1、我们应该如何教几何我们应该如何教几何人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一、关于数学育人的基本观点一、关于数学育人的基本观点 教育的根本任务是教育的根本任务是立德树人立德树人。数学教育要数学教育要着眼于学生的长期利益着眼于学生的长期利益。数学育人要数学育人要发挥数学的内在力量发挥数学的内在力量，充分挖掘数学，充分挖掘数学课程所蕴含的价值观资源，围绕学生数学学科核课程所蕴含的价值观资源，围绕学生数学学科核心素养的发展需要，以培育学生的理性精神、提心素养的发展需要，以培育学生的理性精神、提高学生的数学思维能力为核心，使学生掌握高学生的数学思维能力为核心，使学生掌握“四四基基”、“四能四能”，
2、学会，学会有逻辑地、创造性地思考有逻辑地、创造性地思考，成为善于认识问题、解决问题的人才。成为善于认识问题、解决问题的人才。发挥数学的内在力量，实现发挥数学的内在力量，实现“教数育人教数育人”数学教师应成为学生发展的导师：数学教师应成为学生发展的导师：教数学知识教数学知识是手段，育人是目的是手段，育人是目的；数学源于对现实世界的抽象，不仅仅是符号运数学源于对现实世界的抽象，不仅仅是符号运算、形式推理、模型构建，也彰显了人与世界算、形式推理、模型构建，也彰显了人与世界的关系，更表达了宇宙空间的本质；的关系，更表达了宇宙空间的本质；数学的最本质特征是逻辑的严密性，其中蕴含数学的最本质特征是逻辑的严
3、密性，其中蕴含着讲规则、重证据、依逻辑、实事求是、严谨着讲规则、重证据、依逻辑、实事求是、严谨求实的科学精神与为人品格；求实的科学精神与为人品格；数学不仅有工具属性，也有鲜明的理性精神属数学不仅有工具属性，也有鲜明的理性精神属性，所以数学教育必然是工具性和理性精神的性，所以数学教育必然是工具性和理性精神的统一体统一体。二、教师专业发展的基石二、教师专业发展的基石 理解数学，理解学生，理解教学，理解技术理解数学，理解学生，理解教学，理解技术。“四个理解四个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学中小学数学课程结构体系、教学重
4、点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于有效促进学生数学理解的知识；释的知识；关于有效促进学生数学理解的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。关于评估学生的知识理解水平的知识；等。特别是，特别是，教师对教师对“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。理解数学知识的三重境界理解数学知识的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 启发学生，示以思维之道耳！启发学生，示以思维之道耳！三、在理解数学
5、的基础上设计数学活动三、在理解数学的基础上设计数学活动几何的研究对象是什么？几何的研究对象是什么？空间的最基本概念是空间的最基本概念是“位置位置”。（1）几何中，）几何中，“位置位置”用什么来标记？用什么来标记？（2）空间中两个位置之间的差别用什么来标）空间中两个位置之间的差别用什么来标记？记？（3）“位置差别位置差别”用什么几何量来加以定量用什么几何量来加以定量化化的刻画的刻画？（4）如何刻画直线的）如何刻画直线的“直直”、平面的、平面的“平平”？度量是数学的本质所在度量是数学的本质所在 几何学是关于几何图形的形状、大小、位几何学是关于几何图形的形状、大小、位置关系的科学。置关系的科学。点、
6、直线、平面是基本几何图形，源于对点、直线、平面是基本几何图形，源于对现实事物的抽象现实事物的抽象纯粹的数学对象纯粹的数学对象。“位置位置”是宇宙空间的最基本要素，位置是宇宙空间的最基本要素，位置用用“点点”表示；表示；直线段是连接两点的最短通路，两个点的直线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用线段的长度表示。位置差异用线段的长度表示。直线由点组成，直线的直线由点组成，直线的“直直”用点与点之用点与点之间的关系来刻画；间的关系来刻画；平面由点、直线组成，平面的平面由点、直线组成，平面的“平平”用点、用点、直线的关系，用直线的直线的关系，用直线的“直直”来刻画。来刻画。“方向方向”是另一个基
7、本概念是另一个基本概念（1）几何中，）几何中，“方向方向”用什么来表达？用什么来表达？（2）两个方向的差别用什么来度量？）两个方向的差别用什么来度量？平面上的一条射线表达了一个方向，一条平面上的一条射线表达了一个方向，一条直线则是具有两个相反的方向。直线则是具有两个相反的方向。两条共起点的射线，在方向上的差别也就两条共起点的射线，在方向上的差别也就是是BAC的角度，即角度是其方向差的度的角度，即角度是其方向差的度量。量。如何研究如何研究“相交线相交线”首要问题是什么？首要问题是什么？研究对象的抽象研究对象的抽象定义相交线。定义相交线。数学的方式：数学的方式：（1 1）低维定义高维；）低维定义高
8、维；（2 2）组成要素的基本关系。）组成要素的基本关系。接下来的研究内容是什么？接下来的研究内容是什么？性质性质“相交线的性质相交线的性质”的内涵是什么？的内涵是什么？两条直线相交形成四个角（几何元素），两条直线相交形成四个角（几何元素），这些角之间的相互关系这些角之间的相互关系几何图形组成几何图形组成元素间的相互关系就是性质！元素间的相互关系就是性质！如何发现这些角的相互关系？如何发现这些角的相互关系？探究过程探究过程 四个角的关系四个角的关系 1+2+3+4=360 三个角的关系三个角的关系 变化中不存在不变性变化中不存在不变性没有固定的关系没有固定的关系 两个角的关系两个角的关系（1）两
9、两配对两两配对有有6对角，即对角，即1和和2，1和和3，1和和4，2和和3，2和和4，3和和4。（2）1和和2的关系如何研究？的关系如何研究？从角的定义出发，得到研究内容从角的定义出发，得到研究内容：两个角的顶：两个角的顶点、边的关系，得到点、边的关系，得到1与与2的位置的位置关系。关系。顶点重合；一边重合，称这两个角顶点重合；一边重合，称这两个角“相邻相邻”；另一边互为反向延长线，所以两个角另一边互为反向延长线，所以两个角“互补互补”。用几何语言准确表达用几何语言准确表达即为即为邻补角的定义：邻补角的定义：1与与2有一条公共边有一条公共边OA，它们的另一边互为反，它们的另一边互为反向延长线，
10、即向延长线，即1与与2互补，具有这种关系的互补，具有这种关系的两个角，互为邻补角两个角，互为邻补角（3）其余）其余5对角的关系的研究对角的关系的研究 让学生类比让学生类比1与与2的位置关系的研究过程，的位置关系的研究过程，对其余对其余5对角的边的位置关系进行对角的边的位置关系进行自主探究自主探究，并作出分类，得出对顶角的定义，再得出：两并作出分类，得出对顶角的定义，再得出：两条直线相交所形成的条直线相交所形成的4个角中，两两之间的位个角中，两两之间的位置关系，根据两个角的边之间特殊的位置关系，置关系，根据两个角的边之间特殊的位置关系，分成两类，一类是邻补角，一类是对顶角。分成两类，一类是邻补角
11、，一类是对顶角。过程与结果的融合，直观想象、数学抽象等素过程与结果的融合，直观想象、数学抽象等素养的落实。养的落实。接下去研究什么？接下去研究什么？已经已经研究了两条直线相交形成的研究了两条直线相交形成的6 6对角的位对角的位置关系，发现可以分为两类。那么，邻补置关系，发现可以分为两类。那么，邻补角、对顶角分别有怎样的角、对顶角分别有怎样的大小大小关系呢？这关系呢？这就是接下来要研究的问题。就是接下来要研究的问题。几何学是几何学是研究几何图形的形状、大小、位置关系的研究几何图形的形状、大小、位置关系的科学。科学。如何让学生感受证明如何让学生感受证明“对顶角相等对顶角相等”的必要性的必要性 从一
12、个给定的图形中得到从一个给定的图形中得到“对顶角相等对顶角相等”，但，但任意两个对顶角都相等吗？任意两个对顶角都相等吗？观察剪刀剪纸的过程，这个过程中什么在变化？观察剪刀剪纸的过程，这个过程中什么在变化？对顶角的相等关系总能保持吗？为什么？对顶角的相等关系总能保持吗？为什么？在一个平面内的两条相交线，不仅在一个平面内的两条相交线，不仅AB，CD的的位置关系可以改变，交点位置关系可以改变，交点O的位置也可以改变。的位置也可以改变。在这些变化过程中，对顶角仍然相等吗？你如在这些变化过程中，对顶角仍然相等吗？你如何使人相信：如果两个角具有对顶角的位置关何使人相信：如果两个角具有对顶角的位置关系，那么
13、它们就一定相等？你能把道理完整地系，那么它们就一定相等？你能把道理完整地写出来吗？写出来吗？接下来研究什么？接下来研究什么？垂线垂线从一般相交到相互垂直。从一般相交到相互垂直。从一般到特殊是发现和提出数学问题的从一般到特殊是发现和提出数学问题的“基本之道基本之道”！“特殊特殊”往往很重要。往往很重要。小结：相交线的研究路径小结：相交线的研究路径 概念概念性质性质特例特例 其中，概念的定义明确了研究对象及其几其中，概念的定义明确了研究对象及其几何要素（何要素（4 4个共顶点的角）；性质是指几何个共顶点的角）；性质是指几何要素之间的相互关系（要素之间的相互关系（4 4个角的位置关系、个角的位置关系
14、、大小关系）；特例是指两条相交线的特殊大小关系）；特例是指两条相交线的特殊位置关系，即垂直，与距离这一重要数学位置关系，即垂直，与距离这一重要数学概念相关，因此有特别的重要性。概念相关，因此有特别的重要性。角的关系是指角的组成要素之间的关系。角的关系是指角的组成要素之间的关系。从定义出发研究性质从定义出发研究性质。如何研究平行线的性质？如何研究平行线的性质？大前提大前提：两条直线平行；：两条直线平行；小前提小前提：与第三条直线相交；：与第三条直线相交；结论结论：同位角相等，内错角相等，同旁内：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。角互补。性质的表现方式性质的表现方式：“第三条直线第三条直线”在
15、运动在运动变化过程中，与两条平行线相交形成的角变化过程中，与两条平行线相交形成的角（几何要素）之间具有确定的关系。（几何要素）之间具有确定的关系。体现核心素养的体现核心素养的“大概念大概念”从方法论的高度看，研究两条直线某种位置关系的从方法论的高度看，研究两条直线某种位置关系的性质，就是探索在这种位置关系下，两条直线的组性质，就是探索在这种位置关系下，两条直线的组成要素之间以及与其他直线所形成的图形中出现的成要素之间以及与其他直线所形成的图形中出现的确定关系（不变性和不变量）。确定关系（不变性和不变量）。具体方法是让几何元素动起来，看具体方法是让几何元素动起来，看“变化中的不变变化中的不变性、
16、不变量性、不变量”。这是教学设计的源头，需要采用单元设计，把这是教学设计的源头，需要采用单元设计，把“数数学对象的抽象学对象的抽象组成元素的提取组成元素的提取相互关系的猜想相互关系的猜想猜想的证明猜想的证明性质的应用性质的应用”等落实下来。等落实下来。提倡单元整体设计教学提倡单元整体设计教学 学生数学学科核心素养水平的达成不是一学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性阶段性、连续性、整合性等特点。教师应理解不同数学学科核心素等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平的具体要求，不仅关注每一节课的养水平的具体要求，不仅关注每一节课的教学目标，更要关注
17、主题、单元的教学目教学目标，更要关注主题、单元的教学目标标。所以，。所以，整体把握教学内容整体把握教学内容对对促进数学促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展学科核心素养连续性和阶段性发展具有重具有重要意义。这就是提倡要意义。这就是提倡单元整体单元整体设计教学的设计教学的理由。理由。要防止碎片化教学现象的延续要防止碎片化教学现象的延续 老师的困惑：单元设计会出现课的容量过老师的困惑：单元设计会出现课的容量过大问题，知识不巩固、解题能力不过关。大问题，知识不巩固、解题能力不过关。受应试的困扰，大家习惯于受应试的困扰，大家习惯于“当堂巩固当堂巩固”，学一个知识点就要进行大量巩固性练习。学一个知识点就
18、要进行大量巩固性练习。这样的教学，结果必然是：知识碎片化，这样的教学，结果必然是：知识碎片化，而孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练而孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练也导致了训练效果不佳，学生综合运用知也导致了训练效果不佳，学生综合运用知识的能力不强。识的能力不强。思想、方法的普遍适用性思想、方法的普遍适用性例如，直线平行于平面的性质例如，直线平行于平面的性质 位置关系（大前提）位置关系（大前提）：直线：直线l 平面平面；探究性质的思路：直线探究性质的思路：直线l、平面、平面与其他直线与其他直线、平面所形成的确定关系，可以得到命题：、平面所形成的确定关系，可以得到命题：（1）如果）如果 al（
19、小前提）（小前提），那么，那么a ；（2）如果）如果 a，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果）如果l，那么，那么；（8）如果）如果 ，那么，那么 l。（9）与）与“公理公理”相联系，直线相联系，直线l与平面与平面 内任内任意一点意一点A确定一个平面确定一个平面，=m，那么，那么 ml；（10）l，所以，所以l=。如果。如果m在在 内，内，则或者则或者ml，或者，或者m与与l是异面直线。是异面直线。（11）直线）直线m与直线与直线l异面，则过直线异面，则过直线m有
20、且有且只有一个平面与直线只有一个平面与直线l平行。平行。（12）l，=l，=l1，=l2，那那么么l1l2。研究对象在变，研究对象在变，“研究套路研究套路”不变，思想方法不变！不变，思想方法不变！这就是数学基本思想、数这就是数学基本思想、数学基本活动经验的力量！学基本活动经验的力量！几何性质的分类几何性质的分类 几何学的基本研究对象可分为两类：物体的形几何学的基本研究对象可分为两类：物体的形状、物体的位置，它们的特征就是性质。状、物体的位置，它们的特征就是性质。几何图形的形状几何图形的形状：通过它的组成元素的形状及：通过它的组成元素的形状及其位置关系来反映其位置关系来反映结构特征；结构特征；点
21、、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系：点、直线、平面：点、直线、平面（基本几何图形）的位置关系是几何图形位置（基本几何图形）的位置关系是几何图形位置关系的基础，核心是平行（空间的平直性）、关系的基础，核心是平行（空间的平直性）、垂直（空间的对称性），距离、角度等可以把垂直（空间的对称性），距离、角度等可以把位置关系定量化。位置关系定量化。三角形性质的研究思路和方法三角形性质的研究思路和方法 以以三角形三角形的要素（三条边、三个内角）、的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间以及几何量（
22、边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从的相互关系为基本问题，从“形状、大小形状、大小和位置关系和位置关系”等角度展开研究。等角度展开研究。“形状形状”中，中，“特例特例”是重点是重点等腰三等腰三角形和直角三角形，凡事角形和直角三角形，凡事“特例特例”都有性都有性质和判定两个基本问题。质和判定两个基本问题。在在一般观念指导下研究一般观念指导下研究几何图形的性质几何图形的性质。如何让学生发现三角形的性质如何让学生发现三角形的性质 问题问题1：什么叫三角形的性质？：什么叫三角形的性质？问题问题2：“三条边的关系三条边的关系”指什么？指什么？“三个三个角的关系角的关系”又指什么？又指什么？问
23、题问题3：边和角之间有确定的关系吗？：边和角之间有确定的关系吗？问题问题4：高、角平分线、中线的性质是如何：高、角平分线、中线的性质是如何表现的？外角呢？表现的？外角呢？从三角形的从三角形的“内角和为内角和为180”、“两边之两边之和大于第三边和大于第三边”、“大边对大角大边对大角”、“等等边对等角边对等角”等你想到了什么？等你想到了什么？抽象：三角形的角、边之间的稳定的联系、抽象：三角形的角、边之间的稳定的联系、确定的关系就是性质。确定的关系就是性质。某一类几何对象组成要素之间确定的关系某一类几何对象组成要素之间确定的关系（任意一个对象都具有的关系）就是性质。（任意一个对象都具有的关系）就是
24、性质。从从“外角等于不相邻两内角的和外角等于不相邻两内角的和”、“三三条高交于一点条高交于一点”、“等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一”等又想到了什么？等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些形的相关要素，这些“相关要素相关要素”之间的之间的位置关系就是性质。位置关系就是性质。要素、相关要素之间确定的关系（不随具要素、相关要素之间确定的关系（不随具体事物的变化而变化）也是性质。体事物的变化而变化）也是性质。三条线段首尾相连三条线段首尾相连？四条线段首尾相连四条线段首尾相连而成的平面图形而成的平面图形问题问题1 我们已经比较完整
25、地研究了三角形，我们已经比较完整地研究了三角形，接下来你想研究什么平面图形？接下来你想研究什么平面图形？四边形四边形三角形三角形你能按这个定义画一个四边形吗？你能按这个定义画一个四边形吗？四边形的教学四边形的教学我们是怎样研究三角形的？我们是怎样研究三角形的？研究思路？研究思路？研究内容？研究内容？研究方法？研究方法？确定研究对象（给定义）确定研究对象（给定义）发现性质发现性质证明性质证明性质研究特例（性质、判定）研究特例（性质、判定）三角形的组成要素、相关要素之间的大小关系、位置关三角形的组成要素、相关要素之间的大小关系、位置关系（角与角、边与边、边与角）。系（角与角、边与边、边与角）。度量
26、、观察、实验，从几个具体三角形中发现共性，再度量、观察、实验，从几个具体三角形中发现共性，再推广到一般；研究对象特殊化，发现特殊三角形的性质；推广到一般；研究对象特殊化，发现特殊三角形的性质；条件和结论互换，发现新的定理（性质条件和结论互换，发现新的定理（性质判定）判定）怎样研究四边形怎样研究四边形温故而知新温故而知新三角形三角形边边角角三线三线四边形四边形 边边 角角对角线对角线三角形三角形三角形三角形三角形三角形边边角角三线三线三角形三角形边边角角三线三线三角形三角形三角形三角形三角形三角形三角形三角形边边角角三线三线三角形三角形边边角角三线三线三角形三角形观察观察猜想猜想证明证明边边角角
27、三线三线三角形三角形观察观察猜想猜想证明证明边边角角三线三线三角形三角形观察观察猜想猜想证明证明边边角角三线三线三角形三角形边边角角三线三线三角形三角形边边角角三线三线三角形三角形确定研究对象（给定义）确定研究对象（给定义）发现性质发现性质证明性质证明性质研究特例（性质、判定）研究特例（性质、判定）研究一般四边形研究一般四边形四边形四边形内角和为内角和为360，外角和，外角和360.定定义义O任意三边的和都大于第四边。任意三边的和都大于第四边。对角线的和大于周长的一半而小对角线的和大于周长的一半而小于周长。于周长。明确定义明确定义发现性质发现性质证明性质证明性质边边角角对角线对角线性性质质四条
28、线四条线段首尾段首尾相连而相连而成的平成的平面图形面图形提出问题：特殊四边形的研究提出问题：特殊四边形的研究ABC温故温故ABCABC边的大小特殊化边的大小特殊化边的位置边的位置特殊化特殊化角特殊化角特殊化特殊三角形特殊三角形的性质、判的性质、判定定知新知新O边的位置边的位置特殊化特殊化特殊四边形特殊四边形的性质、判的性质、判定定怎样研究？怎样研究？研究思路？研究思路？研究内容？研究内容？研究方法？研究方法？确定研究对象（给定义）确定研究对象（给定义）发现性质发现性质证明性质证明性质研究特例（性质、判定）研究特例（性质、判定）平行四边形的组成要素、相关要素之间的大小关系、位平行四边形的组成要素
29、、相关要素之间的大小关系、位置关系（边与边、角与角、对角线与对角线）。置关系（边与边、角与角、对角线与对角线）。度量、观察、实验，从几个具体平行四边形中发现共性，度量、观察、实验，从几个具体平行四边形中发现共性，再推广到一般；研究对象特殊化，发现特殊平行四边形再推广到一般；研究对象特殊化，发现特殊平行四边形的性质；条件和结论互换，发现新的定理（性质的性质；条件和结论互换，发现新的定理（性质判判定）定）研究平行四边形性质研究平行四边形性质定义：两组对边分别平行的四边形叫定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。平行四边形。四边形ABCD是平行四边形，ABCD,AD BC.ABCD,AD BC，
30、四边形ABCD是平行四边形.观察并猜想：平行四边形可能有哪些性质？观察并猜想：平行四边形可能有哪些性质？能写出已知、求证并加以证明吗？能写出已知、求证并加以证明吗？明确定义明确定义发现性质发现性质证明性质证明性质研究平行四边形的性质研究平行四边形的性质定义：两组对边分别平行的四边形叫定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。平行四边形。平行四边形性质定理：平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等、对角平行四边形的对边相等、对角相等，对角线互相平分。相等，对角线互相平分。四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,AD=BC，OA=OC,OB=OD.研究平行四边形的判定研究平行四边形的判定温故温故
31、直角三角形的判定定理与直角三角形的判定定理与性质定理的关系：互逆。性质定理的关系：互逆。等腰三角形的判定定理与等腰三角形的判定定理与性质定理的关系：互逆。性质定理的关系：互逆。知新知新平行四边形的判定定理与平行四边形的判定定理与性质定理的关系：互逆。性质定理的关系：互逆。猜一猜：怎样判定一个四猜一猜：怎样判定一个四边形是平行四边形？边形是平行四边形？证明你的猜想证明你的猜想.1.两组对边分别相等的四两组对边分别相等的四边形是平行四边形；边形是平行四边形；2.两组对角分别相等的四两组对角分别相等的四边形是平行四边形。边形是平行四边形。3.对角线互相平分的四边对角线互相平分的四边形是平行四边形。形
32、是平行四边形。4.一组对边平行且相等的一组对边平行且相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形.知识整理知识整理研究思路？研究思路？研究内容？研究内容？研究方法？研究方法？研究结果？研究结果？确定研究对象（给定义）确定研究对象（给定义）发现性质发现性质证明性质证明性质研究特例（性质、判定）研究特例（性质、判定）四边形的组成要素、相关要素之间的大小关系、位置关四边形的组成要素、相关要素之间的大小关系、位置关系（边与边、角与角、对角线与对角线）。系（边与边、角与角、对角线与对角线）。度量、观察、实验，从几个具体四边形中发现共性，再度量、观察、实验，从几个具体四边形中发现共性，再推广到一般；研究对象
33、特殊化，发现特殊四边形的性质；推广到一般；研究对象特殊化，发现特殊四边形的性质；条件和结论互换，发现新的定理（性质条件和结论互换，发现新的定理（性质判定）判定）O研究结果研究结果？四边形四边形平行四边形平行四边形边边角角对角线对角线性性质质？性性质质边边角角对角线对角线性性质质？性性质质边的位置特殊化边的位置特殊化定定义义定定义义观察、猜想、证明观察、猜想、证明判判定定作业：作业：1.请你写一篇关于如何研究一个几何图形的短文。请你写一篇关于如何研究一个几何图形的短文。2.请用你学到的方法继续研究特殊的平行四边形，比如：请用你学到的方法继续研究特殊的平行四边形，比如：有一个内角为有一个内角为60
34、的平行四边形的平行四边形.几何要教类比几何要教类比代数要教归纳代数要教归纳 研究对象在变，研究套路、思想方法研究对象在变，研究套路、思想方法不变！不变！“平面图形的旋转平面图形的旋转”的教学的教学课标要求课标要求（1 1）通过具体实例认识平面图形的旋转。探）通过具体实例认识平面图形的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。等。（2 2）了解中心对称、中心对称图形的概念，）了解中心对称、中心对称
35、图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。中心平分。（3 3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性。的中心对称性。（4 4）认识和欣赏自然界和现实生活中的中心）认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。对称图形。内容结构内容结构 概念和性质概念和性质特例（性质）特例（性质）数学内数学内部部的应用的应用实际实际应用应用 其中，其中，“概念和性质概念和性质”是基础，是重中之是基础，是重中之重。重。如何确定一个旋转的条件如
36、何确定一个旋转的条件 平面图形的旋转，就是通过对图形实施旋平面图形的旋转，就是通过对图形实施旋转变换，把一个图形从一个位置变到另一转变换，把一个图形从一个位置变到另一个位置。这里，图形从一个位置变到另一个位置。这里，图形从一个位置变到另一个位置，需要做到个位置，需要做到“唯一确定唯一确定”。只有当旋转中心、旋转方向和旋转角度的只有当旋转中心、旋转方向和旋转角度的大小都大小都确确定后，图形的旋转才能做到定后，图形的旋转才能做到“唯唯一确定一确定”。如何让学生认识如何让学生认识“三要素三要素”思考：如果缺少其中某个条件的话，旋转后的图思考：如果缺少其中某个条件的话，旋转后的图形能唯一确定吗？为了激
37、发学生的独立思考，可形能唯一确定吗？为了激发学生的独立思考，可以让他们进行如下活动：任意画一个以让他们进行如下活动：任意画一个ABC，（1）绕点）绕点A旋转旋转30，得到的结果怎样？，得到的结果怎样？（2）分别绕点）分别绕点A和点和点B逆时针旋转逆时针旋转30，得到的结，得到的结果一样吗？果一样吗？（3）绕）绕A点逆时针旋转，得到的图形有多少个？点逆时针旋转，得到的图形有多少个？（4）给定）给定哪些哪些条件才能使旋转后的图形唯一确定？条件才能使旋转后的图形唯一确定？一般观念的指导一般观念的指导 变化中的不变性变化中的不变性就是性质；就是性质；旋转的性质是旋转前后两个图形的关系，所谓旋转的性质是
38、旋转前后两个图形的关系，所谓“两个图形的关系两个图形的关系”，就是它们的形状、大小，就是它们的形状、大小关系和位置关系。关系和位置关系。研究一个数学对象的性质，要充分利用确定这研究一个数学对象的性质，要充分利用确定这个对象的要素。个对象的要素。这些是这些是“一般一般观念观念”，是探究性质的指路明灯。，是探究性质的指路明灯。掌握掌握“一般观念一般观念”对发展核心素养至关重要！对发展核心素养至关重要！问题引导问题引导下的下的探究探究1.1.你认为研究旋转的性质就是要研究什么？你认为研究旋转的性质就是要研究什么？意图：使学生明确研究的目标意图：使学生明确研究的目标旋转前旋转前后两个图形的关系，变化中
39、的不变性。后两个图形的关系，变化中的不变性。2.2.具体而言就是要研究什么呢？具体而言就是要研究什么呢？意图：使学生明确具体的研究思路意图：使学生明确具体的研究思路两两个图形对应元素之间的关系。个图形对应元素之间的关系。追问：什么关系？追问：什么关系？形状、大小和位置形状、大小和位置关系等。关系等。3.3.研究中要利用哪些知识？研究中要利用哪些知识？意图：使学生明确从概念出发研究性质，意图：使学生明确从概念出发研究性质，利用三要素得出性质。利用三要素得出性质。4.4.观察变化前后的两个图形，你能立即得出观察变化前后的两个图形，你能立即得出图形旋转前后有哪些不变性？图形旋转前后有哪些不变性？意图
40、：从宏观到微观得出性质意图：从宏观到微观得出性质图形的图形的形状、大小都形状、大小都不不变，所以两个图形全等。变，所以两个图形全等。5.5.你觉得对应元素有哪些？它们有什么不变你觉得对应元素有哪些？它们有什么不变性？性？意图：使学生养成有序思考的习惯，培养意图：使学生养成有序思考的习惯，培养他们发现性质的能力他们发现性质的能力对应点、对应线对应点、对应线段、对应角等。段、对应角等。追问追问1 1：对应点的不变性怎么体现？（如：对应点的不变性怎么体现？（如何利用三要素？）你能证明对应线段的何利用三要素？）你能证明对应线段的长度不变吗？长度不变吗？追问追问2 2：你认为还有什么不变性？（图形中：你认为还有什么不变性？（图形中的位置关系保持不变，如垂直关系、平行的位置关系保持不变，如垂直关系、平行关系等）关系等）结束语 数学育人数学育人使学生在数学学习中使学生在数学学习中树立自信，坚定正念，树立自信，坚定正念，增强定力，激励精进，增强定力，激励精进，启迪智慧，净化心灵。启迪智慧，净化心灵。谢谢倾听谢谢倾听请提宝贵意见请提宝贵意见
