几何性质图 10-3-2 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法2 抛物线的标准方程及几何性质方法技巧1.抛物线的标准方程的求法(1)定义法根据抛物线的定义,确定p的值(p的值为焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法待定系数法求解的关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的形式已经确定的前提下,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.当焦点位置不确定时,要对四种形式的标准方程
7、进行分类讨论.考法2 抛物线的标准方程及几何性质对于焦点在x轴上的抛物线,若开口方向不确定需分为y2=2px(p0)和y2=-2px(p0)两种情况求解;焦点在x轴上的抛物线为避开讨论,也可设成y2=mx(m0),若m0,开口向右;若m0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦半径的长焦点弦的长p+(x1+x2)p-(x1+x2)p+(y1+y2)p-(y1+y2)考法3 直线与抛物线的位置关系图10-3-6 考法3 直线与抛物线的位置关系(4)若N为准线与x轴的交点,则ANF=BNF.(5)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.(6)以A1B1为直径的圆与
8、AB相切,切点为F,A1FB1=90.(7)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦,弦长等于2p,通径是过焦点的最短的弦.(8)以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(9)若M1为A1B1的中点,则M1AM1B.(10)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(11)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.考法3 直线与抛物线的位置关系方法技巧直线与抛物线的位置关系的求解策略(1)直线与抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法:把直线方程和抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,若0,则直线与抛物线相交;若=0,则直线与抛物线相切;若0)上A,B两点作抛物线的切线,两切线相交于点P,则PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好过抛物线的焦点F(如图10-3-8所示),则PAB有以下基本性质:(1)点P必在抛物线的准线上.(2)PAB为直角三角形,且APB为直角.图 10-3-8数学文化 阿基米德三角形的几何性质
