1、第七章第七章 平行线的证明平行线的证明7.4 7.4 平行线的性质平行线的性质1、什么叫做平行线？、什么叫做平行线？2、平行线的判定方法有哪些？、平行线的判定方法有哪些？复复习习回回顾顾1知识点知识点平行线的性质平行线的性质1.定理：定理：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等.（1）已知：如图）已知：如图1，直线，直线AB/CD，1和和2是直线是直线AB，CD被直线被直线 EF截出的同位角截出的同位角.求证：求证：1=2.如果如果12，AB与与CD的位置关的位置关系会怎样呢？系会怎样呢？图图1证明：证明：假设假设12，那么我们可以，那么我们可以 过点过点M作直线作直线GH，使，使EMH
2、=2，如图，如图2所示所示.根据根据“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”，可知可知GH/CD.又因为又因为AB/CD，这样经过点，这样经过点M 存在两条直线存在两条直线AB和和GH都与直线都与直线 CD平行平行.这与基本事实这与基本事实“过直线外一点有过直线外一点有 且只有一条直线与这条直线平行且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾相矛盾.这说明这说明12的假设不成立，所以的假设不成立，所以1=2.图图2（2）性质性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同两条平行直线被第三条直线所截，同 位角相等位角相等 简称：简称：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 表达方式：表达方式：如
3、图，因为如图，因为ab，(已知已知)所以所以12.(.(两直线平行，同两直线平行，同 位角相等位角相等)例例1 如图，若如图，若ABCD，且，且12，试判断，试判断AM与与CN的位置关的位置关 系，并说明理由系，并说明理由导引：导引：AM与与CN的位置关系很显然是平行的，要说明的位置关系很显然是平行的，要说明AMCN，可考，可考 虑说明虑说明EAMECN.因为因为12，所以只需说明，所以只需说明EAB ACD即可，由于即可，由于“两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等”，所以根，所以根 据据ABCD即可得出即可得出EABACD.解：解：AMCN.理由：理由：ABCD(已知已知)，EABA
4、CD(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)又又12(已知已知)，MAENCA(等式性质等式性质)AMCN(同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行)总总 结结 当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是否出现了相等的角否出现了相等的角 平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及位置
5、关系的相互转化在解题中会经常涉及 1 (中考中考泸州泸州)如图，如图，ABCD，BC平分平分ABD.若若C40，则则D的度数为的度数为()A90 B100 C110 D120B2(中考中考枣庄枣庄)如图，把一块含有如图，把一块含有45角的直角三角角的直角三角 板的两个顶点放在直尺的对边上如果板的两个顶点放在直尺的对边上如果120，那么那么2的度数是的度数是()A15 B20 C25 D30C2.定理：定理：两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等.（1）已知：如图，直线）已知：如图，直线l1/l2，1和和2是直是直 线线l1，l2被直线被直线l截出的内错角截出的内错角.求证：求证：1=2.
6、证明：证明：l1/l2（已知），（已知），1=3（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）.又又2=3（对顶角相等），（对顶角相等），l=2(等量代换）等量代换）.（2）性质性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角两条平行直线被第三条直线所截，内错角 相等相等 简称：两直线平行，内错角相等简称：两直线平行，内错角相等 表达方式：表达方式：如图，因为如图，因为ab(已知已知)，所以所以12(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等).).要点精析：要点精析：两直线平行是两直线平行是前提前提，只有在这个前提下，只有在这个前提下 才有内错角相等才有内错角相等 例例2 如图，已知如图
7、，已知AEBC，BC，AE是是DAC 的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由请说明理由.导引：导引：紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，进而证明角相等进而证明角相等 解：解：AE是是DAC 的平分线的平分线 证明如下：证明如下：AEBC(已知已知)，DAEB(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)，CAEC(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)，又又BC(已知已知)，DAECAE(等量代换等量代换)，AE是是DAC 的平分线（角平分线的定义）的平分线（角平分线的定义）总总 结结 求
8、证两角相等，首先观察两角的位置（是否求证两角相等，首先观察两角的位置（是否 为同位角、内错角等），然后选择合适的性质定为同位角、内错角等），然后选择合适的性质定理理.若无法直接证得两角相等，则分析由已知条若无法直接证得两角相等，则分析由已知条件可得到哪些结论，再探寻这些结论与所求角的件可得到哪些结论，再探寻这些结论与所求角的关系，关系找到后，问题即可解答关系，关系找到后，问题即可解答.1(中考中考东莞东莞)如图，直线如图，直线ab，175，2 35，则，则3的度数是的度数是()A75 B55 C40 D35C2(中考中考宜昌宜昌)如图，如图，ABCD，FEDB，垂足为，垂足为 E，150，则，
9、则2的度数是的度数是()A60 B50 C40 D30C3.定理：定理：两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补.性质性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 互补互补 简称：两直线平行，同旁内角互补简称：两直线平行，同旁内角互补 表达方式：表达方式：如图，因为如图，因为ab(已知已知)，所以所以1+2=180(两直线平行，同旁内角两直线平行，同旁内角 互补互补).例例3 如图，如果如图，如果ABDF，DEBC，且，且165，那么你能说出，那么你能说出 2，3，4的度数吗？为什么？的度数吗？为什么？导引：导引：由由DEBC，可得，可得14，1
10、2 180；由；由DFAB，可得，可得32，从，从 而得出而得出2，3，4的度数的度数解：解：DEBC(已知已知)，4165(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)，21180(两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补)即即2180118065115.又又DFAB(已知已知)，32(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)3115(等量代换等量代换)总总 结结1求角的度数的基本思路：求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的根据平行线的判定由角的 数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质 由直线的位置关系得到角的数量关系，
11、通过上述相由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相 互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系2两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两 条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数由角的关系求相应角的度数4.定理：定理：平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行.（1）已知：如图，）已知：如图，b/a，c/a，1，2，3是直线是直线a，b，c被直线被直线d截出的同位角截出的同位角.求证：求证：b/c.证明：证明：b
12、/a(已知），已知），2=1(两直线平行，同位角两直线平行，同位角 相等）相等）.c/a（已知）（已知）,3=1（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）.2=3（等量代换）（等量代换）.b/c（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）.一般地，我们有如下的定理：一般地，我们有如下的定理：定理定理 平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行.归归 纳纳1(中考中考恩施州恩施州)如图，已知如图，已知ABDE，ABC70，CDE140，则，则BCD为为()A20 B30 C40 D702 (中考中考河北河北)如图，如图，ABEF，CDEF，BAC50，则则AC
13、D()A120 B130 C140 D150BC2知识点知识点平行线的性质与判定的关系平行线的性质与判定的关系平行线的判定与平行线的性质的区别：平行线的判定与平行线的性质的区别：平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线 的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位 置关系得到两角的数量关系；置关系得到两角的数量关系；平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平 行线的判定的结论是平行线的性质的条件行线的判定的结论是平行线的性质的条件例例4 如图，已知如图，已知
14、ABC与与ECB互补，互补，12，则，则P与与 Q一定相等吗？说说你的理由一定相等吗？说说你的理由导引：导引：如果如果P和和Q相等，那么相等，那么PBCQ，所以要判断，所以要判断P与与 Q是否相等，只需判断是否相等，只需判断PB和和CQ是否平行要说明是否平行要说明 PBCQ，可以通过说明，可以通过说明PBCBCQ来实现，由于来实现，由于 12，只需说明，只需说明ABCBCD即可即可 解：解：PQ.理由：理由：ABC与与ECB互补互补(已知已知)，ABED(同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行)ABCBCD(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)12(已知已知)，ABC1BC
15、D2(等式的性质等式的性质)，即即PBCBCQ.PBCQ(内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行)PQ(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)总总 结结 一个数学问题的构成含有四个要素：题目的一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题是封闭性的数学问题1 (中考中考河南河南)如图，直线如图，直线a，b被直线被直线c，d所截，若所截，若1 2，3125，则，则4的度数为的度数为()A55 B60 C70 D752 如图，已知如图，已知ABCD，130，290，则，则3等等 于于()A60 B50 C45 D30AA 从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：条件条件定义、判定定义、判定定义、性质定义、性质图形图形结论结论 完成教材完成教材P177 习题习题
