1、20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分2828秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分2929秒秒 云在漫步云在漫步 1.了解中心投影和平行投影的概念了解中心投影和平行投影的概念 2.会画简单的空间几何体会画简单的空间几何体(柱、锥、台、球及其组合柱、锥、台、球及其组合)的三视的三视 图，能够识别三视图所描述的模型图，能够识别三视图所描述的模型. 3.会用“斜二测画法”画出空间几何体的直观图会用“斜二测画法”画出空间几何体的直观图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时
2、0 0分分2929秒秒 云在漫步云在漫步 在前一节中我们主要学习了柱、锥、台、球的结构特征在前一节中我们主要学习了柱、锥、台、球的结构特征, 对空间几何体有了一个直观性、概念性的认识对空间几何体有了一个直观性、概念性的认识 本节我们将要学习如何将空间几何体用平面图形表示出本节我们将要学习如何将空间几何体用平面图形表示出 来，同时能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构来，同时能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构. 我们将在了解投影知识的基础上，学习空间几何体的三我们将在了解投影知识的基础上，学习空间几何体的三 视图和直观图视图和直观图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星
3、期四1010时时0 0分分2929秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分2929秒秒 云在漫步云在漫步 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影投影其其 中，光线叫做中，光线叫做投影线投影线，留下物体影子的屏幕叫做，留下物体影子的屏幕叫做投影面投影面 投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的 平行线，这样就使投影法分为平行线，这样就使投影法分为中心投影中心投影和和平行投影平行投影 20202020年年4 4月月1616日星期四
4、日星期四1010时时0 0分分2929秒秒 云在漫步云在漫步 光由一点向外散射形成的投影，叫做光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影中心投影其投影其投影 线交于一点线交于一点(投影中心投影中心) 在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变的距离、位置，则其投影的大小也随之改变 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3030秒秒 云在漫步云在漫步 中心投影后的图形与原图中心投影后的图形与原图 形相比，虽然改变很多，但直形相比，虽然改变很多，但直 观性强，看起来与人
5、的视觉效观性强，看起来与人的视觉效 果一致，最象原来的物体所果一致，最象原来的物体所 以在绘画时，经常使用这种方以在绘画时，经常使用这种方 法，但法，但在立体几何中很少用中在立体几何中很少用中 心投影原理来画图心投影原理来画图 从图中可以看出，空间从图中可以看出，空间 图形经过中心投影后，直线图形经过中心投影后，直线 变成直线，但平行线可能变变成直线，但平行线可能变 成了相交的直线成了相交的直线 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3030秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3030秒秒 云
6、在漫步云在漫步 如果将投影中心移到如果将投影中心移到无穷远处无穷远处，则所有的投影线都相互平，则所有的投影线都相互平 行，这种行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影投射线为平行线时的投影称为平行投影 斜投影：斜投影：投投 射线倾斜于射线倾斜于 投影面投影面 正投影：正投影：投投 射线垂直于射线垂直于 投影面投影面 正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛便，在作图中应用最广泛 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，但作图斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，但作图 比较麻烦，也不能反映物体的真实
7、形状，在作图中只是作为一比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一 种辅助图样种辅助图样 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3030秒秒 云在漫步云在漫步 S 投 射 方 向 投 射 方 向 三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果 物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则 为为平行投影平行投影，如果聚于一点，则为，如果聚于一点，则为中心投影中心投影 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分
8、3030秒秒 云在漫步云在漫步 平行光线平行光线 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3030秒秒 云在漫步云在漫步 投影的分类投影的分类 中心投影中心投影: :投射线交于一点投射线交于一点 平行投影平行投影 斜投影斜投影 正投影正投影( (本节主要学习利用本节主要学习利用正投影正投影绘制绘制 空间图形的三视图空间图形的三视图, ,并能根据所给的三并能根据所给的三 视图了解该空间图形的基本特征视图了解该空间图形的基本特征) ) 投射线平行投射线平行 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3131秒秒 云在漫步云在漫步
9、 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3131秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3131秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3131秒秒 云在漫步云在漫步 1.1.光线从几何体的光线从几何体的前面向后前面向后面面正投影所得到的投影图正投影所得到的投影图 叫做几何体的叫做几何体的正视图正视图. . 2.2.光线从几何体的光线从几何体的左面向右面左面向右面正投影所得到的投影图正投影所得到的投影图 叫做几何体叫做几何体侧视图侧视图.
10、 . 3.3.光线从几何体的光线从几何体的上上面向面向下下面面正投影所得到的投影图正投影所得到的投影图 叫做几何体叫做几何体的的俯视图俯视图. . 三 视 图 三 视 图 把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面 图形图形视图视图是指将物体按是指将物体按正投影正投影向投影面投射所得到的图形向投影面投射所得到的图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌，因此我们需但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌，因此我们需 要从多个角度进行投影要从多个角度进行投影 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3
11、131秒秒 云在漫步云在漫步 俯视图俯视图 正视图正视图 俯视图俯视图 正视图正视图 侧视图侧视图 侧 视 图 侧 视 图 根据长方体的模型，请您画出它们的三视图，并根据长方体的模型，请您画出它们的三视图，并 观察三种图形之间的关系观察三种图形之间的关系 一个几何体的正视图和侧视图的一个几何体的正视图和侧视图的高度高度一样，俯视图和正一样，俯视图和正 视图的的视图的的长度长度一样，侧视图和俯视图的一样，侧视图和俯视图的宽度宽度一样一样 长度长度 高度高度 宽度宽度 长长对对正正 高平齐高平齐 宽相等宽相等 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3232秒秒
12、 云在漫步云在漫步 圆柱圆柱 左左 俯俯 请您画出圆柱的三视图请您画出圆柱的三视图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3232秒秒 云在漫步云在漫步 左左 俯俯 请您画出圆锥的三视图请您画出圆锥的三视图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3232秒秒 云在漫步云在漫步 左左 俯俯 请您画出圆台的三视图请您画出圆台的三视图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3232秒秒 云在漫步云在漫步 左左 俯俯 请您画出六棱柱的三视图请您画出六棱柱的三视图 20202020年年4 4
13、月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3232秒秒 云在漫步云在漫步 请您画出六棱锥的三视图请您画出六棱锥的三视图 左左 俯俯 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3232秒秒 云在漫步云在漫步 左左 俯俯 请您画出四棱台的三视图请您画出四棱台的三视图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3232秒秒 云在漫步云在漫步 左左 俯俯 请您画出球的三视图请您画出球的三视图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3232秒秒 云在漫步云在漫步 如果要做一个水管的三叉接头，
14、工人事先看到的不是图如果要做一个水管的三叉接头，工人事先看到的不是图1 1， 而是图而是图2 2，然后根据这三个图形制造出水管接头，然后根据这三个图形制造出水管接头. . 图图1 1 三通水管三通水管 图图2 2 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 遮挡住看不见的线用虚线遮挡住看不见的线用虚线 画出下面这个组合图形的三视图画出下面这个组合图形的三视图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时
15、0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 圆锥圆锥 圆台圆台 冰淇淋冰淇淋 请想象下面三视图所表示的几何图形的实物模型请想象下面三视图所表示的几何图形的实物模型 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 (1) 四棱柱四棱柱 (2) 圆锥与半球组成的简单组合体圆锥与半球组成的简单组合体 (3) 四棱柱与球组成的简单组合体四棱柱与球组成的简单组合体 (4) 两个圆台组成的简单组合体两个圆台组成的简单组合体 20202020年
16、年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 五棱锥五棱锥 四个圆柱组成的简单组合体四个圆柱组成的简单组合体 三棱柱三棱柱 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 2.根据下列三视图，想象对应的几何体根据下列三视图，想象对应的几何体 三棱柱三棱柱 圆台圆台 四棱柱四棱柱 四棱柱与四棱柱与 圆柱组成的圆柱组成的 简单组合体简单组合体 20202020年年4 4月月1616日星期四
17、日星期四1010时时0 0分分3333秒秒 云在漫步云在漫步 5.如图，已知几何体的三视图，想象对应的几何体的结构特征如图，已知几何体的三视图，想象对应的几何体的结构特征 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3434秒秒 云在漫步云在漫步 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3434秒秒 云在漫步云在漫步 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三 视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图一般视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图一般 采用
18、中心投影或平行投影采用中心投影或平行投影 图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可 以了解空间图形的一些性质和特征以了解空间图形的一些性质和特征 在中心投影中，水平线在中心投影中，水平线(或垂直线或垂直线)仍保持水平仍保持水平(或垂直或垂直)，但，但 斜的平行线则会相交，交点称为消点斜的平行线则会相交，交点称为消点 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3434秒秒 云在漫步云在漫步 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复 杂，又不易度
19、量杂，又不易度量 投影规律投影规律 1.1.平行性不变，但形状、长度、平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变；夹角会改变； 2.2.平行直线段或同一直线上的平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变；两条线段的比不变； 3.3.在太阳光下，平行于地面的在太阳光下，平行于地面的 直线在地面上的投影长不变直线在地面上的投影长不变 立体几何中常用平行投影立体几何中常用平行投影(斜投影斜投影)来画空间图形的直观图，来画空间图形的直观图， 这种画法叫这种画法叫斜二测画法斜二测画法 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3434秒秒 云在漫步云在漫步 A BC D E
20、F 例例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形在六边形ABCDEF中，取中，取AD所在的直线为所在的直线为X轴，对称轴轴，对称轴MN 所在直线为所在直线为Y轴，两轴交于点轴，两轴交于点O画对应的画对应的 轴，两轴相交轴，两轴相交 于点于点 ，使，使 ,X Y O 45X OY M N O y x O x y 注意：注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置确定多边形顶点的位置 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四101
21、0时时0 0分分3535秒秒 云在漫步云在漫步 Ox y A B C D E F M N A BC D EF M N O y x ，在，在 轴上取轴上取 (2)以以 O为中心，在为中心，在 上取上取 x A DAD y 1 2 M NMN B Cx N以点以点 为中心，画 为中心，画 BC轴，并等于轴，并等于 M ，再以，再以 为中心，画为中心，画 E Fx EF 轴，并等于轴，并等于 注意：注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原 来的一半来的一半 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3535秒秒
22、云在漫步云在漫步 Ox y A B C D E F M N A BC D EF M N O y x 并擦去辅助线并擦去辅助线x轴和轴和y轴，便获得轴，便获得 正六边形正六边形ABCDEF水平放置的直观图水平放置的直观图 A BC D E F (3)连接连接 ,A B C D E F F A 请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3636秒秒 云在漫步云在漫步 斜二测画法的步骤斜二测画法的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x轴和轴和y轴
23、，两轴相交于轴，两轴相交于O点点. 画直观图时，把它画成对应的画直观图时，把它画成对应的x轴、轴、y轴，两轴交于轴，两轴交于O，使，使 ，它们确定的平面表示水平平面，它们确定的平面表示水平平面 45 (135 )x Oy或或 (2)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分别画轴的线段，在直观图中分别画 成平行于成平行于x轴或轴或y轴的线段轴的线段 (3)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半轴的线段，长度为原来的一半 20202020年年4 4月月1616日星
24、期四日星期四1010时时0 0分分3636秒秒 云在漫步云在漫步 关于关于水平放置的水平放置的圆圆的直观图的直观图的画法，常用正等测画的画法，常用正等测画 法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3737秒秒 云在漫步云在漫步 例例2用用斜二测画法斜二测画法画长画长,宽宽,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm的长方的长方 体的直观图体的直观图 联想水平放置的平联想水平放置的平 面图形的画法，并注意面图形的画法，并注意 到高的处理到高的处理 20202020
25、年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3737秒秒 云在漫步云在漫步 (2) MN PQ 画画底底面面.以.以O为O为中中心心,在,在x轴x轴上上取取线线段段MN,使MN,使MN= cm;在MN= cm;在 轴轴上上取取线线段段PQ,使PQ,使PQ= cm;分PQ= cm;分别别过过点点和和作作y轴y轴的的平平行行 线线,过,过点点 和和作作x轴x轴的的平平行行线线,设,设它它们们的的交交点点分分别别为为A,B,A,B, C,D,四C,D,四边边形形ABCD就ABCD就是是长长方方形形的的底底面面ABCDABCD x y Z O x y Z O A B CD M N P
26、Q 4 1.5 ,.xOz190画画轴轴.画.画x轴x轴,y轴,y轴,z轴,z轴,三,三轴轴交交于于点点O,使O,使 xOy=45xOy=45 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分3838秒秒 云在漫步云在漫步 x y Z O AB CD 3 画3 画侧侧棱棱.过.过A,B,C,D,各A,B,C,D,各点点分分别别作作z轴z轴的的平平行行线线,并,并在在这这些些平平行行线线 上上分分别别截截取取2cm长2cm长的的线线段段AA ,BB ,CC ,DD .AA ,BB ,CC ,DD . M N P Q , 4 成4 成图图.顺.顺次次连连接接A ,B ,
27、C ,D ,并A ,B ,C ,D ,并加加以以整整理理(去(去掉掉辅辅助助线线,将,将被被遮遮挡挡住住的的部部分分 改改为为虚虚线线)就)就可可得得到到长长方方体体的的直直观观图图. . A B CD A C D B A B C D 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分4141秒秒 云在漫步云在漫步 例例3 3已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图 x y O O x y Z O O O O 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时
28、0 0分分4141秒秒 云在漫步云在漫步 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构三视图从细节上刻画了空间几何体的结构, 根据三视图，我们可以得到一个精确的空间几根据三视图，我们可以得到一个精确的空间几 何体何体,正是因为这个特点，使它在生产活动中得正是因为这个特点，使它在生产活动中得 到广泛应用到广泛应用(比如零件图纸、建筑图纸等比如零件图纸、建筑图纸等).直观直观 图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据 直观图的结构想象实物的形象直观图的结构想象实物的形象 20202020年年4 4月月1616日星期四日星期四1010时时0 0分分4242秒秒 云在漫步云在漫步 投影投影 视图视图 中心投影中心投影 平行投影平行投影 投影线交于一点投影线交于一点 投影线平行投影线平行 正投影正投影 斜投影斜投影 直观强、接近实物直观强、接近实物 不改变原不改变原 物形状物形状 三视图三视图 直观图直观图 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 斜二测画法斜二测画法 长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等 根据三视图，我们可以得根据三视图，我们可以得 到一个精确的空间几何体到一个精确的空间几何体 可以根可以根 据直观据直观 图的结图的结 构想象构想象 实物的实物的 形象形象
