1、1.双曲线的标准方程一知识梳理1.定义：平面内与两定点、的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点、叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。设为双曲线上的任意一点,若点在双曲线右支上,则；若在双曲线的左支上,则；因此得.2.标准方程：焦点在轴上:焦点在轴上:.可以看出,如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上；如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上.3.标准方程中的三个量满足4.方程表示的曲线为双曲线,它包含焦点在轴上或在轴上两种情形.若将方程变形为,则当，时,方程为，它表示焦点在轴上的双曲线,此时；
2、当时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时。因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法.三例题分析题型1 双曲线的定义及应用例1.双曲线上一点到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是 （ ）A.到左焦点的距离为8 B.到左焦点的距离为15C.到左焦点的距离不确定 D.这样的点不存在习题1.双曲线上一点到左焦点的距离,求点到右焦点的距离.习题24表示的曲线方程为（）A1(x2)B1(x2)C1(y2)D1(y2)题型2.求双曲线方程 例2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:（1），经过点；（2）经过点、；（3）与双曲线有相同的焦点，且经过点. 题型3.判断曲线类型例3.
3、（1）“”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件（2）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（）ABCD（3）已知方程表示双曲线，则的取值范围是_（4）若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为_解析：（1）方程表示双曲线等价于，即或，故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A（2）由，方程表示双曲线，则，所以，根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B. 故选：B.（3）若方程表示在轴上的双曲线，则，解得；若方程表示在轴上的双曲线，则，此时.综上所述，. 故答案为：.（4）因为方程表示焦点在x轴上的双曲线
4、，所以有，解得，所以实数m的取值范围为，故答案为：题型4 双曲线的轨迹例4.在ABC中，直线AB、AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹.例5.（1）已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（）ABCD（2）已知动圆M与圆外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为（）ABCD解析：（1）如图，设动圆的半径为，则，则，所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支.因为，所以.故动圆圆心的轨迹方程为.故选：D.（2）如图，由题意得：，圆与圆：的半径相等，均为，即，所以，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，其中，故，则，所以轨迹方程为,故选：A题型5.双曲线的最值问题例6.(
5、1).为双曲线右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为_.2.双曲线的简单几何性质一 学习目标二 知识梳理1.范围、对称性 2.顶点顶点：，特殊点：.实轴：长为，叫做半实轴长；虚轴：长为，叫做虚半轴长.3.渐近线如上图所示，过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是，这两条直线就是双曲线的渐近线.4.离心率:焦点在轴：.焦点在轴:_.5.焦点到渐近线的距离:到直线的距离为.三 典例分析例1.求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程.例2. 求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程.3.双曲线焦点
6、三角形一基本原理本节中约定已知双曲线方程为 如图，顶点在第一象限，对于双曲线焦点三角形，有以下结论：1.如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积.证明：由余弦定理可知由双曲线定义知|，可得所以则2.如图，有，3.离心率.4.若，则有.5.若，则有.6.焦半径公式：如图，对于双曲线，对双曲线，其焦半径的范围为.7.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.8.如图，直线与双曲线交于两点，的左右焦点记为，则为平行四边形.结论9.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的
7、一个交点，且，则有.证明： 依题意，在中，由余弦定理得，所以，即.结论10.如图，过焦点的弦的长为，则的周长为.二典例分析例1已知为双曲线的两个焦点，在双曲线上，若的面积是1，则的值是_解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：，所以，即 所以，从而例2已知为双曲线的左、右焦点，点在上，则（ ）A2 B4 C6 D8解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：所以 故选B例3已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，则的取值范围是（ ）A B C D 解析：由题意知，且，即，所以，解得， 故选A例4.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为_.解析：由焦点三角形面积公式，.例5.已知双曲线的左
8、、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为_.解析：记，则，所以，由知，所以，从而，故.4.双曲线焦点三角形内切圆一.基本结论：双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.二典例分析例1双曲线的左、右焦点分别为双曲线右支上的点,的内切圆与轴相切于点,则圆心到轴的距离为()A.1B.2C.3D.4解析：设三角形内切圆的切点为,其中在轴上,那么,又所以,又所以点的横坐标为点的横坐标也为4,故圆心I到轴的距离为4.例2已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线的离心率,是双曲线右支上的点,的内切圆的圆心为,
9、过作直线的垂线,垂足为,则点的轨迹是()A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线解析：,内切圆与轴的切点是点,及圆的切线长定理知,设内切圆的圆心横坐标为,则;,在中,由题意得,于,延长交于点,利用,可知,在三角形中,有:即点的轨迹是以为圆心,半径为的圆,5. 双曲线与椭圆共焦点一基本原理结论：已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.证明： 依题意，在中，由余弦定理得，所以，即.二典例分析例1已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）A BCD解析：设为第一象限的交点，、，则、，解得、，在中，
10、由余弦定理得：，（亦可直接用上述结论），即，当且仅当，即，时等号成立，此时，故选：D例2（2014年湖北卷）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）ABC3D2解析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设，椭圆和双曲线的离心率分别为由余弦定理可得，在椭圆中，化简为即即在双曲线中，化简为即即联立得，由柯西不等式得即（即，当且仅当时取等号，故选A例3设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）ABCD解析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，由
11、椭圆和双曲线的定义可得，所以，设，因为，则，由勾股定理得，即，整理得，故. 故选：A.6.直线与双曲线的位置关系一 学习目标：类比直线与椭圆的位置关系的研究，尝试探究直线与双曲线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路.二 知识梳理:1. 直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何研究的？2. 当直线与椭圆相交时，如何求弦长？3. 涉及弦的中点问题，如何解决？三 典例分析例1.试讨论直线与双曲线的位置关系？【变式】1.若双曲线与直线无交点，求离心率的范围.2.若双曲线与直线相交于不同的两点，求离心率的范围.例2.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求.例3.已知双曲线的中心在
12、原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程为A B. C. D. 双曲线渐近线的十大结论一基本原理1.焦点到渐近线的距离:到直线的距离为.2.已知渐近线方程设双曲线方程，.3.双曲线中，右焦点为，作垂直于渐近线，垂足为，则点在双曲线的右准线上，且的坐标为，且5.双曲线上的点到两渐近线的距离之积为定值.6.已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如图1.若,则 图1 图2如图2.若，则7.焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率.8.圆，渐近线，准线及圆四者交于点.关于点，有如下的性质：（1）直线垂直于
13、渐近线且，又，故是双曲线的特征三角形；（2）直线与圆切于点.9.过双曲线（a0，b0）的左焦点，作圆x2+y2a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P若线段PF的中点为M，M在线段PT上，O为坐标原点，则|OM|MT|ba10.圆，渐近线，准线及圆四者交于点点.二典例分析例1.已知双曲线:，以的右焦点为圆心且与的渐近线相切的圆的半径是 ( )A. B. C. D.解析：以的右焦点为圆心且与的浙近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离，选D.例2.双曲线的渐近线与圆相切，则= ( )A. B.2 C.3 D.6解析：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=，选A.例3.以双曲线的右焦点
14、为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程 ( )A. B.C. D.解析：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=，选A.例4.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 ( )A. B. C. D.例5.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 .解析：由相似成比例可得：.8.如何对渐近线方程使用定比点差法一基本原理1.双曲线的渐近线方程亦为，即，就是.2.双曲线的渐近线方程亦为，故双曲线的渐近线方程为.二原理推导既然可以将双曲线的渐近线方程看做二次式，那么就可以对它使用定比点差法，特别是当我们遇到直线与双曲线的两只渐
15、近线都相交的时候，比如下面的经典案例：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如下图.若.设，则坐标均满足，.又.则由，可得：. 给式乘再相减得：故.由 情形2.如下图.若.设，则故得：由于由三典例分析例1过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为_解析：满足情形1，即，故，则例2已知双曲线的两条渐近线分别为直线，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD解析：满足情形2，即，.四习题1已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条
16、渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（）ABCD2已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（）A2BCD3已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为_.4已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _答案：1A 2C 3 49.双曲线的离心率计算一. 学习目标： 能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法.
17、三：典例分析：例1. 已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心率.【变式】1. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为_ 2. 设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（ ）A B C D例2已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_例3已知双曲线的右焦点为，点，在双曲线的同一条渐近线上，为坐标原点若直线平行于双曲线的另一条渐近线，且，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCD解： ，由题意设直线为，由得，所以点，所以，因为，所以，因为，所以，得，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选：B例4设双曲线的
18、左，右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，直线与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为若点恰好为线段的中点，则直线的斜率的值为_【详解】以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，可得，又因为为的中点，为的中点，所以，所以，又，得，由双曲线的定义可得，所以，所以，即直线的斜率为.故答案为：.10.双曲线的切线问题T8联考16题的推广及高考应用昨天考的T8联考16题以双曲线切线为背景，考察了一类特殊的中心三角形，即该切线与渐近线的交点和坐标原点围成的三角形面积，其实是一个定值，本文对其做一般的推广，并介绍相关结论在高考试题中的应用. 对于双曲线比较独特的结论，我们应该多加留意.一典例
19、分析（T8联考16题）已知双曲线的左、右焦点分别为和，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为_；又过点作双曲线的切线交另一条渐近线于点，且的面积，则该双曲线的方程为_.解析：第一个空较简单，.下面看第二个空的证明；双曲线的两条渐近线方程我们可以用来表示，设切线与两条渐近线的交点分别为，由，可得，同理，所以三角形的面积为，再将代入，得，证毕.这样的话，由于且，可解得：双曲线方程为：.二高考应用（2014年福建卷）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线
20、有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。解析：（1）因为双曲线的渐近线分别为，所以，所以，故，从而双曲线的离心率（2）由（1）知，双曲线的方程为，设直线与轴相交于点，当轴时，若直线与双曲线有且只有一个公共点，则，又因为的面积为8，所以，因此，解得，此时双曲线的方程为，若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为以下证明：当直线不与轴垂直时，双曲线也满足条件.设直线的方程为，依题意，得或，则，记由得，同理得，由得，即由得，因为，所以，又因为，所以，即与双曲线有且只有一个公共点，因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为11.双曲线中的仿射变换利用仿射变换再解
21、T8联考16题一基本原理1. 压缩变换：平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的，即，平面上的双曲线变为平面上的等轴双曲线.结论1.在压缩变换下，平面对应封闭图形面积是原来平面上封闭图形面积的倍，即2.旋转变化将等轴双曲线旋转即可得到反比例函数，即变成了初中的反比例函数，两条渐近线分别是坐标轴，下面通过一个例子予以说明.在平面直角坐标系中，已知双曲线，将其绕原点逆时针旋转，求所得到的的曲线的方程.3.反比例函数的一个重要性质若直线与反比例函数相切，同时交坐标轴分别与，则.证明：设切点因为，所以斜率为，所以，直线的方程为：，令，得，令，得，所以，.二典例分析例1（T8联考16题）已知双曲线的左
22、、右焦点分别为和，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为_；又过点作双曲线的切线交另一条渐近线于点，且的面积，则该双曲线的方程为_.解析：第一个空较简单，.第二个空：将双曲线压缩再旋转后得到反比例函数，于是，由于且，可解得：双曲线方程为：.例2.（2014年福建）已知双曲线的两条渐近线分别为，（1）求双曲线的离心率；（2）如图，点为坐标原点，动直线分别交直线，于，两点，分别在第一、第四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程，若不存在，说明理由解：（1）因为双曲线的渐近线分别为，所以所以故，从而双曲线的离心率（2
23、） 由（1）知，双曲线的方程为作，再将双曲线沿逆时针旋转得：；，设与双曲线切于点，则，故方程为，通过仿射变换回去可知，双曲线方程为双曲线中的斜率和（积）问题例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0求的斜率.（2）若，求的面积解法1：（设点解点）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去得到，根据韦达定理，得，故，从而.因为直线的斜率之和为，所以直线的方程为，同理，可得：，.所以直线的斜率为解法2：设，由点都在双曲线上，得，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线的斜率之和为，即，所以，由得. 由得. 由-，得，从而，即的斜率为.解法3：（设而不
24、求）将点代入双曲线方程得，化简得，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，则联立双曲线得：，故，化简得：，故，即，当时，直线过点A，不合题意，舍去.,故.方法4.（同构双斜率）设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率.因为直线的斜率之和为，即，所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为.方法5（齐次化联立）双曲线方程为，设，AP,AQ的斜率之和为0，故将双曲线方程为变形为：，且设直线，由式有：,（两边同除以），即，而是此方程的两根.，故直线斜率为1. 方法6：（曲线系）点处的切线方程为，
25、设直线的方程为，的方程为，的方程，则过这四条直线交点的二次曲线方程为.又因为双曲线过这些交点，比较的系数得.又由，所以.这样的话，本文就展示了这道题目的6种解法，其实无所谓好坏之分，都是很好的方法，都体现了对运算对象和运算规则较为精准的把握. 但是，在考场时间如此紧张的条件下，又快又准的解题却是关键，方法1,3为通法，是多数考生的选择，这样的方法就是套路感强，我们练习的最多，但是过多的沉迷于这些方法会让我们对解析几何的理解就定位在“暴力运算”，我觉得，如果时间允许，去探寻思考方法2和方法4也是不错的选择.方法5,6就是所谓的“秒杀神技”，但是我个人觉得这两个方法还是有风险的，因为它们技巧性很强
26、，可能对很多学生而言都很难想清楚这个平移坐标系究竟是个什么“梗”，这两个方法很多人都可能学个“四不像”，徒劳无功！所以，对解析几何运算的核心还在于去思考，理解运算对象，这个板块的特点就是翻译：几何问题代数化，代数问题坐标化，不同的理解就会有不同的处理思路，我们要基于常见的二级结论，首先对问题有一个宏观认知，其次的关键就是理解，一些传统的几何问题正变着花样出现，比如2020年山东卷22题. 给学生多一些动手练习，思考探寻不同解法的机会，让他们在探寻各种解法的过程中慢慢提升对解析几何的理解和热爱.把解析几何理解为一门关于运算的艺术，我想才是破解这个板块的核心密码！例2.（2021新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足：，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且满足，求直线与直线的斜率之和.解析：（1）因为，所以，轨迹是以点，为左右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，所以，轨迹的方程为.（2）设，设直线的方程为联立，化简得，则故则设的方程为，同理因为，所以，化简得，所以，即因为，所以31
